In- und Surjektivität < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 Di 28.10.2014 | | Autor: | Verloren |
| Aufgabe | Seien f: X [mm] \to [/mm] Y und g: Y [mm] \to [/mm] Z Funktionen. Entscheiden Sie, ob die Komposition g [mm] \circ [/mm] f injektiv oder surjektiv ist, falls
1. f und g injektiv sind, oder
2. f injektiv und g surjektiv ist.
Geben Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel für Ihre Behauptung. |
Guten Abend,
ich sitze gerade an der obenstehenden Frage und komme nicht so recht voran. Die Themen Injektivität und Surjektivität hatten wir zuletzt in der Vorlesung, wo ich das auch recht gut verstanden habe, nur beim Transfer auf Kompositionen zweier Funktionen hapert es noch ein wenig:
Eine Funktion ist Injektiv falls: [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] A: [mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}
[/mm]
Eine Funktion ist Surjektiv falls: [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] B: [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A : f(x) = y
______________________
Aufgabe 1)
Voraussetzung : f und g sind injektiv
Behauptung: g [mm] \circ [/mm] f ist injektiv
(g [mm] \circ [/mm] f) [mm] (x_{1}) [/mm] = (g [mm] \circ [/mm] f) [mm] (x_{2})
[/mm]
[mm] \gdw g(f(x_{1})) [/mm] = [mm] g(f(x_{2})) [/mm] ,da g injektiv ist, beibt nur
[mm] \gdw f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}) [/mm] ,da f injektiv ist, bleibt nur
[mm] \gdw x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} \Rightarrow [/mm] g [mm] \circ [/mm] f ist injektiv
Nun fangen jedoch meine Probleme an.
Ich weiß nicht, wie ich zeigen soll, dass zum Beispiel zwei injektive Funktionen als Komposition vielleicht surjektiv werden (siehe 1.) .
____________________
Bei der zweiten Aufgabe habe ich versucht, das für die Injektivität wieder genauso zu zeigen wie bei 1.) nur ist dort g nicht mehr injektiv, sondern surjektiv.
Heißt das, der folgende Schritt ist falsch:
Aufgabe 2:
Voraussetzung : f ist injektiv und g ist surjektiv
Behauptung: g [mm] \circ [/mm] f ist injektiv
(g [mm] \circ [/mm] f) [mm] (x_{1}) [/mm] = (g [mm] \circ [/mm] f) [mm] (x_{2})
[/mm]
[mm] \gdw g(f(x_{1})) [/mm] = [mm] g(f(x_{2})) [/mm] ,da f injektiv ist, beibt nur
[mm] \gdw g(x_{1}) [/mm] = [mm] g(x_{2}) [/mm] , g ist surjektiv
...
Ich hoffe, dass einer von Euch mir einige Tipps geben kann, wie ich doch noch zu einem schönen Ergebnis komme und das ganze gut verstehe.
Beste Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Di 28.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien f: X [mm]\to[/mm] Y und g: Y [mm]\to[/mm] Z Funktionen. Entscheiden
> Sie, ob die Komposition g [mm]\circ[/mm] f injektiv oder surjektiv
> ist, falls
>
> 1. f und g injektiv sind, oder
> 2. f injektiv und g surjektiv ist.
>
> Geben Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel für Ihre
> Behauptung.
