Integration Div. Aufgaben < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 So 25.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
| Aufgabe 1 | Berechnen Sie mit den Integrationsmethoden und den Grundintegralen die folgenden unbestimmten Integrale:
[mm]\integral{\frac{\sin x}{2+\cos^2 x} dx}[/mm] |
| Aufgabe 2 | Berechnen Sie mit den Integrationsmethoden und den Grundintegralen die folgenden unbestimmten Integrale:
[mm]\integral{\frac{x^4-1}{x^3+4x} dx}[/mm] |
| Aufgabe 3 | Berechnen Sie das uneigentliche Integral:
[mm]I=\integral_{-\infty}^{0}{e^x \sin(3x) dx}[/mm] |
| Aufgabe 4 | Berechnen Sie das uneigentliche Integral:
[mm]\integral_{3}^{\infty}{\frac{1}{2x+x+(x+2)\wurzel{x+1}} dx}[/mm] |
| Aufgabe 5 | Berechnen Sie mit Partialbruchzerlegung eine Stammfunktion zu
[mm]f(x) = \frac{2x^3-4x^2+4x-3}{x^2+x^4}[/mm] |
| Aufgabe 6 | Berechnen Sie mit den Integrationsmethoden und den Grundintegralen das uneigentliche Integral
[mm]\integral_{0}^{\infty}{\frac{2}{{(2x+3)(4x+5)} dx}[/mm] |
| Aufgabe 7 | Berechnen Sie das konvergente uneigentliche Integral
[mm]\integral_{2}^{\infty}{\frac{1}{x\cdot{}\ln^2 x} dx}[/mm] |
Hi Leute,
ich weiß, es wird ein riesen Thread. Aber ich habe Probleme mit Integralen und ich möchte diese endlich aus den Weg schaffen. Bei manchen Aufgaben habe ich Lösungsansätze, bei anderen wiederum nicht mal ein Hauch von Ahnung.
Aufgabe 1:
Ich hatte hier ne Idee, aber beim Abtippen ist mir aufgefallen das die falsch ist.
Da [mm]cos^2x+sin^2x=1[/mm] habe ich [mm]u=\sin x[/mm] gesetzt.
[mm]\integral{\frac{\sin x}{2+\cos^2 x} dx}=\integral{\frac{u}{2+u^2} dx}[/mm]
Aber da ich nach [mm]dx[/mm] Integriere bringt mich das irgendwie nix.
Aufgabe 2:
[mm]u = x^2[/mm]
[mm]\integral{\frac{x^4-1}{x^3+4x} dx}=\integral{\frac{x^4}{x^3+4x} dx}-\red{\integral{\frac{1}{x^3+4x} dx}}=\frac{1}{2}x^2-2\cdot{}\integral{\frac{2x}{u+4} \frac{du}{2x}}-\red{\integral{\frac{1}{x^3+4x} dx}}=\frac{1}{2}x^2-2\cdot{}\ln(4+x^2)-\red{\integral{\frac{1}{x^3+4x} dx}} [/mm]
Den ersten Bruch habe ich durch Polynomdivision in einen echt gebrochenen Bruch (heisst das so?) gewandelt und dann durch Substitution hochgeleitet. Aber ich weiß nicht was ich mit dem rot markierten Integral anfangen soll.
Aufgabe 3:
Hier habe ich nicht die geringste Ahnung. Ich weiß nicht mal wie ich da anfangen könnte.
Aufgabe 4:
Hier genau das gleiche Problem, hier habe ich nichtmal einen Ansatz.
Aufgabe 5:
Ahhh ... Partialbruchzerlegung - mein Fachgebiet. Alle die im letzten Thread mir geholfen haben wissen was ich meine.
[mm]\integral{\frac{2x^3-4x^2+4x-3}{x^2+x^4}}[/mm]
[mm]\begin{matrix}
\frac{2x^3-4x^2+4x-3}{x^2(x^2+1)}&=&\frac{A_1}{x}+\frac{A_2}{x^2}+\frac{Bx+C}{1+x^2} \\
2x^3-4x^2+4x-3 &=& A_1(x+x^3)+A_2\cdot{}(1+x^2)+(Bx+C)\cdot{}x^2
\end{matrix}[/mm]
[mm]\begin{matrix}
x=0 &\Rightarrow& -3&=&A_2 \\
x=1 &\Rightarrow& 5 &=& 2A_1 &+& 8B &+& 1C \\
x=2 &\Rightarrow& 20 &=& 10A_1 &+& B &+& 4C \\
x=3 &\Rightarrow& 57 &=& 30A_1 &+& 27B &+& 9C
\end{matrix}[/mm]
Also [mm]A_1 =4[/mm], [mm]B =-2 [/mm], [mm]C = -1[/mm]. Probe stimmt - nicht das es so endet wie beim letzten mal.
