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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Integral über Gebiet
Integral über Gebiet < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Integral über Gebiet: Grenzen vom neg. Integral
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:09 Mo 11.02.2013
Autor: Ingenieurnik

Aufgabe
Integriert wird die Funktion f(x) = x + y über das Gebiet G :={(x,y) | [mm] x^2+y^2 [/mm] < R} Wie lautet das Integral in den neuen Koordinaten [mm] (r,\alpha) [/mm] mit
[mm] x:=r^2sin(\alpha), [/mm]
[mm] y:=r^2cos(\alpha) [/mm]

Ich komme auf [mm] -2\integral_{0}^{2\pi}\integral_{\wurzel{R}}^{0}{r^5(sin\alpha+cos\alpha) dr d\alpha} [/mm] ?

Also das die [mm] det(J(r,\alpha)) [/mm] mit [mm] -2r^3 [/mm] ist klar... Aber warum das Integral von [mm] \wurzel{R} [/mm] bis 0 und nicht umgekehrt????

Vielen Dank :)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Integral über Gebiet: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 Mo 11.02.2013
Autor: mathmetzsch

Hallo,

scheint plausibel. Die Integrationsgrenzen dürfen durch das "-" vor dem Integral vertauscht werden und dann ergeben sie mehr Sinn...! Das innere Integral läuft dann von 0 bis [mm] \wurzel{R} [/mm]

Grüße, Daniel


Bezug
                
Bezug
Integral über Gebiet: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:37 Mo 11.02.2013
Autor: Ingenieurnik

Hallo Daniel,

Kapiere ich nicht ganz.. also das stammt von einer Probeklausur der Uni-München. Die Aufgabe war ein MC und es gab als Antwort auch noch das gleiche integral mit Integrationsgrenze 0 bis [mm] \wurzel{R} [/mm] was meine Antwort war. Ich hab die Aufgabe als falsch zurück bekommen und das oben genannte Integral in der Komplettlösung gefunden.


Bezug
                        
Bezug
Integral über Gebiet: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 Mo 11.02.2013
Autor: notinX

Hallo,

> Integriert wird die Funktion f(x) = x + y über das Gebiet
> $G [mm] :=\{(x,y) | x^2+y^2 < R\}$ [/mm] Wie lautet das Integral in den
> neuen Koordinaten [mm](r,\alpha)[/mm] mit
>  [mm]x:=r^2sin(\alpha),[/mm]
>  [mm]y:=r^2cos(\alpha)[/mm]
>  Ich komme auf
> [mm]-2\integral_{0}^{2\pi}\integral_{\wurzel{R}}^{0}{r^5(sin\alpha+cos\alpha) dr d\alpha}[/mm]
> ?

das ist falsch.

>  
> Also das die [mm]det(J(r,\alpha))[/mm] mit [mm]-2r^3[/mm] ist klar... Aber
> warum das Integral von [mm]\wurzel{R}[/mm] bis 0 und nicht
> umgekehrt????

Ich denke Du bist auf dieses Ergebnis gekommen. Warum das so ist kann ich Dir nicht beantworten...

>  
> Vielen Dank :)
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo Daniel,
>  
> Kapiere ich nicht ganz.. also das stammt von einer
> Probeklausur der Uni-München. Die Aufgabe war ein MC und

Was auch immer 'ein MC' sein mag...

> es gab als Antwort auch noch das gleiche integral mit
> Integrationsgrenze 0 bis [mm]\wurzel{R}[/mm] was meine Antwort war.

Falls Du das meinst:
$ [mm] -2\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\wurzel{R}}{r^5(\sin\alpha+\cos\alpha)\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\alpha}$ [/mm]
stimmt das.
Das lässt sich mit der leicht zu beweisenden Beziehung:
[mm] $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x$ [/mm]
in:
[mm] $2\integral_{0}^{2\pi}\integral_{\wurzel{R}}^{0}{r^5(\sin\alpha+\cos\alpha)\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\alpha}$ [/mm]
umformen.

> Ich hab die Aufgabe als falsch zurück bekommen und das
> oben genannte Integral in der Komplettlösung gefunden.
>  

Eben hattest Du das Integral noch selbst ausgerechnet...

Gruß,

notinX

Bezug
        
Bezug
Integral über Gebiet: Integral
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:30 Di 12.02.2013
Autor: kaju35

Hallo Ingenieurnik,

> Also das die [mm]det(J(r,\alpha))[/mm] mit [mm]-2r^3[/mm] ist klar...