> Guten Abend,
>
> ich sitze gerade an der obenstehenden Frage und komme nicht
> so recht voran. Die Themen Injektivität und Surjektivität
> hatten wir zuletzt in der Vorlesung, wo ich das auch recht
> gut verstanden habe, nur beim Transfer auf Kompositionen
> zweier Funktionen hapert es noch ein wenig:
>
> Eine Funktion ist Injektiv falls: [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] A:
> [mm]f(x_{1})[/mm] = [mm]f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}[/mm] = [mm]x_{2}[/mm]
>
> Eine Funktion ist Surjektiv falls: [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] B: [mm]\exists[/mm]
> x [mm]\in[/mm] A : f(x) = y
>
> ______________________
>
>
> Aufgabe 1)
>
> Voraussetzung : f und g sind injektiv
> Behauptung: g [mm]\circ[/mm] f ist injektiv
>
> (g [mm]\circ[/mm] f) [mm](x_{1})[/mm] = (g [mm]\circ[/mm] f) [mm](x_{2})[/mm]
> [mm]\gdw g(f(x_{1}))[/mm] = [mm]g(f(x_{2}))[/mm] ,da g injektiv ist,
> beibt nur
> [mm]\gdw f(x_{1})[/mm] = [mm]f(x_{2})[/mm]
> ,da f injektiv ist, bleibt nur
> [mm]\gdw x_{1}[/mm] = [mm]x_{2} \Rightarrow[/mm] g [mm]\circ[/mm] f ist
> injektiv
das sieht doch gut aus. Mir wäre es nur lieber, wenn Du nicht die [mm] $\gdw$ [/mm] verwendest,
wenn Du sie nicht brauchst. Denn etwa bei
[mm] $g(f(x_1))=g(f(x_2))$ $\iff$ $f(x_1)=f(x_2)$
[/mm]
hat die Richtung [mm] $\Longleftarrow$ [/mm] nichts mit Injektivität zu tun (sondern?) - wohl
aber die Richtung [mm] $\Longrightarrow$.
[/mm]
Und am Anfang solltest Du auch am Besten sowas wie
"Seien [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] A$ mit $(g [mm] \circ f)(x_1)=(g \circ f)(x_2)$ [/mm] (ansonsten aber) beliebig und fest... "
schreiben...
>
>
> Nun fangen jedoch meine Probleme an.
> Ich weiß nicht, wie ich zeigen soll, dass zum Beispiel
> zwei injektive Funktionen als Komposition vielleicht
> surjektiv werden (siehe 1.) .
Du kannst doch sicher zwei injektive Funktionen angeben, deren Komposition
nicht surjektiv ist. Na gut, mach' ich das mal:
$f [mm] \colon [0,\infty) \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x\,$
[/mm]
und
$g [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x)=x\,.$
[/mm]
Wie sieht $g [mm] \circ [/mm] f$ aus? Es ist
$g [mm] \circ [/mm] f [mm] \colon [0,\infty) \to \IR$ [/mm] mit $(g [mm] \circ [/mm] f)(x)=...$?
Es gibt natürlich auch Bspe., die zeigen, dass die Verknüpfung zweier
injektiver Funktionen durchaus auch surjektiv sein kann - nimm' einfach mal
zwei bijektive Funktionen...
(Schön ist, dass die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion auch wieder
bijektiv ist - denn da ist die Kompisition besonders einfach...)
> ____________________
>
>
> Bei der zweiten Aufgabe habe ich versucht, das für die
> Injektivität wieder genauso zu zeigen wie bei 1.) nur ist
> dort g nicht mehr injektiv, sondern surjektiv.
>
> Heißt das, der folgende Schritt ist falsch:
>
> Aufgabe 2:
>
> Voraussetzung : f ist injektiv und g ist surjektiv
> Behauptung: g [mm]\circ[/mm] f ist injektiv
>
> (g [mm]\circ[/mm] f) [mm](x_{1})[/mm] = (g [mm]\circ[/mm] f) [mm](x_{2})[/mm]
> [mm]\gdw g(f(x_{1}))[/mm] = [mm]g(f(x_{2}))[/mm] ,da f injektiv ist,
> beibt nur
> [mm]\red{\gdw\;} g(x_{1})[/mm] = [mm]g(x_{2})[/mm]
Na, das ist jetzt Quatsch: Wenn [mm] $g\,$ [/mm] INJEKTIV wäre, dann könntest Du aus
[mm] $g(\red{\,f(x_1)\,})=g(\red{\,f(x_2)\,})$
[/mm]
die Gleichheit der Argumente von [mm] $g\,$ [/mm] (die sind rotmarkiert!) folgern.
Das rote [mm] $\red{\gdw}$ [/mm] bei Dir ist also falsch, dort würde nur [mm] $\Leftarrow$ [/mm] gelten! (Warum eigentlich?)
