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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Kegelschnitt
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Kegelschnitt: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:04 Sa 06.09.2008
Autor: johnny11

Aufgabe
Man bestimme den Typ des Kegelschnitts

[mm] x^2-4xy+3y^2+cx+dy+5 [/mm] = 0

in Abhängigkeit von den Parametern c und d.

Nach Hauptachsentransformation habe ich folgenden Ausdruck erhalten:

x'^{2} - y'^{2} + [mm] \bruch{3c^2+2cd+d+20}{4} [/mm] = 0

Ich bin mir aber nicht ganz sicher ob dies korrekt ist. Wenn jemand Lust hätte dies nachzurechnen habe ich natürlich nichts dagegen. :-)

Für [mm] \bruch{3c^2+2cd+d+20}{4} [/mm] = 0 stellt der Kegelschnitt eine Parabel dar.
Und für [mm] \bruch{3c^2+2cd+d+20}{4} \not= [/mm] 0 stellt der Kegelschnitt eine Hyperbel dar.
Ist dies korrekt?

Wäre es gut, wenn ich die Gleichung noch nach c oder d auflösen würde? Wenn ja, wie kann ich dies machen?

        
Bezug
Kegelschnitt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:21 Sa 06.09.2008
Autor: pelzig


> Man bestimme den Typ des Kegelschnitts
>  
> [mm]x^2-4xy+3y^2+cx+dy+5[/mm] = 0
>  
> in Abhängigkeit von den Parametern c und d.
>  Nach Hauptachsentransformation habe ich folgenden Ausdruck
> erhalten:
> x'^{2} - y'^{2} + [mm]\bruch{3c^2+2cd+d+20}{4}[/mm] = 0
> Ich bin mir aber nicht ganz sicher ob dies korrekt ist.
> Wenn jemand Lust hätte dies nachzurechnen habe ich
> natürlich nichts dagegen. :-)

Habe leider keine Lust das nachzurechnen, habe als EW jedenfalls [mm] $2\pm\sqrt{5}$. [/mm] Also jedenfalls einen Positiven und einen negativen, d.h. ne Ellipse scheidet schonmal aus.

> Für [mm]\bruch{3c^2+2cd+d+20}{4}[/mm] = 0 stellt der Kegelschnitt
> eine Parabel dar.
>  Und für [mm]\bruch{3c^2+2cd+d+20}{4} \not=[/mm] 0 stellt der
> Kegelschnitt eine Hyperbel dar.
>  Ist dies korrekt?

Wenn dein Restterm stimmt schon ;-)

> Wäre es gut, wenn ich die Gleichung noch nach c oder d
> auflösen würde? Wenn ja, wie kann ich dies machen?

Nunja, was mir so spontan einfällt ist, dass das ja wieder ne quadrik ist, also viel Spaß damit ;-)

Gruß, Robert

Bezug
                
Bezug
Kegelschnitt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:40 Sa 06.09.2008
Autor: johnny11

Hallo,

>  Habe leider keine Lust das nachzurechnen, habe als EW
> jedenfalls [mm]2\pm\sqrt{5}[/mm]. Also jedenfalls einen Positiven
> und einen negativen, d.h. ne Ellipse scheidet schonmal
> aus.

also ich habe hier ein anderes Verfahren zum Diagonalisieren gewählt, da so schwierige Eigenwerte.
Habe dann halt keine orthogonale Transformation, aber das spielt hier ja keine Rolle.
Habe dann [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] erhalten.

> > Für [mm]\bruch{3c^2+2cd+d+20}{4}[/mm] = 0 stellt der Kegelschnitt
> > eine Parabel dar.
>  >  Und für [mm]\bruch{3c^2+2cd+d+20}{4} \not=[/mm] 0 stellt der
> > Kegelschnitt eine Hyperbel dar.
>  >  Ist dies korrekt?
>  Wenn dein Restterm stimmt schon ;-)
>  
> > Wäre es gut, wenn ich die Gleichung noch nach c oder d
> > auflösen würde? Wenn ja, wie kann ich dies machen?
> Nunja, was mir so spontan einfällt ist, dass das ja wieder
> ne quadrik ist, also viel Spaß damit ;-)
>  

Ja, dies ist wieder ein Kegelschnitt, aber gäbe es nicht noch ein einfacherer Weg, um c oder d explizit zu bestimmen?

Bezug
                        
Bezug
Kegelschnitt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:54 Sa 06.09.2008
Autor: pelzig


> Ja, dies ist wieder ein Kegelschnitt, aber gäbe es nicht
> noch ein einfacherer Weg, um c oder d explizit zu
> bestimmen?

[mm] $3c^2+2cd+d+20=0\gdw c^2+\left(\frac{2d}{3}\right)c+(d+20)=0\gdw c\in\left\{\frac{-d\pm\sqrt{d^2-9d-180}}{3}\right\}$ [/mm]
Also schöner wirds sicher nicht mehr.

Bezug
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