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Forum "Folgen und Reihen" - Grenzwert
Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:43 Mi 03.09.2008
Autor: tedd

Aufgabe
Bestimmen Sie folgenden Grenzwert:

[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}x*(\sqrt{1+\bruch{1}{x}}-1)^2 [/mm]

Irgendwie verwirrt mich die Aufgabe und habe die Vermutung, dass das auch Sinn und Zweck der Aufgabe ist aber vorsichtshalbe frage ich mal nach:

[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}x*(\sqrt{1+\bruch{1}{x}}-1)^2 [/mm] = 0 oder?

        
Bezug
Grenzwert: unbestimmter Ausdruck
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:49 Mi 03.09.2008
Autor: Loddar

Hallo tedd!


Das stimmt so nicht. Du hast hier einen unbestimmten Ausdruck der Art [mm] $0*\infty^2 [/mm] \ = \ [mm] 0*\infty$ [/mm] vorliegen.

Multipliziere die Klammer und anschließend noch mit $x_$ aus ...


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:03 Mi 03.09.2008
Autor: tedd

Also
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}x*\left(\sqrt{1+\bruch{1}{x}}-1\right)^2 [/mm]

[mm] =\limes_{x\rightarrow\ 0}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)^2 [/mm]

=1

Gruß,
tedd

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 Mi 03.09.2008
Autor: M.Rex

Hallo

Das Ergebnis passt zwar, aber die Rechnung meiner Meinung nicht.

[mm] x\cdot{}\left(\sqrt{1+\bruch{1}{x}}-1\right)^2 [/mm]
[mm] =x*\left(1+\bruch{1}{x}-2\sqrt{1+\bruch{1}{x}}+1\right) [/mm]
[mm] =x+\bruch{x}{x}-2x\sqrt{1+\bruch{1}{x}}+x [/mm]
[mm] =2x+1-2x\sqrt{1+\bruch{1}{x}} [/mm]
[mm] =2x+1-2\wurzel{x²*\left(1+\bruch{1}{x}\right)} [/mm]
[mm] =2x+1-2\wurzel{x²+x} [/mm]

Jetzt kannst du ja x=0 setzen, und kommst auf den Grenzwert 1

Marius

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:42 Mi 03.09.2008
Autor: pelzig

$ [mm] x\left(\sqrt{1+\bruch{1}{x}}-1\right)^2=x\left(\sqrt{\frac{x+1}{x}}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\right)^2=x\left(\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\right)^2=(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})^2=2x+1+\sqrt{x^2+x}$ [/mm]

Bezug
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