Versuch' jetzt einfach mal, ein injektives [mm] $f\,$ [/mm] und ein surjektives [mm] $g\,$ [/mm] so zu finden,
dass $g [mm] \circ [/mm] f$ nicht mehr injektiv ist. Beachte, dass [mm] $g\,$ [/mm] durchaus nichtinjektiv
sein darf! (Du kannst übrigens durchaus erstmal versuchen, mit ENDLICHEN
Mengen zu arbeiten - wobei damit gemeint ist, dass die Menge nur endlich
viele Elemente innehat!)
Wir können daher noch "vermuten": Vielleicht ist ja $g [mm] \circ [/mm] f$ surjektiv?
Es ist
$g [mm] \circ [/mm] f [mm] \colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Z$ definiert durch $(g [mm] \circ f)(x):=g(f(x))\,.$
[/mm]
Wäre $g [mm] \circ [/mm] f$ surjektiv, so gäbes es also zu jedem $z [mm] \in [/mm] Z$ (mind.) ein $x [mm] \in [/mm] X$ mit
$(g [mm] \circ f)(x)=z\,.$
[/mm]
Sei also $z [mm] \in [/mm] Z$ beliebig, aber fest. Weil $g [mm] \colon [/mm] Y [mm] \to [/mm] Z$ surjektiv ist, gibt es zu
diesem [mm] $z\,$ [/mm] (mind.) ein $y [mm] \in [/mm] Y$ mit
[mm] $g(y)=z\,.$
[/mm]
Zu diesem/bzw. zu solchen $y [mm] \in [/mm] Y$ kann es zwar ein (oder mehrere)
$x [mm] \in [/mm] X$ mit [mm] $f(x)=y\,$
[/mm]
geben, aber das muss halt nicht sein - auch die Injektivität von [mm] $f\,$ [/mm] sorgt nicht
dafür.
Daher liegt es wieder nahe: Suche nach einem Gegenbeispiel der Aussage,
dass aus der Injektivität von [mm] $f\,$ [/mm] und der Surjektivität von [mm] $g\,$ [/mm] schon die Surjektivität
von $g [mm] \circ [/mm] f$ folgen würde.
Nebenbei: Was sagst Du bzgl. der Surjektivität von $g [mm] \circ f\,,$ [/mm] wenn [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $g\,$
[/mm]
BEIDE surjektiv sind? Beweis?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Di 28.10.2014 | | Autor: | Verloren |
Hey,
vielen Dank, dass Du Dich mit meinem Problem angenommen hast.
Also erst einmal habe ich mich mit deinem letzten Einwurf befasst, in dem Du fragtest, ob die Komposition zweier surjektiver Funktionen wiederum surjektiv ist.
Meine Antwort ist: Ja.
Ich "missbrauche" einfach mal dein angefangenes Beispiel, um gleich etwas besser zu lernen, alles schön mathematisch und sauer aufzuschreiben und auf Floskeln zu verzichten:
Gegeben sind zwei Funktionen f und g, wobei f: X [mm] \to [/mm] Y und g: Y [mm] \to [/mm] Z. Zudem sind beide Fuktionen surjektiv.
Zu zeigen: Die Komposition g [mm] \circ [/mm] f : X [mm] \to [/mm] Z ist surjektiv, wenn die Funktionen f und g surjektiv sind.
Es ist g [mm] \circ [/mm] f : X [mm] \to [/mm] Z durch (g [mm] \circ [/mm] f) (x) = g(f(x))
Wäre g [mm] \circ [/mm] f surjektiv, so gäbe es zu jedem z [mm] \in [/mm] Z mindestens ein x [mm] \in [/mm] X mit
(g [mm] \circ [/mm] f) (x) = z
Sei z beliebig, aber fest. Weil g: Y [mm] \to [/mm] Z surjektiv ist, gibt es zu jenem z [mm] \in [/mm] Z mindestens ein y [mm] \in [/mm] Y mit
g(y) = z
Sei nun y beliebig, aber fest. Weil f: X [mm] \to [/mm] Y surjektiv ist, gibt es zu jenem y [mm] \in [/mm] Y mindestens ein x [mm] \in [/mm] X mit
f(x) = y
Somit ist bewiesen, dass im Falle zweier surjektiver Funktionen auch ihre Komposition surjektiv sein muss.
