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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 So 17.02.2013 | | Autor: | schubi |
| Aufgabe | Lösen sie das AWP:
[mm] x(t)^{'''} [/mm] + [mm] 6x(t)^{''} [/mm] + [mm] 12x(t)^{'} [/mm] + 8x(t) = 0;
[mm] x(0)^{} [/mm] = 2
[mm] x(0)^{}' [/mm] = -1
[mm] x(0)^{''} [/mm] = -8 |
Hallo,
ich änder das hier mal ein wenig ab, damit einem der Text nicht erschlägt. Hier erstmal das Problem und unter der gestrichelten Linie die Details, die aber nicht gelesen werden müssen :)
Ich will nun einen Hauptvektor aus dem Eigenvektor nach folgendem Prinzip bestimmen:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ -8 & -12 & -4} \cdot H_2 [/mm] = [mm] v_1
[/mm]
raus kommt zum Beispiel folgender Hauptvektor:
[mm] H_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -4}
[/mm]
Nun brauche ich noch einen, dazu berechne ich das hier:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ -8 & -12 & -4}^2 [/mm] * [mm] H_3 [/mm] = [mm] H_2
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \pmat{ 4 & 4 & 1 \\ -8 & -8 & -2 \\ 16 & 16 & 4} [/mm] * [mm] H_3 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -4}
[/mm]
Ja und das geht nicht! Wie kann ich denn nun noch meine Hauptvektoren bestimmen?
In einer Übung wurde folgendes berechnet:
[mm] (A+2E)^3 \cdot H_3 [/mm] = 0,
[mm] (A+2E)^2 \cdot H_3 [/mm] = [mm] H_2,
[/mm]
[mm] (A+2E)^2 \cdot H_2 [/mm] = [mm] H_1
[/mm]
Wieso geht dieses Verfahren hier? Ich meine für [mm] (A+2E)^3 [/mm] erhalte ich die Nullmatrix, kann ich mir da einfach einen Hauptvektor aussuchen?
Was genau ist das für ein Verfahren, was dort angewendet wurde, also wieso setze ich [mm] (A+2E)^3 \cdot H_3 [/mm] mit dem Nullvektor gleich?
Ich weiß hier nicht weiter, und ich wäre sehr dankbar, wenn Ihr mir da weiterhelfen könntet :)
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----------------Details--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ja meine Aufgabe ist es, dieses AWP zu lösen. Dafür stelle ich ersteinmal folgendes Gleichungssystem auf:
[mm] x^{'} [/mm] = A [mm] \cdot [/mm] x
mit x = [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}
[/mm]
und A= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -8 & -12 & -6 }
[/mm]
Alles klar, so weit so gut. Dann brauche ich für die Jordan-Normalform ja meine Basiswechselmatrix C.
Also ich will ja folgende Form erhalten: [mm] C^{-1} \cdot [/mm] A [mm] \cdot [/mm] C = J.
Diese Matrix setzt sich aus den Eigenvektoren (falls vorhanden) zusammen.
Also berechne ich jetzt ersteinmal den Eigenwert, um damit dann den Eigenvektor zu bestimmen.
Eigenwert: [mm] det(A-\lambda \cdot [/mm] E) = 0
Es kommt raus:
[mm] -(\lambda+2)^3 [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow \lambda [/mm] = -2
und algebraische Vielfachheit = 3.
Die geometrische Vielfachheit ergibt sich durch:
3 - rank(A+2E) = 3-2 = 1
(oder aber durch hinsehen, dass bei 3x3 Matrix und einem Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 3 nur 1 möglich sein kann ...)
Also kann ich nun erstens mein J schon angeben zu:
J = [mm] \pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -2 } [/mm]
Jetzt will ich weiter mein C berechnen, um dann das DGL System lösen zu können.
Also Eigenvektor berechnen:
(A+2E) [mm] \cdot [/mm] v = 0
v = [mm] \vektor{-0.5 \alpha \\ \alpha \\ -2\alpha}
[/mm]
Nehm ich mir als einen Eigenvektor zum Beispiel den hier:
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 4}
[/mm]
So und jetzt gehts los... Ich kann nun mein C aus Eigenvektoren zusammensetzen und da ja nicht genug vorhanden sind, dann mit Hauptvektoren auffüllen.
