Integral über kreislinie < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Mi 06.05.2009 | | Autor: | mona85 |
| Aufgabe | Betrachte die positiv orientierte Kreislinie [mm] \partial D_{r} (a): t \mapsto a+ re^{i2\pi t}, 0 \le t \le 1. Dann gilt \bruch{1}{2i\pi}\integral_{\partial D_{r} (a)}^{}{\bruch{1}{z-a} dz} = 1 [/mm]
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Jetzt habe ich in einem Buch gefunden, dass das Integral das gleiche ist wie
[mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{re^{it}}ire^{it} dt} = 2i\pi [/mm]
Ich würde gerne wissen, wie man von dem ersten Integral auf das Untere Integral kommt, das sehe ich irgendwie noch nicht.
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.
VIelen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
vorweg etwas allgeimeiner: [mm] $G\subset\IC$ [/mm] Gebiet, [mm] $f:G\rightarrow\IC$, $\gamma:[a,b]\rightarrow\IC$ [/mm] glatter (d.h. stetig differenzierbarer) Integrationsweg (oder: Kurve) in $G$ (d.h. [mm] $\mathrm{spur}(\gamma)\subset [/mm] G$) mit [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] und $a<b$. Dann definiert man das Wegintegral von $f$ entlang [mm] $\gamma$ [/mm] durch
[mm] $\int_{\gamma}f:=\int_{\gamma}f(z)\,dz:=\int_{a}^{b}f(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,dt$
[/mm]
Nun zu Dir:
> Betrachte die positiv orientierte Kreislinie [mm]\partial D_{r} (a): t \mapsto a+ re^{i2\pi t}, 0 \le t \le 1. Dann gilt \bruch{1}{2i\pi}\integral_{\partial D_{r} (a)}^{}{\bruch{1}{z-a} dz} = 1[/mm]
>
> Jetzt habe ich in einem Buch gefunden, dass das Integral
> das gleiche ist wie
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{re^{it}}ire^{it} dt} = 2i\pi[/mm]
>
> Ich würde gerne wissen, wie man von dem ersten Integral auf
> das Untere Integral kommt, das sehe ich irgendwie noch
> nicht.
Multipliziere das obere Integral mit [mm] $2\pi [/mm] i$. Anschließend wendest Du beim obigen Integral die Definition des Wegintegrals (Kurvenintegrals) an. Dazu musst Du Deine Kurven im Integranten des oberen Integrals für $z$ einsetzen (dann heben sich die $a$'s weg) und mit der Ableitung des Weges (oder der Kurve) multiplizieren.
> Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.
> VIelen Dank
Gruß Denny
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Mi 06.05.2009 | | Autor: | mona85 |
das ist ja schonmal super, das hat mir total geholfen...
um nun auf die [mm] i2\pi [/mm] als Ergebnis zu kommen, müsste ich nun die stammfunktion bilden und mit den Integralgrenzen 0 und [mm] 2\pi [/mm] einsetzen, oder??
danke schon mal soweit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Do 07.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> das ist ja schonmal super, das hat mir total geholfen...
> um nun auf die [mm]i2\pi[/mm] als Ergebnis zu kommen, müsste ich
> nun die stammfunktion bilden und mit den Integralgrenzen 0
> und [mm]2\pi[/mm] einsetzen, oder??
Ja. Betrachte das untere Deiner Integrale. Dort ziehst Du das $i$ im Zaehler vor das Integralzeichen. Der Rest kuerzt sich weg, so dass du im Integranten nur noch $1$ stehen hast. Davon bildest Du die Stammfunktion und setzt die Grenzen $0$ und [mm] $2\pi$ [/mm] ein. Schon bist Du fertig.
Gruss
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