[mm] \Box
[/mm]
Diesen Beweis habe ich nun natürlich sehr Nahe an deiner Vorlage gemacht, aber ich hoffe, dass das okay ist.
Denn genau dieses Problem, dass sich mir so oft in den ersten Wochen des Studiums aufgefallen ist, habe ich nun auch wieder bei meiner Aufgabe 1.2. Ich weiß zwar, was ich sagen will, kann es aber nicht so recht in eine kompakte Formel bringen. Vielleicht kommt das ja noch ;)
Nun aber zu 1.2)
Gegeben sind die zwei injektiven Funktionen f und g mit
f: [0, [mm] \infty [/mm] ) [mm] \to \IR [/mm] f(x) = x
g: [mm] \IR \to \IR [/mm] g(x) = x
Es ist g [mm] \circ [/mm] f : X [mm] \to [/mm] Z durch (g [mm] \circ [/mm] f) (x) = g(f(x))
Wäre g [mm] \circ [/mm] f surjektiv, so gäbe es zu z [mm] \in [/mm] Z mindestens ein x [mm] \in [/mm] X mit
( g [mm] \circ [/mm] f ) (x) = z
Sei also z [mm] \in [/mm] Z beliebig aber fest. Weil g: Y [mm] \to [/mm] Z surjektiv ist, gibt es zu diesem z mindestens ein y [mm] \in [/mm] Y mit
g(y) = z
Sei nun y [mm] \in [/mm] Y beliebig aber fest. Da nun jedoch die Funktion f nicht surjektiv, sondern nur injektiv ist, gibt es zu dem y nicht zwingend ein x [mm] \in [/mm] X.
Die Komposition ist also nicht surjektiv.
______
Dieser Beweisweg, wenn er denn richtig ist, stimmt so mit dem überein, was ich mir zu deinem Beispiel auch schon gedacht habe. Der Bildbereich der Funktion f beinhaltet hier ja nur die positiven reellen Zahlen, was die Funktion auch nicht surjektiv macht.
Wenn ich diesen Bereich nun als Definitionsbereich für die Funktion g angebe, erreiche ich in der Komposition natürlich auch nicht mehr alle reelle Zahl des Bildbereiches, obwohl die Funktion g ja surjektiv ist.
Hierzu gerne Feedback. Außerdem wüsste ich gerne, ob ich bei diesem Gegenbeispiel eher so argumentieren sollte, wie ich es in meiner Lösung für 1.2 getan habe oder auf richtige Werte bezogen, wie ich es über diesem Absatz getan habe.
Die anderen Gegenbeispiele werden wir uns sicher morgen in der Uni zusammen überlegen, ich werde die vielleicht dann nochmal posten. Ich danke bis hierhier.
Beste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Mi 29.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey,
>
> vielen Dank, dass Du Dich mit meinem Problem angenommen
> hast.
>
> Also erst einmal habe ich mich mit deinem letzten Einwurf
> befasst, in dem Du fragtest, ob die Komposition zweier
> surjektiver Funktionen wiederum surjektiv ist.
>
> Meine Antwort ist: Ja.
>
> Ich "missbrauche" einfach mal dein angefangenes Beispiel,
> um gleich etwas besser zu lernen, alles schön mathematisch
> und sauer aufzuschreiben und auf Floskeln zu verzichten:
sauber wäre mit lieber - aber Du darfst natürlich auch sauer sein.
Okay, Scherz beiseite. 
>
> Gegeben sind zwei Funktionen f und g, wobei f: X [mm]\to[/mm] Y und
> g: Y [mm]\to[/mm] Z. Zudem sind beide Fuktionen surjektiv.