Da ich hier nur einen Eigenvektor habe, kann ich mir aus diesem Eigenvektor nun 2 Hauptvektoren basteln. Zumindest dachte ich dies. Es klappt jedoch nicht, wieso weiß ich nicht und deswegen frage ich hier nach rat :)
Lange vorrede, hier das eigentliche Problem:
Ich will nun einen Hauptvektor aus dem Eigenvektor nach folgendem Prinzip bestimmen:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ -8 & -12 & -4} \cdot H_2 [/mm] = [mm] v_1
[/mm]
raus kommt zum Beispiel folgender Hauptvektor:
[mm] H_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -4}
[/mm]
Nun brauche ich noch einen, dazu berechne ich das hier:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ -8 & -12 & -4}^2 [/mm] * [mm] H_3 [/mm] = [mm] H_2
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \pmat{ 4 & 4 & 1 \\ -8 & -8 & -2 \\ 16 & 16 & 4} [/mm] * [mm] H_3 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -4}
[/mm]
Ja und das geht nicht! Wie kann ich denn nun noch meine Hauptvektoren bestimmen?
In einer Übung wurde folgendes berechnet:
[mm] (A+2E)^3 \cdot H_3 [/mm] = 0,
[mm] (A+2E)^2 \cdot H_3 [/mm] = [mm] H_2,
[/mm]
[mm] (A+2E)^2 \cdot H_2 [/mm] = [mm] H_1
[/mm]
Wieso geht dieses Verfahren hier? Ich meine für [mm] (A+2E)^3 [/mm] erhalte ich die Nullmatrix, kann ich mir da einfach einen Hauptvektor aussuchen?
Was genau ist das für ein Verfahren, was dort angewendet wurde, also wieso setze ich [mm] (A+2E)^3 \cdot H_3 [/mm] mit dem Nullvektor gleich?
Ich weiß hier nicht weiter, und ich wäre sehr dankbar, wenn Ihr mir da weiterhelfen könntet :)
Grüße
Schubi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 So 17.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Warum machst Du das so umständlich ?
Am char. Polynom kann man doch sofort ablesen, dass die allg. Lösung der DGL lautet:
[mm] x(t)=c_1e^{-2t}+c_2te^{-2t}+c_3t^2e^{-2t}
[/mm]
fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 So 17.02.2013 | | Autor: | schubi |
Erstmal danke für deine Antwort :)
Ich habe ja ein Anfangswertproblem gegeben, d.h. eine Allgemeine Lösung möchte ich ja nicht haben :)
Außerdem wollte ich damit den Ansatz im Skript noch einmal komplett durchgehen und schauen ob ich es nach der Methode hinbekomme ... aber es klappt eben bei den Eigenvektoren nicht :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 So 17.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal danke für deine Antwort :)
>
> Ich habe ja ein Anfangswertproblem gegeben, d.h. eine
> Allgemeine Lösung möchte ich ja nicht haben :)
Ach nee ?
Wenn Du die ABen
$ [mm] x(0)^{} [/mm] $ = 2
$ [mm] x'(0)^{} [/mm] $ = -1
$ [mm] x''(0)^{} [/mm] $ = -8
in die allg. Lsg. einsetzt, bekommst Du konkrete Werte für [mm] c_1,c_2,c_3 [/mm] und wie von Zauberhand hast Du die Lösung des AWPs.
FRED der Zauberer.
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> Außerdem wollte ich damit den Ansatz im Skript noch einmal
> komplett durchgehen und schauen ob ich es nach der Methode
> hinbekomme ... aber es klappt eben bei den Eigenvektoren
> nicht :)
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:49 Mo 18.02.2013 | | Autor: | schubi |
Ah okay ja stimmt :)
Also einfach die Ableitungen bilden und einsetzen ... Vielen Dank :)
Ich erhalte dann übrigens
x(t) = e^(-2t) [mm] \cdot [/mm] (2 + 3t - [mm] 2t^2)
[/mm]
(falls jemand die gleiche Aufgabe rechnet ;)
Aber zu den Hauptvektoren, hat da jemand noch Interesse mir weiter zu helfen? :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 20.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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