[mm]\integral{\frac{2x^3-4x^2+4x-3}{x^2+x^4}}=4\cdot{}\integral{\frac{dx}{x}}-3\cdot{}\integral{\frac{dx}{x^2}}-\integral{\frac{2x}{1+x^2} dx}-\integral{\frac{1}{1+x^2} dx}=4\cdot{}\ln|x|+\frac{3}{x}-\ln|1+x^2|-\arctan(x)+C[/mm]
Aufgabe 6:
Noch nicht mal einen Ansatz habe ich bei dieser Aufgabe.
Aufgabe 7:
Hier genauso, nicht mal einen Ansatz.
Ich weiß das es sehr viel ist, aber ich habe versucht es so übersichtlich wie möglich zu gestalten.
Wünsche euch einen schönen Restsonntag.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 So 25.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
Ich persönlich würde es favorisieren, wenn Du derart viele eigenständige Aufgaben in eigenständige Threads, zumindest aber in unterschiedliche Artikel eines Threads posten würdest. Da ist dann doch etwas mehr Struktur drin.
Substituiere hier $u \ := \ [mm] \cos(x)$ [/mm] . Anschließend darfst Du nicht vergessen, das alte Differential $dx_$ durch $du_$ zu ersetzen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 So 25.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hallo Loddar, danke für den Hinweis.
> Ich persönlich würde es favorisieren, wenn Du derart viele
> eigenständige Aufgaben in eigenständige Threads, zumindest
> aber in unterschiedliche Artikel eines Threads posten
> würdest. Da ist dann doch etwas mehr Struktur drin.
Ok, werde ich machen.
Da ich bei vielen Aufgaben nichtmal einen Ansatz hatte, wollte ich durch mehrere Threads nicht den Eindruck erwecken, das ich die Aufgaben durch andere lösen lassen möchte.
[mm]
u \ := \cos x [/mm]
[mm]
\integral{\frac{\sin x}{2+\cos^2 x} dx} = \integral{\frac{\sin x}{2+u^2}\cdot{} \frac{du}{-\sin x}}=-\integral{\frac{1}{2+u^2} du} =-\frac{1}{\wurzel{2}}\cdot{}\arctan(\frac{\cos x}{\wurzel{2}})+C[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 So 25.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
Du musst hier die partielle Integration zweimal anwenden.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Do 29.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hallo Loddar, danke für den Hinweis, bin mir aber mit dem Ergebnis nicht sicher.
> Du musst hier die partielle Integration zweimal anwenden.
Ich hoffe ich habe es richtig umgesetzt
[mm]\integral_{-\infty}^{0}{e^x \sin(3x) dx} = \left[e^x\cdot{}(-\frac{1}{3}\cdot{}\cos(3x))\right]_{-\infty}^{0}+\frac{1}{3}\integral_{-\infty}^{0}{e^x \cos(3x) dx} = \left[e^x\cdot{}(-\frac{1}{3}\cdot{}\cos(3x))+\frac{1}{9}\cdot{}e^x\cdot{}\sin(3x)\right]_{-\infty}^{0}=\left[\frac{1}{3}\cdot{}e^x\cdot{}\left(\frac{1}{3}\cdot{}\sin(3x)-\cos(3x)\right)\right]_{-\infty}^{0}[/mm]
So steht´s bei mir im Buch:
Integration von [mm]x = \lambda[/mm] bis [mm]x = 0[/mm]
[mm] I(\lambda) = \integral_{\lambda}^{0}{e^x \sin(3x) dx} = \left[\frac{1}{3}\cdot{}e^x\cdot{}\left(\frac{1}{3}\cdot{}\sin(3x)-\cos(3x)\right)\right]_{\lambda}^{0} = \frac{1}{3}\cdot{}e^{\lambda}\cdot{}\left(\frac{1}{3}\cdot{}\sin(3\lambda)-\cos(3\lambda)\right) + \frac{1}{3}[/mm]
Grenzwertübergang [mm]\lambda\rightarrow-\infty[/mm]
[mm]\limes_{\lambda\rightarrow-\infty} \frac{1}{3}\cdot{}e^{\lambda}\cdot{}\left(\frac{1}{3}\cdot{}\sin(3\lambda)-\cos(3\lambda)\right) + \limes_{\lambda\rightarrow-\infty} \frac{1}{3} = 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}[/mm]
Habe ich die Aufgabe richtig gelöst?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Do 29.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
Du hast hier nur einmal partiell integriert. Von daher stimmt Deine Stammfunktion nicht.
Die weitere (prinzipielle) Vorgehensweise sieht gut aus.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 So 25.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
[mm]\integral_{3}^{\infty}{\frac{1}{2x+x+(x+2)\wurzel{x+1}} dx}[/mm]
Ist diese Aufgabe auch wirklich korrekt hier gepostet? Schließlich kann man hier im Nenner gleich zusammen fassen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Do 29.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hallo Loddar,
> [mm]\integral_{3}^{\infty}{\frac{1}{2x+x+(x+2)\wurzel{x+1}} dx}[/mm]
>
> Ist diese Aufgabe auch wirklich korrekt hier gepostet?
> Schließlich kann man hier im Nenner gleich zusammen
> fassen.
