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Induktionsspannung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:00 Di 10.07.2018
Autor: Maxi1995

Aufgabe
Eine Metallscheibe Vem Radius R rotiert in einem ho-
mogenen Magnetfeld der Flussdichte $ [mm] \overrightarrow{B} [/mm] $ rnit der kon-
stanten Winkelgesehwindigkeit $w$ um die Feldrichtung
(senkrecht zur Zeichenebene, siehe Bild IV-1). Bestim-
rnen Sie die über zwei Sehleifkentakte abgreifbare In-
duktionsspannung U zwischen der Scheibenrnitte M
und dem Scheibenrandpunkt P durch Anwendung des
Induktionsgesetzes [A37].

Zusatz:
Induktionsspannung in einem durch ein Magnetfeld
bewegten elektrischen Leiter

Wird ein elektrischer Leiter der Länge l mit der konstanten Geschwindigkeit
$v$ senkrecht zu den Feldlinien eines homogenen Magnetfeldes der konstanten
Flussdichte [mm] $\overrightarrow{B}$ [/mm] bewegt, so beträgt die im Leiter durch elektromagnetische In-
duktion erzeugte Spannung
$U=Blv$

Hallo,
ich möchte die abgreifbare Induktionsspannung berechnen. Jetzt wird so vorgegangen, dass man sagt:

Wir betrachten das in Bild IV-l ([Dateianhang nicht öffentlich]) eingezeichnete, in radialer Richtung im Abstand r von der
Drehachse M liegende Leiterelement der Länge dr. Es bewegt sich mit der konstanten
Bahngeschwindigkeit $v = w r $ senkrecht durch das Magnetfeld mit der konstanten
Flussdichte $ [mm] \overrightarrow{B} [/mm] $. Nach dem lnduktionsgesetz [A37] wird in diesem Leiterelement eine Spannung vom Betrag
$dU=Bvdr=Bwrdr $ induziert.

Jetzt verstehe ich nicht, wieso hier auf einmal das dU auftaucht.



Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Induktionsspannung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Di 10.07.2018
Autor: Event_Horizon

Hallo!

In deiner Aufgabenstellung steht ja bereits, daß die Induktionsspannung

$U=Blv$

beträgt. $l$ ist dabei die Breite des Leiters senkrecht zur Bewegungsrichtung, also sowas wie der Radius der Scheibe.
Die Geschwindigkeit $v$ ist allerdings nicht konstant über den gesamten Radius, aber wenn man die Scheibe in sehr schmale Ringe zerschneidet, kann man das jeweils annehmen. Die Ringe haben die Breite $dr$, und bringen jeweils eine Spannung $dU$. Daher also

[mm] $dU=Bv\,dr$ [/mm]

Die Gesamtspannung ist die Summe dieser Einzelspannungen, bzw. im Grenzfall eben das Integral darüber.

Wenn du dich fragst, woher die erste Gleichung stammt: Wenn die Elektronen im Leiter das Magnetfeld spüren, erfahren sie eine Kraft $F=qvB$, die sie senkrecht zu Bewegungsrichtung und Magnetfeld drückt. Sie wandern zur Seite, und bauen dadurch ein elektrisches Feld auf, das gemäß [mm] $F=qE=\frac{qU}{l}$ [/mm] der Bewegung entgegen wirkt. Im Kräftegleichgewicht kommst du dann genau auf die obige Formel.

Bezug
                
Bezug
Induktionsspannung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:44 Di 10.07.2018
Autor: HJKweseleit

Man kann auch so tun, als hätte man statt der Scheibe eine rotierende Speiche. Diese bewegt sich am Rand schneller als in der Mitte. In jedem Längenstückchen wird dann eine Spannung erzeugt,  nahe am Mittelpunkt kaum, am Rand mehr.

Da sich hintereinandergeschaltete Spannungen addieren, bekommst du für jedes Längenstück dr eine Teilspannung dU. Diese musst du summieren - sprich: Das Integral bilden.

