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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:20 Mo 08.12.2014 | | Autor: | asg |
| Aufgabe | Es seien: A:= [mm] \bruch{1}{5} \pmat{ -3 & -4 \\ 4 & -3 } [/mm] und [mm] \vec{x}:= \vektor{2 \\ 1}
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Längen [mm] \parallel \vec{x}\parallel [/mm] und [mm] \parallel A\cdot \vec{x}\parallel
[/mm]
b) Berechnen Sie jeweils den [mm] Winkel^a [/mm] ...
b.1) [mm] \alpha, [/mm] der von [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] A\cdot \vec{x} [/mm] eingeschlossen wird.
b.2) [mm] \beta, [/mm] der von [mm] \vec{x} [/mm] und der [mm] x_1-Achse [/mm] eingeschlossen wird.
b.3) [mm] \gamma, [/mm] der von [mm] A\cdot \vec{x} [/mm] und [mm] A\cdot \vec{e} [/mm] eingeschlossen wird.
c) Was macht die Abbildung [mm] A\cdot \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] mit dem Raum [mm] \IR^2?
[/mm]
[mm] Winkel^a [/mm] sind im Bogenmaß anzugeben. |
Hallo zusammen,
folgende Aufgaben habe ich gelöst, aber bin mir nicht 100% sicher:
Für a) habe ich jeweils [mm] \wurzel{5} [/mm] als Länge.
Sind die beiden Notationen [mm] \parallel\vec{x}\parallel [/mm] und [mm] |\vec{x}| [/mm] identisch?
Für die Winkeln habe ich:
b.1)
[mm] cos(\alpha) [/mm] = [mm] -\bruch{3}{5}
[/mm]
[mm] \alpha° [/mm] = [mm] arccos(\alpha) \approx [/mm] 126,57°
[mm] \alpha^a [/mm] = [mm] arccos(\alpha)\cdot \bruch{\pi}{180°}
[/mm]
[mm] \alpha^a \approx [/mm] 2,199
b.2) und b.3)
[mm] cos(\beta) [/mm] = [mm] cos(\gamma) [/mm] = [mm] \bruch{2}{\wurzel{5}}
[/mm]
[mm] \beta^a [/mm] = [mm] \gamma^a \approx [/mm] 0,464
c) Hier verstehe ich nicht genau, was gemeint ist. In der Aufgabe steht ja: "Was macht die Abbildung [mm] A\cdot \vektor{x_1 \\x_2} [/mm] mit [mm] \IR^2?" [/mm] Ist evtl. gemeint: Was macht die Matrix A mit jedem Vektor [mm] \vektor{x_1 \\x_2}?
[/mm]
Die Matrix A rotiert den Vektor [mm] \vektor{x_1 \\x_2} [/mm] um ca. 126,87° im Gegenuhrzeigersinn.
Könnte ich statt "um ca. 126,87°" auch "um [mm] cos(-\bruch{3}{5})" [/mm] sagen?
Danke vorab
Viele Grüße
Asg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 Mo 08.12.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Es seien: A:= [mm]\bruch{1}{5} \pmat{ -3 & -4 \\ 4 & -3 }[/mm] und
> [mm]\vec{x}:= \vektor{2 \\ 1}[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die Längen [mm]\parallel \vec{x}\parallel[/mm] und
> [mm]\parallel A\cdot \vec{x}\parallel[/mm]
>
> b) Berechnen Sie jeweils den [mm]Winkel^a[/mm] ...
> b.1) [mm]\alpha,[/mm] der von [mm]\vec{x}[/mm] und [mm]A\cdot \vec{x}[/mm]
> eingeschlossen wird.
> b.2) [mm]\beta,[/mm] der von [mm]\vec{x}[/mm] und der [mm]x_1-Achse[/mm]
> eingeschlossen wird.
> b.3) [mm]\gamma,[/mm] der von [mm]A\cdot \vec{x}[/mm] und [mm]A\cdot \vec{e}[/mm]
> eingeschlossen wird.
>
> c) Was macht die Abbildung [mm]A\cdot \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] mit
> dem Raum [mm]\IR^2?[/mm]
>
> [mm]Winkel^a[/mm] sind im Bogenmaß anzugeben.
> Hallo zusammen,
>
> folgende Aufgaben habe ich gelöst, aber bin mir nicht 100%
> sicher:
>
> Für a) habe ich jeweils [mm]\wurzel{5}[/mm] als Länge.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Sind die beiden Notationen [mm]\parallel\vec{x}\parallel[/mm] und
> [mm]|\vec{x}|[/mm] identisch?
Manchmal ja. Es kommt darauf an, wie es in dem jeweiligen Text definiert wurde.
|x| wird auch eher für Betrag einer Zahl verwendet; und [mm] $\parallel [/mm] x [mm] \parallel$ [/mm] für eine Norm
mit zusätzlicher Angabe welche gemeint ist, z.B. [mm] $\parallel [/mm] x [mm] \parallel_2$ [/mm] oder [mm] $\parallel [/mm] x [mm] \parallel_{\infty}$.
