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Integrieren von Logarithmen: ln steht im Bruch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:29 Do 08.03.2007
Autor: Flomo

Aufgabe
Berechne das Integral!

Hallo.

Ich brauche einen Weg diese Aufgabe zu lösen. Hab mir schon den Kopf zermatert. Ich hatte es mit Substitution versucht und mit partieller Integration, aber ich fand die Zwischenergebnisse zu schwierig.

[mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{ln (x)}{(1+x)^2} dx} [/mm]


Ich danke Euch

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Integrieren von Logarithmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:37 Do 08.03.2007
Autor: MatthiasKr

Hi,

also wenn das mal keine schnelle antwort ist! ;-)

ein weg, das ding zu berechnen ist

- partielle integration : den logarithmus ableiten, den bruch aufleiten
- dann integration des restintegrals durch partialbruchzerlegung

habs jetzt nur im kopf überschlagen, aber sollte nicht so schwer sein.

VG
Matthias


> Berechne das Integral!
>  Hallo.
>
> Ich brauche einen Weg diese Aufgabe zu lösen. Hab mir schon
> den Kopf zermatert. Ich hatte es mit Substitution versucht
> und mit partieller Integration, aber ich fand die
> Zwischenergebnisse zu schwierig.
>  
> [mm]\integral_{1}^{2}{\bruch{ln (x)}{(1+x)^2} dx}[/mm]
>  
>
> Ich danke Euch
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Integrieren von Logarithmen: Partialbruch geht nicht
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:50 Do 08.03.2007
Autor: Flomo

wenn ich es mit Partieller Integration bis

[mm] \bruch{-ln(x)}{1+x} +\integral_{1}^{2}{\bruch{1}{x*(1+x}dx} [/mm]

geschafft habe, kann ich doch keine Partialbruchzerlegung machen, oder? Es steht doch eine 1 im Zähler.

Bezug
                        
Bezug
Integrieren von Logarithmen: Partialbruchzerlegung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:55 Do 08.03.2007
Autor: Roadrunner

Hallo Flomo!


Klar kannst Du hier eine MBPartialbruchzerlegung machen; da stört auch das $1_$ im Zähler nicht:

[mm] $\bruch{1}{x*(x+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x+1}$ [/mm]


Als Ergebnis solltest Du dann erhalten: $A \ = \ 1$ sowie $B \ = \ -1$ .


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                
Bezug
Integrieren von Logarithmen: werd es nochmal versuchen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:58 Do 08.03.2007
Autor: Flomo

Danke, ich war etwas voreilig

Bezug
                                
Bezug
Integrieren von Logarithmen: Ergebnis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:25 Do 08.03.2007
Autor: Flomo

Ich willEuch nochmals danken, es hat wunderbar funktioniert mit der Partialbruchzerlegung:


[mm]\bruch{1}{x*(x+1)} \ = \ \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x+1}[/mm]

1= Ax + B(1+x)
1= Ax + B + Bx
1= x*(A + B) +B

I    0 = A+B
II   1= B

A=-B
A=-1
B=1

Ergebnis: [mm] \bruch{5}{3}* [/mm] ln(2) - ln(3)


Bezug
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