Trick: Die Teilspannung ist prop. zur Geschwindigkeit und diese prop. zum Abstand vom Mittelpunkt. Also ist die Teilspannung linear ansteigend auf der Speiche verteilt, und du kannst - ganz ohne Integral - mit dem Wert auf dem halben Radius rechnen:

[mm] U_{ind}=Brv_{Mitte}=Br*\bruch{1}{2}\omega [/mm] r = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] B [mm] \omega r^2. [/mm]

Bezug
                
Bezug
Induktionsspannung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:44 Fr 13.07.2018
Autor: Maxi1995

Hallo und danke für eure Antwort,
also hätte man auch einfach sagen können, ich kriege die Spannung [mm] $U_{\text{Teil}}$, [/mm] sprich die Teilspannung und das Integral wird dann als die Summation über diese Teilspannungen begriffen? Weil ich hätte es jetzt so verstanden, das wir dU nehmen, damit wir die Ableitung von U nach r haben und dann den Hauptsatz nutzen können.
Ansonsten würde mich interessieren, wie du (HJKweseleit) bei deinem Trick vorgehst, da ich den Schritt nicht ganz sehe, wie du von den Proportionalitäten zu der Gleichheit kommst.


Bezug
                        
Bezug
Induktionsspannung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 Fr 13.07.2018
Autor: HJKweseleit


> Hallo und danke für eure Antwort,
>  also hätte man auch einfach sagen können, ich kriege die
> Spannung [mm]U_{\text{Teil}}[/mm], sprich die Teilspannung und das
> Integral wird dann als die Summation über diese
> Teilspannungen begriffen?

Ja, weil sich hintereinander geschaltete Spannungen addieren.

> Weil ich hätte es jetzt so
> verstanden, das wir dU nehmen, damit wir die Ableitung von
> U nach r haben und dann den Hauptsatz nutzen können.

Das klingt ungefähr so für mich, als wenn du sagen würdest: Ich rechne mit einem Drittel des Wertes, damit ich hinterher mit 3 malnehmen kann und so das Ergebnis erhalte.

Ich möchte dir zunächst an einem anderen Beispiel zeigen, wie du dir besser das Ganze vorstellen kannst.

Du weißt, dass das Volumen eines Kegels V=G*h/3 ist (G= Grundfläche, h=Höhe). Außerdem kennst du die Integralformel für die  Volumenberechnung eines Rotationskörpers. Das vergessen wir aber mal alles undnehmen an, dass du nur die Formel für einen Zylinder kennst: V=G*h.

Nun ist aber der Kegel kein Zylinder, du kannst die Formel so also nicht anwenden. Aber du stellst dir jetzt vor, man würde den Kegel in lauter winzig dünne kreisförmige Scheiben zerschneiden. Die hätten alle einen schrägen Rand, aber für einen Moment tust du so, als wäre er senkrecht.

Ist nun der Radius r einer solchen Scheibe am Boden R, so ist er in der Höhe y:

r = [mm] R-\bruch{R}{h}*y [/mm]   (Strahlensätze).

Nun kanst du das Volumen dV (erkläre ich gleich) einer solchen Scheibe ausrechnen:

[mm] dV=\pi r^2*dy [/mm] = [mm] \pi (R-\bruch{R}{h}*y)^2 [/mm] *dy.

Hier geht es nun nicht um Ableitungen oder Ähnliches, sondern: dy ist eine winzige Scheibendicke, dV ein winziger Zuwachs, den diese Scheibe zum Gesamtvolumen beiträgt.
Wie wolltest du durch Ableiten auf diese Gleichung kommen, wenn du für das Volumen noch gar keine Formel hast?

Jetzt summierst du alle dVs, indem du ein großes S davor schreibst, und das machst du mit der rechten Seite der Gleichung ebenfalls; mit anderen Worten: Du integrierst  beide Seiten von y=0 bis y=h und erhältst:

V = [mm] \pi \integral_{0}^{h}{(R^2-2*\bruch{R^2}{h}*y+\bruch{R^2}{h^2}*y^2)*dy}= \pi*(R^2y-\bruch{R^2}{h}y^2+\bruch{R^2}{3h^2}y^3) |_0^h [/mm] = [mm] \pi (R^2h-R^2h+\bruch{1}{3}R^2h)=\pi \bruch{1}{3}R^2h [/mm] = G*h/3.