Was meinst Du mit [mm]det(J(r,\alpha))[/mm]?

Und wo kommt die 5.te Potenz von $r$ her?

Es ist ja zu bestimmen, wie groß das Integral in den
Polar-Koordinaten ist.

Nun, ich habe mir mal zwei kurze Programme
geschrieben, die das Integral mal in $(x,y)$ und
mal in [mm] $(r,\alpha)$ [/mm] liefern. Erwartungsgemäß sind
die beiden Werte identisch. Wie groß?


Gruß
Kai


Bezug
        
Bezug
Integral über Gebiet: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:26 Di 12.02.2013
Autor: fred97

Einige Bemerkungen:

1.

$ [mm] x:=r^2*sin(\alpha), [/mm] $
$ [mm] y:=r^2*cos(\alpha) [/mm] $

beschreibt keine (!) Polarkoordinaten .

2. Laut Transformationssatz muß unterm Integral mit dem Betrag (!) der Funktionaldeterminante multipliziert werden.

Im vorliegenden Fall also mit [mm] 2r^3 [/mm] (und nicht mit [mm] -2r^3) [/mm]


3. Steht in der Aufgabenstellung wirklich G [mm] :=\{(x,y) | x^2+y^2 < R\} [/mm] und nicht  G [mm] :=\{(x,y) | x^2+y^2 < R^2\} [/mm] ?


Wenn da G [mm] :=\{(x,y) | x^2+y^2 < R\} [/mm] steht, so hat man wegen

    
$ [mm] x:=r^2sin(\alpha), [/mm] $  $ [mm] y:=r^2cos(\alpha) [/mm] $:

    [mm] x^2+y^2=r^4. [/mm]

Damit läuft r im Intervall [mm] [0,\wurzel[4]{R}) [/mm] und das transformierte Integral lautet:

   $ [mm] 2\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\wurzel[4]{R}}{r^5(sin\alpha+cos\alpha) dr d\alpha} [/mm] $.



Steht da allerdings G [mm] :=\{(x,y) | x^2+y^2 < R^2\}, [/mm] so hat man


$ [mm] 2\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\wurzel[]{R}}{r^5(sin\alpha+cos\alpha) dr d\alpha} [/mm] $.


und das =  $ [mm] -2\integral_{0}^{2\pi}\integral_{\wurzel{R}}^{0}{r^5(sin\alpha+cos\alpha) dr d\alpha} [/mm] $


FRED


Bezug
                
Bezug
Integral über Gebiet: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:33 Di 12.02.2013
Autor: Ingenieurnik

Hallo Fred,

jetzt ist es mir das erste Mal klar geworden :-) !!
Ich hab das mit dem Betrag übersehen... dann ist es klar...
Das Gebiet geht tatsächlich von  G [mm]:=\{(x,y) | x^2+y^2 < R\}[/mm]  kann ich daraus nicht schließen dass das Intervall von  [mm][0,\wurzel[2]{R})[/mm] läuft mit groß R.
[mm]x^2+y^2=r^4.[/mm] bezieht sich dann doch auf klein r
Ansonsten ist die Aufgabe einfach falsch...

Vielen Dank dir an dieser Stelle und an alle beteiligten!
Dominik

Bezug
                        
Bezug
Integral über Gebiet: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:06 Di 12.02.2013
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> jetzt ist es mir das erste Mal klar geworden :-) !!
>  Ich hab das mit dem Betrag übersehen... dann ist es
> klar...
>  Das Gebiet geht tatsächlich von  G [mm]:=\{(x,y) | x^2+y^2 < R\}[/mm]
>  kann ich daraus nicht schließen dass das Intervall von  
> [mm][0,\wurzel[2]{R})[/mm] läuft mit groß R.
>   [mm]x^2+y^2=r^4.[/mm] bezieht sich dann doch auf klein r

Ja, und es ist 0 [mm] \le r^4=x^2+y^2

>  Ansonsten ist die Aufgabe einfach falsch...

Vielleicht meint der Aufgabensteller doch  G  [mm] :=\{(x,y) | x^2+y^2 < R^2\} [/mm]
und hat sich vertippt .....


FRED

>  
> Vielen Dank dir an dieser Stelle und an alle beteiligten!
>  Dominik


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