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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Isomorphismen angeben
Isomorphismen angeben < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Isomorphismen angeben: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:58 Sa 20.08.2005
Autor: Nike001

Hallo Ihr!

Kurz vorm Examen hätte ich noch eine dringende Frage an euch:
Wenn ich zwei Gruppen G und H gegeben habe die zueinander isomorph sein sollen, wie kann ich dann den Isomorphismus finden der G auf H abbildet? Gibts da nen "Trick" oder hilft da nur suchen und finden?
Als Beispiel hab ich hier eine Aufgabe für euch:

Es sei (G,*) = (Z/7 \ {0}, * mod7) und (H,o) = (Z/6,+)
Geben sie einen Isomorphismus von G auf H an.

Über eine schnelle Antwort würde ich mich sehr freuen, mein Examen steht direkt vor der Tür ;-)

Danke schonmal,
liebe Grüße,
Nicole

        
Bezug
Isomorphismen angeben: Teilantwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:38 Sa 20.08.2005
Autor: holy_diver_80

Hallo Du,

Bei Deinem Beispiel geht das besonders leicht, da beide Gruppen zyklisch sind. Es gilt:

G = <2> = [mm] $\{2^k | k \in \IZ \}$ [/mm] = [mm] $\{2^k | k = 0 \ldots 5 \}$ [/mm]
H = <1> = [mm] $\{k*1 | k \in \IZ \}$ [/mm] = [mm] $\{k*1 | k= 0 \ldots 5 \}$ [/mm]

(Mit 2 und 1 sind natürlich die entsprechenden Restklassen gemeint. Potenz bzw. Multiplikation sind die Multiplikation bzw. Addition innerhalb der Gruppe.)

Der Isomorphismus ist also:

[mm] $\phi: [/mm] G [mm] \to [/mm] H: [mm] g=2^k \mapsto [/mm] h=k*1$

Im Allgemeinen ist es hilfreich, für beide Gruppen ein Erzeugendensystem zu finden.

Liebe Grüße,
Holy Diver

Bezug
                
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Isomorphismen angeben: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:20 Sa 20.08.2005
Autor: Nike001

Hi,

danke für die schnelle Antwort.
Eine Rückfrage hätte ich allerdings noch zur Schreibweise. Wir haben Isomorphismen immer als f(x) = x+1 (nur als Beispiel) angegeben.
Geht das mit dem von dir genannten auch in dieser Form?
Sorry dass ich da nicht ganz mitkomm, gehör zu den Studenten die von allen Fachgebieten was mitbekommen ums dann am Ende des Studiums nahezu vergessen zu können, weil das meine Grundschüler wohl sowieso nicht interessiert ;-)

Danke nochmal.
Nicole

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Isomorphismen angeben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Sa 20.08.2005
Autor: djmatey

Huhu,
g  [mm] \mapsto [/mm] h bedeutet "g wird abgebildet auf h (durch die Funktion [mm] \phi)". [/mm]
[mm] \phi(g) [/mm] = h ist also im Prinzip nur eine andere Schreibweise dafür.
In Deinem Fall gilt also
[mm] \phi( 2^{k}) [/mm] = k*1, das ist der Isomorphismus.
Liebe Grüße,
djmatey

Bezug
        
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Isomorphismen angeben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:28 Sa 20.08.2005
Autor: Stefan

Hallo!

Also, hier (noch einmal) das allgemeine Vorgehen:

Versuche, wenn immer möglich, Erzeugendensysteme auf Erzeugendensysteme abzubilden und dabei die Elemente des Erzeugendensystems der einen Gruppe auf diejenigen Elemente des Erzeugendensystems der anderen Gruppe abzubilden, welche die gleiche Ordnung haben.

Bei zwei zyklischen Gruppen wird einfach ein Erzeuger der einen Gruppe auf einen Erzeuger der anderen Gruppe abgebildet.

Mehr gibt es leider nicht zu sagen, es gibt bei so etwas keine Patentrezepte, leider. :-)

Viele Grüße
Stefan



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Isomorphismen angeben: Dankeschön
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:04 Sa 20.08.2005
Autor: Nike001

Hi Ihr!

Vielen Dank für die schnellen und hilfreichen Antworten.
Jetzt bleibt nur noch zu hoffen dass am Montag alles gutgeht ;-)

Liebe Grüße,
Nicole

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