>  Ansonsten würde mich interessieren, wie du (HJKweseleit)
> bei deinem Trick vorgehst, da ich den Schritt nicht ganz
> sehe, wie du von den Proportionalitäten zu der Gleichheit
> kommst.
>  


Grundsätzlich gilt für die Integration einer linearen Funktion Folgendes:

f(x)= mx + c soll von x=a bis x=b integriert werden:

[mm] \integral_a^b [/mm] (mx+c)dx = [mm] \bruch{1}{2}mx^2+cx |_a^b [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}mb^2+cb -(\bruch{1}{2}ma^2+ca)=\bruch{1}{2}m(b^2-a^2)+c(b-a) [/mm] = [mm] (b-a)(\bruch{1}{2}m(a+b)+c) [/mm] (3. bin. Formel) =
a) [mm] Intervallbreite*f(\bruch{a+b}{2})= [/mm] Intervallbreite*Wert der Intervallmitte  oder
b) [mm] Intervallbreite*\bruch{ma+c+mb+c}{2}=Intervallbreite*\bruch{f(a)+f(b)}{2}= [/mm] Intervallbreite * Durchschnittswert aus Anfangs-und Endwert.

Anschaulich: Die entsprechende Fläche unter einer linearen Funktion ist ein Trapez, dessen Flächeninhalt = Breite * mittlere Höhe ist, wobei die mittlere Höhe gleichzeitig der Mittelwert aus den beiden Randhöhen ist.




Wozu?

Nehmen wir folgendes Problem: Ein Auto wird gleichmäig in 10 Sekunden von 30 m/s auf 40 m/s beschleunigt. Wie weit ist es dabei gefahren?

Das kannst du nun im Kopf rechnen, statt zu integrieren!!!
Und du brauchst (fast) nicht die Formeln für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung!!!
Strecke = Geschwindigkeit*Zeit, die Geschwindigkeit ist allerdings nicht konstant, steigt aber linear an, und deshalb nehmen wir die mittlere Geschwindigkeit. Somit: Intervallbreite= 10 Sekunden, mittlere Geschwindigkeit=35 m/s, somit 350 m Beschleunigungsstrecke. Keine Weg-Zeit-Gesetze oder Integrale!!!

Nach 250 m wurde eine Auto von 20 m/s auf 30 m/s beschleunigt. Keine Uhr dabei, sonst nichts bekannt.

Mittlere Geschwindigkeit= 25 m/s, Strecke 250 m, daher Zeitintervall 10 s und Beschleunigung 10 [mm] m/s^2. [/mm] Alles ohne Integrale!

Das Ganze funktioniert aber nur, weil bei konstanter Geschwindigkeit diese als einfacher Faktor in die Streckenberechnung eingeht.



Nun zu deinem Problem.
[Dateianhang nicht öffentlich]

Die gedachte Speiche drehe sich gegen den Uhrzeigersinn, das linke Ende ruhe im Mittelpunkt, der rechte Rand bewege sich mit [mm] v=r\omega. [/mm] Dann bewegt sich die Mitte der Speiche natürlich mit [mm] \bruch{r}{2}\omega [/mm] nur halb so schnell, von links nach recht nimmt die Umlaufgeschwindigkeit linear zu (blaue Pfeillängen).

Wegen [mm] dU_{ind}=B*dr*v [/mm] ist dU proportional zu v (blaue Pfeile) und dies proportional zu r (rote Pfeile).
(Statt der Proportionalität würde auch die Linearität reichen, wenn z.B. der eine Abgriff nicht im Mittelpunkt, sondern weiter zum Rand hin läge.)

Würde sich der Leiter - statt zu rotieren - überall mit dem Wert am rechten Ende [mm] v=\omega [/mm] r bewegen, wäre die Spannung =Brv. Tatsächlich bewegt er sich rechts so, links aber gar nicht, und der Mittelwert ist [mm] (\omega [/mm] r + 0)/2 = [mm] \bruch{\omega r}{2}. [/mm] Und jetzt tust du so, als würde sich der ganze Leiter mit dieser Durchschnittsgeschwindigkeit bewegen: [mm] U=B\bruch{\omega r}{2}r=B\bruch{\omega r^2}{2}. [/mm]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                                
Bezug
Induktionsspannung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:35 Mo 23.07.2018
Autor: Maxi1995

Hallo HJKweseleit,
ich danke dir für deine sehr ausführliche Antwort. Ich werde mich gründlich damit auseinandersetzen und mich im Falle einer weiteren Frage melden.

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