>
> Zu zeigen: Die Komposition g [mm]\circ[/mm] f : X [mm]\to[/mm] Z ist
> surjektiv, wenn die Funktionen f und g surjektiv sind.
>
>
> Es ist g [mm]\circ[/mm] f : X [mm]\to[/mm] Z durch (g [mm]\circ[/mm] f) (x) = g(f(x))
>
> Wäre g [mm]\circ[/mm] f surjektiv, so gäbe es zu jedem z [mm]\in[/mm] Z
> mindestens ein x [mm]\in[/mm] X mit
>
> (g [mm]\circ[/mm] f) (x) = z
Anstatt "wäre" solltest Du
"Um zu zeigen, dass ... surjektiv ist, ist nachzuweisen, dass..."
schreiben!
> Sei z beliebig, aber fest. Weil g: Y [mm]\to[/mm] Z surjektiv ist,
> gibt es zu jenem z [mm]\in[/mm] Z mindestens ein y [mm]\in[/mm] Y mit
>
> g(y) = z
>
> Sei nun y beliebig, aber fest.
Nein, das [mm] $z\,$ [/mm] ist beliebig, aber fest. Dann gibt es zu diesem [mm] $z\,$ [/mm] aufgrund der
Sur.... von .... (mind.) ein y aus ... mit [mm] $g(...)=z\,.$
[/mm]
Wir "wählen" nun ein solches $y [mm] \in Y\,,$ [/mm] also ein [mm] $\red{\,y\,\in \,Y\,}$ [/mm] mit [mm] $\red{\,g(y)=z\,.}$ [/mm] (Ist Dir klar, dass hier eine
starke Bedingung steht, die Du *in Deiner Formulierung untergräbst*?)
Zu diesem $y [mm] \in [/mm] Y$ gibt es aufgrund der .... von ... dann ein x aus ... mit f(x)=....?
> Weil f: X [mm]\to[/mm] Y surjektiv
> ist, gibt es zu jenem y [mm]\in[/mm] Y mindestens ein x [mm]\in[/mm] X mit
>
> f(x) = y
Vielleicht meinst Du das auch so, aber logisch ist das, was Du schreibst,
anders zu deuten...
Vielleicht willst Du auch sagen: "Es gibt mindestens ein $y [mm] \in [/mm] Y$ mit [mm] $g(y)=z\,,$ [/mm] eventuell auch
mehrere. Für jedes dieser können wir ein passendes $x [mm] \in [/mm] X$ finden mit ..."
Das wäre auch korrekt, aber soviel braucht man gar nicht!
> Somit ist bewiesen, dass im Falle zweier surjektiver
> Funktionen auch ihre Komposition surjektiv sein muss.
>
> [mm]\Box[/mm]
Die Grundidee ist vermutlich da - aber was mich schon stört, ist, dass Du
oben mit "$y [mm] \in [/mm] Y$ beliebig, aber fest..." weitergemacht hast. Da muss mehr als
nur $y [mm] \in [/mm] Y$ stehen, da gehört [mm] $g(y)=z\,$ [/mm] dazu!!!
> Diesen Beweis habe ich nun natürlich sehr Nahe an deiner
> Vorlage gemacht, aber ich hoffe, dass das okay ist.
Na klar, warum auch nicht? Glaubst Du, jeder Student entwickelt alle Beweise
auf's neue?
> Denn genau dieses Problem, dass sich mir so oft in den
> ersten Wochen des Studiums aufgefallen ist, habe ich nun
> auch wieder bei meiner Aufgabe 1.2. Ich weiß zwar, was ich
> sagen will, kann es aber nicht so recht in eine kompakte
> Formel bringen. Vielleicht kommt das ja noch ;)
>
> Nun aber zu 1.2)
>
> Gegeben sind die zwei injektiven Funktionen f und g mit
>
> f: [0, [mm]\infty[/mm] ) [mm]\to \IR[/mm] f(x) = x
> g: [mm]\IR \to \IR[/mm] g(x) = x
>
> Es ist g [mm]\circ[/mm] f : X [mm]\to[/mm] Z durch (g [mm]\circ[/mm] f) (x) = g(f(x))
>
> Wäre g [mm]\circ[/mm] f surjektiv, so gäbe es zu
jedem beliebigen!
