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Forum "Fourier-Transformation" - Herleitng Fourierkoeffizienten
Herleitng Fourierkoeffizienten < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Herleitng Fourierkoeffizienten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:41 Mo 23.03.2009
Autor: leuchtturmwaerter

Guten Tag,
im Zuge meiner Facharbeit soll ich erklären, wie man auf die bekannten Berechnungen der Fourierkoeffizienten kommt.

[mm]a_k = \bruch{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) cos (\omega t) \ dt[/mm]

Ich habe jetzt einfach mal versucht zu integrieren, also die Fourierkoeffizienten berechnet, mir springt aber leider jetzt nicht ins Auge, inwiefern man nun erkennen kann, woher diese Formel für die Koeffizienten kommt. Im Web und in verschiedenen Büchern habe ich leider nichts gefunden.
Kann mir hier jemand weiterhelfen und mir erklären, wie man die Fourierkoeffizienten herleitet? (Auch gerne mit der komplexen Schreibweise)
Danke schon mal im Voraus
leuchtturmwaerter

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Herleitng Fourierkoeffizienten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 Mo 23.03.2009
Autor: fred97


> Guten Tag,
>  im Zuge meiner Facharbeit soll ich erklären, wie man auf
> die bekannten Berechnungen der Fourierkoeffizienten kommt.
>
> [mm]a_k = \bruch{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) cos (\omega t) \ dt[/mm]

Das stimmt nicht ganz:

[mm]a_k = \bruch{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) cos (\omega kt) \ dt[/mm]

[mm]b_k = \bruch{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) sin (\omega kt) \ dt[/mm]




>  
> Ich habe jetzt einfach mal versucht zu integrieren, also
> die Fourierkoeffizienten berechnet, mir springt aber leider
> jetzt nicht ins Auge, inwiefern man nun erkennen kann,
> woher diese Formel für die Koeffizienten kommt. Im Web und
> in verschiedenen Büchern habe ich leider nichts gefunden.
>  Kann mir hier jemand weiterhelfen und mir erklären, wie
> man die Fourierkoeffizienten herleitet? (Auch gerne mit der
> komplexen Schreibweise)



Ich erklärs Dir mal für den Fall $T = 2 [mm] \pi$ [/mm]

Sei

[mm] \bruch{a_0}{2} +\summe_{n=1}^{\infty}(a_ncos(nx)+b_nsin(nx)) [/mm]

die Fourierreihe einer Funktion f und es gelte (was nicht immer der Fall ist)

       (*)   $f(x) [mm] =\bruch{a_0}{2} +\summe_{n=1}^{\infty}(a_ncos(nx)+b_nsin(nx))$ [/mm]  für jedes x  [mm] \in [/mm] [0,2 [mm] \pi] [/mm]

Wenn mann nun annimmt(was auch nicht immer der Fall ist), dass man in (*) Integration und Summation vertauschen darf, so ergibt sich aus den Orthogonalitätsrelationen( siehe http://www.mathepedia.de/Orthogonalitaetsrelationen.aspx) das Gesuchte.


FRED






>  Danke schon mal im Voraus
>  leuchtturmwaerter
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
        
Bezug
Herleitng Fourierkoeffizienten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:11 Mo 23.03.2009
Autor: Marcel

Hallo,

> Guten Tag,
>  im Zuge meiner Facharbeit soll ich erklären, wie man auf
> die bekannten Berechnungen der Fourierkoeffizienten kommt.
>
> [mm]a_k = \bruch{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) cos (\omega t) \ dt[/mm]
>  
> Ich habe jetzt einfach mal versucht zu integrieren, also
> die Fourierkoeffizienten berechnet, mir springt aber leider
> jetzt nicht ins Auge, inwiefern man nun erkennen kann,
> woher diese Formel für die Koeffizienten kommt. Im Web und
> in verschiedenen Büchern habe ich leider nichts gefunden.
>  Kann mir hier jemand weiterhelfen und mir erklären, wie
> man die Fourierkoeffizienten herleitet? (Auch gerne mit der
> komplexen Schreibweise)
>  Danke schon mal im Voraus
>  leuchtturmwaerter
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

ergänzend zu Fred:
Schau' Dir mal []diese Datei an (Seite 1 bis 7).

Fred hat ja schon erwähnt, dass man dabei ein Argument braucht, um die Vertauschung von Summation und Integration zu rechtfertigen. Beispielsweise wäre das machbar, wenn die Reihe $f(x) [mm] =\bruch{a_0}{2} +\summe_{n=1}^{\infty}(a_ncos(nx)+b_nsin(nx))$ [/mm] ($x [mm] \in [0,2\pi]$) [/mm] auf [mm] $[0,2\pi]$ [/mm] gleichmäßig konvergent wäre.

P.S.:
Siehe auch diese Diskussion bzw. diese Antwort [mm] ($\leftarrow$ klick it!). Gruß, Marcel [/mm]

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