[/mm]
>
> Für die Winkeln habe ich:
>
> b.1)
> [mm]cos(\alpha)[/mm] = [mm]-\bruch{3}{5}[/mm]
> [mm]\alpha°[/mm] = [mm]arccos(\alpha) \approx[/mm] 126,57°
Nicht 126,87° ?
>
> [mm]\alpha^a[/mm] = [mm]arccos(\alpha)\cdot \bruch{\pi}{180°}[/mm]
> [mm]\alpha^a \approx[/mm]
> 2,199
2,214
>
> b.2) und b.3)
> [mm]cos(\beta)[/mm] = [mm]cos(\gamma)[/mm] = [mm]\bruch{2}{\wurzel{5}}[/mm]
> [mm]\beta^a[/mm] = [mm]\gamma^a \approx[/mm] 0,464
>
> c) Hier verstehe ich nicht genau, was gemeint ist. In der
> Aufgabe steht ja: "Was macht die Abbildung [mm]A\cdot \vektor{x_1 \\x_2}[/mm]
> mit [mm]\IR^2?"[/mm] Ist evtl. gemeint: Was macht die Matrix A mit
> jedem Vektor [mm]\vektor{x_1 \\x_2}?[/mm]
Ja.
>
> Die Matrix A rotiert den Vektor [mm]\vektor{x_1 \\x_2}[/mm] um ca.
> 126,87° im Gegenuhrzeigersinn.
> Könnte ich statt "um ca. 126,87°" auch "um
> [mm]cos(-\bruch{3}{5})"[/mm] sagen?
Ja.
>
> Danke vorab
>
> Viele Grüße
>
> Asg
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Mo 08.12.2014 | | Autor: | asg |
Hallo meili,
> > Sind die beiden Notationen [mm]\parallel\vec{x}\parallel[/mm] und
> > [mm]|\vec{x}|[/mm] identisch?
> Manchmal ja. Es kommt darauf an, wie es in dem jeweiligen
> Text definiert wurde.
> |x| wird auch eher für Betrag einer Zahl verwendet; und
> [mm]\parallel x \parallel[/mm] für eine Norm
> mit zusätzlicher Angabe welche gemeint ist, z.B.
> [mm]\parallel x \parallel_2[/mm] oder [mm]\parallel x \parallel_{\infty}[/mm].
Ok, verstehe - Dankeschön für die Erklärung.
> > Für die Winkeln habe ich:
> > b.1)
> > [mm]cos(\alpha)[/mm] = [mm]-\bruch{3}{5}[/mm]
> > [mm]\alpha°[/mm] = [mm]arccos(\alpha) \approx[/mm] 126,57°
> Nicht 126,87° ?
Oops, da habe ich mich wohl vertippt/vertan - Danke für die beiden Hinweise.
> > c) Hier verstehe ich nicht genau, was gemeint ist. In der
> > Aufgabe steht ja: "Was macht die Abbildung [mm]A\cdot \vektor{x_1 \\x_2}[/mm]
> > mit [mm]\IR^2?"[/mm] Ist evtl. gemeint: Was macht die Matrix A mit
> > jedem Vektor [mm]\vektor{x_1 \\x_2}?[/mm]
> Ja.
Heißt es, dass die Formulierung der Aufgabenstellung nicht korrekt ist oder sind beide Formulierungen identisch?
> Gruß
> meili
Liebe Grüße
Asg
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> > Die Matrix A rotiert den Vektor [mm]\vektor{x_1 \\x_2}[/mm] um ca.
> > 126,87° im Gegenuhrzeigersinn.
>
>
> > Könnte ich statt "um ca. 126,87°" auch "um
> > [mm]cos(-\bruch{3}{5})"[/mm] sagen?
> Ja. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Der Drehwinkel ist nicht $\ cos [mm] \left(-\bruch{3}{5}\right)$ [/mm] , sondern $\ arccos [mm] \left(-\bruch{3}{5}\right)$ [/mm] !
Gruß , Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:54 Mo 08.12.2014 | | Autor: | asg |
Hallo,
> > > Könnte ich statt "um ca. 126,87°" auch "um
> > > [mm]cos(-\bruch{3}{5})"[/mm] sagen?
>
> > Ja.
>
> Der Drehwinkel ist nicht [mm]\ cos \left(-\bruch{3}{5}\right)[/mm]
> , sondern [mm]\ arccos \left(-\bruch{3}{5}\right)[/mm] !
Ach ja stimmt, cosinus ist ja keine Winkelangabe - mein Fehler.
> Gruß , Al
Dankeschön für den Hinweis :)
Viele Grüße
Asg
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