> z [mm]\in[/mm] Z
> mindestens ein x [mm]\in[/mm] X mit
>
> ( g [mm]\circ[/mm] f ) (x) = z
>
> Sei also z [mm]\in[/mm] Z beliebig aber fest. Weil g: Y [mm]\to[/mm] Z
> surjektiv ist, gibt es zu diesem z mindestens ein y [mm]\in[/mm] Y
> mit
>
> g(y) = z
>
> Sei nun y [mm]\in[/mm] Y beliebig aber fest. Da nun jedoch die
> Funktion f nicht surjektiv, sondern nur injektiv ist, gibt
> es zu dem y nicht zwingend ein x [mm]\in[/mm] X.
>
> Die Komposition ist also nicht surjektiv.
Naja, das ist halt so: "Ich bin sicher, dass das, was ich sagen will, stimmt,
also sage ich es und dann stimmt es auch."
1. Wir können den Beweis relativ allgemein machen:
a) Zeige, dass $(g [mm] \circ [/mm] f)(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in [0,\infty)$ [/mm] = Definitionsbereich von $g [mm] \circ [/mm] f$
gilt. Das ist so trivial, dass man, während man es hinschreibt, sich vermutlich
fragt, warum man das eigentlich hinschreiben muss. Ich sage Dir, warum:
Damit Du später siehst, wann etwas so trivial ist, dass Du es nicht hinschreiben
musst UND vor allem aber erkennst, wann etwas NICHT so trivial ist, also,
dass Du merkst, dass Du da mehr dazu hinschreiben SOLLTEST!
Nun aber weiter...:
b) Der Zielbereich von $(g [mm] \circ [/mm] f)$ ist aber [mm] $\IR\,.$ [/mm] Nun ist aber (sogar)
[mm] $\IR \setminus \{r \in \IR:\;\; r \ge 0\}=\IR \setminus [0,\infty)=(-\infty,0)$ [/mm] (letzteres ist [mm] $=]-\infty,0[\,,$ [/mm] falls Du die Intervallschreibweisen
mit runden Klammern nicht kennst!)
nicht leer: Wir können daher ein [mm] $y_0 \in (-\infty,0)$ [/mm] wählen. Gibt es dann ein [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] mit
$(g [mm] \circ f)(x_0)=y_0$?
[/mm]
Oder, anstatt des relativ allgemeinen Arguments aus 1. kannst Du auch
konkreter sein und die Nicht-Surjektivität wie folgt zeigen:
2. Zeige einfach, dass es kein $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit (etwa) $(g [mm] \circ f)(x)=-2\,$ [/mm] gibt (obwohl
$-2 [mm] \in \IR$).
[/mm]
> ______
>
> Dieser Beweisweg, wenn er denn richtig ist, stimmt so mit
> dem überein, was ich mir zu deinem Beispiel auch schon
> gedacht habe. Der Bildbereich der Funktion f beinhaltet
> hier ja nur die positiven reellen Zahlen, was die Funktion
> auch nicht surjektiv macht.
> Wenn ich diesen Bereich nun als Definitionsbereich für die
> Funktion g angebe, erreiche ich in der Komposition
> natürlich auch nicht mehr alle reelle Zahl des
> Bildbereiches, obwohl die Funktion g ja surjektiv ist.
>
> Hierzu gerne Feedback. Außerdem wüsste ich gerne, ob ich
> bei diesem Gegenbeispiel eher so argumentieren sollte, wie
> ich es in meiner Lösung für 1.2 getan habe oder auf
> richtige Werte bezogen, wie ich es über diesem Absatz
> getan habe.
>
> Die anderen Gegenbeispiele werden wir uns sicher morgen in
> der Uni zusammen überlegen, ich werde die vielleicht dann
> nochmal posten. Ich danke bis hierhier.
Sind diese Fragen damit dann auch geklärt? Ansonsten gerne nochmal
nachfragen!
Gruß,
Marcel
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