www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis" - Grenzwerte bei Funktionen
Grenzwerte bei Funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Grenzwerte bei Funktionen: Definitionsfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:41 Mi 03.08.2005
Autor: Bastiane

Hallo!
Kann mir bitte mal jemand sagen, was folgende Definition aussagt? Irgendwie blicke ich da nicht so ganz durch:

Sei [mm] f:D\to\IR [/mm] eine reelle Funktion auf [mm] D\subset\IR [/mm] und [mm] a\in\IR [/mm] ein Punkt derart, dass es mindestens eine Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN}, a_n\in [/mm] D, gibt mit [mm] \lim_{n\to\infty}a_n=a. [/mm] (Dies ist z. B. für [mm] a\in [/mm] D erfüllt.) Man schreibt

[mm] \lim_{x\to a}f(x)=c, [/mm]

falls für jede Folge [mm] (x_n)_{n\in\IN}, x_n\in [/mm] D, mit [mm] \lim_{n\to\infty}x_n=a [/mm] gilt:

[mm] \lim_{n\to\infty}f(x_n)=c. [/mm]

Hier soll der Grenzwert für Funktionen definiert werden, aber so eine Definition habe ich noch nie gesehen. Vielleicht könnte das jemand kurz mit Worten erklären?

Viele Grüße
Bastiane
[banane]


        
Bezug
Grenzwerte bei Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:13 Mi 03.08.2005
Autor: Hanno

Hallo Christiane!

Zugegebenermaßen, ich finde diese Definition auch ein wenig verquert. Nichtsdestotrotz trägt sie ihren Namen zu recht, denn die Aussage

(1) FÜr alle Folgen [mm] $(x_n)_{n\in\IN}, x_n\in [/mm] D$, [mm] $\lim_{n\to\infty} x_n [/mm] = a$ ist [mm] $\lim_{n\to\infty} f(x_n)=c$. [/mm]

ist äquivalent zu

(2) Für alle [mm] $\epsilon\in\IR^+$ [/mm] existiert ein [mm] $\delta\in\IR^+$ [/mm] mit [mm] $\vert f(x)-c\vert <\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $x\in (a-\delta,a+\delta)$. [/mm]
Letztere Aussage ist es, die du wahrscheinlich eher mit der Kurzform [mm] $\lim_{x\to a} [/mm] f(x)=c$ assoziiert hättest.

Hier eine kleine Ergänzung, für dich hoffenltich nur Erinnerung: wenn eine der beiden obigen Aussagen gilt, sagen wir $f$ konvergiere gegen $c$ für $x$ gegen $a$. Wir sagen, $f$ sei stetig im Punkt $a$, wenn [mm] $a\in [/mm] D$ und $f(a)=c$ gilt.

Nun, die Äquivalenz von beiden Aussagen muss natürlich erstmal beweisen werden. Weil ich glaube, dass Beweise immer beim Verständnis helfen, und letztere ja unser größte Ziel ist (*schwafel* ;) ), hier der Beweis für die Äquivalenz beider Aussagen:

Sei [mm] $\lim_{x\to a} [/mm] f(x)=c$ im Sinne von (2) und [mm] $(x_n)_{n\in\IN},x_n\in [/mm] D$ konvergent gegen $a$. Für beliebiges [mm] $\epsilon\in\IR^+$ [/mm] existiert nun nach Voraussetzung ein [mm] $\delta$ [/mm] mit [mm] $\vert f(x)-c\vert <\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $x\in (a-\delta,a+\delta)$. [/mm] Da [mm] $(x_n)_{n\in\IN}\to [/mm] a$, existiert ein [mm] $n_\delta\in\IN$ [/mm] so, dass für alle [mm] $n\geq n_\delta$ [/mm] stets [mm] $x_n\in (a-\delta,a+\delta)$ [/mm] gilt. Es folgt [mm] $\vert f(x_n)-c\vert <\epsilon$, [/mm] was [mm] $f(x_n)\to [/mm] a$ d.h. [mm] $\lim_{x\to a} [/mm] f(x)=c$ im Sinne von (1) bedeutet.

Sei nun umgekehrt [mm] $\lim_{x\to a} [/mm] f(x)=c$ im Sinne von (1) und nehmen wir an, Aussage (2) sein nicht wahr. Dann gäbe es ein [mm] $\epsilon\in\IR^+$ [/mm] so, dass für alle [mm] $\delta\in\IR^+$ [/mm] ein [mm] $x_\delta\in (a-\delta,a+\delta)$ [/mm] mit [mm] $\vert f(x_\delta)-c\vert \not< \epsilon$. [/mm] Die Folge [mm] $(x_{\frac{1}{n}})_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert dann gegen $a$ und es folgt [mm] $f(x_n)\to [/mm] c$; insbesondere gibt es ein [mm] $n_\epsilon$ [/mm] so, dass für alle [mm] $n_0

Ich hoffe ich konnte dir helfen.


Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
                
Bezug
Grenzwerte bei Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:36 Mi 03.08.2005
Autor: Bastiane

Hallo Hanno!
> Zugegebenermaßen, ich finde diese Definition auch ein wenig
> verquert. Nichtsdestotrotz trägt sie ihren Namen zu recht,
> denn die Aussage
>  
> (1) FÜr alle Folgen [mm](x_n)_{n\in\IN}, x_n\in D[/mm],
> [mm]\lim_{n\to\infty} x_n = a[/mm] ist [mm]\lim_{n\to\infty} f(x_n)=c[/mm].
>  
> ist äquivalent zu
>
> (2) Für alle [mm]\epsilon\in\IR^+[/mm] existiert ein [mm]\delta\in\IR^+[/mm]
> mit [mm]\vert f(x)-c\vert <\epsilon[/mm] für alle [mm]x\in (a-\delta,a+\delta)[/mm].
>  
> Letztere Aussage ist es, die du wahrscheinlich eher mit der
> Kurzform [mm]\lim_{x\to a} f(x)=c[/mm] assoziiert hättest.

Ist (2) dann die eher gebräuchliche Form? Dann werde ich mir diese auch mal merken. ;-)

> erstmal beweisen werden. Weil ich glaube, dass Beweise
> immer beim Verständnis helfen, und letztere ja unser größte

Naja, also mir helfen Beweis selten beim Verständnis, ich finde sie oft so verwirrend, dass ich sie lieber überlese... Ich finde Beispiele immer toll. :-)
  
Aber was sagt (1) denn dann in Worten aus? Kann man das nicht irgendwie formulieren? Auch wenn du mir jetzt bewiesen hast, dass es äquivalent zu (2) ist, kann ich mir unter (1) noch immer nicht wirklich was vorstellen, und dann wird es mir schwer fallen, mir diese Definition zu merken...

Viele Grüße
Christiane
[hand]


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de