Du hast Recht, sie ist falsch gepostet. Ist mir beim kontrollieren nicht aufgefallen.
[mm]\integral_{3}^{\infty}{\frac{1}{2x+2+(x+2)\wurzel{x+1}} dx}[/mm]
Wie gehe ich hier am besten vor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Do 29.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
Beginne mit der Substitution:
$$u \ := \ [mm] \wurzel{x+1} [/mm] \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ x \ = \ [mm] u^2-1$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Do 29.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hallo Loddar,
> Beginne mit der Substitution:
> [mm]u \ := \ \wurzel{x+1} \ \ \ \gdw \ \ \ x \ = \ u^2-1[/mm]
ist es Erfahrung das man so schnell sieht was, wie substitiert werden muss oder gibt es da irgendwie einen Trick?
Leider habe ich weiterhin Probleme, ich schreibe mal Schritt für Schritt hin wie ich vorgegangen bin.
[mm]\integral_{3}^{\infty}{\frac{1}{2x+2+(x+2)\wurzel{x+1}} dx}[/mm]
[mm]u \ := \ \wurzel{x+1} \ \ \ \gdw \ \ \ x \ = \ u^2-1[/mm]
[mm]u'(x)= \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\wurzel{x+1}} \ \ \ \gdw \ \ \ dx \ = \ du \cdot{}2\cdot{}\wurzel{x+1}[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm]2\cdot{}\integral_{u(3)}^{u(\infty)}{\frac{\wurzel{x+1}}{2u^2+(u^2+1)\wurzel{x+1}} du}[/mm]
Ich möchte irgendwie den Term [mm]\wurzel{x+1}[/mm] rausbekommen, aber ich kann ich ja schlecht kürzen.
Oder kann ich hier einfach sagen:
[mm]2\cdot{}\integral_{u(3)}^{u(\infty)}{\frac{u}{2u^2+(u^2+1)\cdot{}u} du}[/mm] und dann damit weiterarbeiten?
So das es ich nachher etwas habe wie:
[mm]2\cdot{}\integral_{u(3)}^{u(\infty)}{\frac{u}{2u^2+(u^2+1)\cdot{}u} du} = 2\cdot{}\integral_{u(3)}^{u(\infty)}{\frac{1}{u^2+2u+1} du}=2\cdot{}\integral_{u(3)}^{u(\infty)}{\frac{1}{(u+1)^2} du}=2\cdot{}\left[-\frac{1}{u+1}\right]_{u(3)}^{u(\infty)}[/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 So 25.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
Auch hier musst Du den Bruch zunächst einer  Partialbruchzerlegung unterziehen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Do 29.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
Bis auf den allerletzten Schritt stimmt es. Aber es gilt:
[mm] $$\bruch{4}{2} [/mm] \ : \ [mm] \bruch{5}{3} [/mm] \ = \ [mm] 2*\bruch{3}{5} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{6}{5}$$
[/mm]
Das Endergebnis muss also [mm] $\ln\left(\bruch{6}{5}\right) [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0.182$ lauten.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Do 29.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hmm ... kA wie ich auf die letzten Schritte gekommen bin, kann ich selber nicht mehr nachvollziehen.
Danke Loddar fürs Korrekturlesen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 So 25.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
Substituiere hier: $u \ := \ [mm] \ln(x)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 So 25.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Stimmt!
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 So 25.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
So ganz kann ich Deiner Umformung nicht folgen ...
Aber für die Integration des roten Integrales musst Du wiederum eine Partialbruchzerlegeung durchführen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 So 25.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hallo Loddar.
[mm]\integral{\frac{x^4-1}{x^3+4x} dx}\Rightarrow Polynomdivision \Rightarrow\integral{x-\frac{4x^2+1}{x^3+4x} [/mm]
> Aber für die Integration des roten Integrales musst Du
> wiederum eine Partialbruchzerlegeung durchführen.
Ja, stimmt, hätte ich selber drauf kommen können. Habe ich aber nicht gesehen.
[mm]\begin{matrix}
\frac{4x^2+1}{x(x^2+4)} &=& \frac{A_1}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+4} \\
4x^2+1 &=& A_1\cdot{}{(x^2+4)}+(Bx^2+Cx)
\end{matrix}[/mm]
Also [mm]A_1=\frac{1}{4}[/mm], [mm]B=\frac{15}{4}[/mm], [mm]C=0[/mm] - Probe gemacht - stimmt.
[mm]\integral{\frac{x^4-1}{x^3+4x} dx}=\integral{x-\frac{4x^2+1}{x^3+4x}=\integral{x dx} - \frac{1}{4} \cdot{}\integral{\frac{dx}{x}}- \frac{15}{4} \cdot{}\integral{\frac{x}{x^2+4} dx}=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}\cdot{}\ln|x|-\frac{15}{8}\cdot{}\ln(x^2+4)+C[/mm]
Stimmt das so?
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Hallo, perfekt gelöst, Steffi
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Ja genau!
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Richtigkeit überprüft