Funktionsuntersuchungen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Fr 17.03.2006 | | Autor: | contend |
| Aufgabe | Das Seil einer Hängebrücke mit 200m Breite kann durch eine Kettenlinie angenähert werden. Diese ist der Graph der Funktion [mm]f_{a,c}(x) := \frac{a}{2c}\left(e^{cx}+e^{-cx}\right)[/mm] x in Metern, y in Metern und [mm]a,c > 0[/mm].
a) Untersuchen Sie den Graphen von [mm]f_{a,c}[/mm] auf Symmetrie.
b) Berechnen Sie das Minimum der Funktion [mm]f_{a,c}[/mm].
c) Bestimmen Sie a und c so, dass das Seil den tiefsten Punkt mit 5m über der Fahrbahn erreicht, die beiden Aufhängepunkte einen Abstand von 200m haben und je 30m hoch sind.
d) Welches Gefälle in Prozent haben die Seile in den Aufhängepunkten?
e) An welchen Stellen befindet sich das Seil ca. 15m über der Fahrbahn?
f) Auf welcher Strecke könnte ein Stuntman das Seil mit einem Motorrad befahren, wenn er noch eine Steigung von 20% bewältigen kann? |
Mein Problem ist nun, dass ich nicht weiß, wie ich an die Aufgaben rangehen soll.
Im Unterricht hatten wir Funktionsuntersuchungen nur kurz besprochen und da haben wir in Bezug auf die Symmetrie [mm]f(x) = f(-x)[/mm] eingesetzt. Bei der Funktion würde dann ja rauskommen:
[mm]f_{a,c}(-x) = \frac{a}{2c}\left(e^{c(-x)} + e^{(-c)(-x)}\right)[/mm].
Wäre das dann so richtig bzw. könnte man das noch vereinfacht hinschreiben? Das mit dem e verwirrt mich nämlich.
Ansonsten wäre ich sehr froh, wenn mir jemand dabei helfen würde, viel kapieren tu ich nämlich nicht! Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße, contend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 Sa 18.03.2006 | | Autor: | contend |
Hallo! :)
Erstmal Danke für deine schnelle Hilfe!
Aufgabe a:
gut, das wäre dann ja [mm] f_{a;c}(-x)=a/2c*(e^{c(-x)}+e^{cx}) [/mm] . Und der Term stimmt mit [mm] f_{a;c}(x) [/mm] nicht überein, d.h. das der Graph von [mm] f_{a;c} [/mm] weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung ist, oder?!
Aufgabe b:
mh, ich weiß nicht so recht, wie die Ableitung von a/2c ist, aber ich glaub die Ableitung wäre irgendwie so: f'_{a;c}(x)=a/2c*(c * [mm] e^{cx}+(-c*e^{-cx}))
[/mm]
Und wenn das so stimmt, dann würde ich die Nullstellen so ausrechnen (weiß aber auch nicht ob das richtig ist):
[mm] f'_{a;c}(x)=a/2c*(c*e^{cx}+(-c*e^{-cx}))=0 [/mm] | - [mm] (-c*e^{-cx})
[/mm]
[mm] a/2c*(c*e^{cx})=c*e^{-cx} [/mm] | / [mm] (c*e^{cx})
[/mm]
[mm] a/2c=(c*e^{-cx})/(c*e^{cx})
[/mm]
aber weiter komm ich irgendwie nicht. Kannst du mir dabei nochmal helfen?
Aufgabe c:
Welche x-Werte meinst du? Die 5m, 200m und 30m oder wie?
Entschuldige, ich bin total die Niete in Mathe :(
Liebe Grüße, contend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:13 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo contend!
> gut, das wäre dann ja [mm]f_{a;c}(-x)=a/2c*(e^{c(-x)}+e^{cx})[/mm] .
> Und der Term stimmt mit [mm]f_{a;c}(x)[/mm] nicht überein, ...
Na, schau nochmal genauer hin. Du kannst ja mal die beiden Terme in der Klammer in der Reihenfolge vertauschen.
> Aufgabe b:
>
> mh, ich weiß nicht so recht, wie die Ableitung von a/2c ist,
Das ist ein Ausdruck, der nur aus Konstanten besteht. Von daher bleibt dieser als Faktor erhalten.
> aber ich glaub die Ableitung wäre irgendwie so:
> f'_{a;c}(x)=a/2c*(c * [mm]e^{cx}+(-c*e^{-cx}))[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Sehr gut!
> [mm]f'_{a;c}(x)=a/2c*(c*e^{cx}+(-c*e^{-cx}))=0[/mm] | - [mm](-c*e^{-cx})[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du übersiehst hier den Bruch [mm] $\bruch{a}{2*c}$ [/mm] vor der Klammer.
Also zunächst mit dem Kehrwert multiplizieren:
[mm]c*e^{cx}-c*e^{-cx} \ =0 \ [/mm]
> Aufgabe c:
>
> Welche x-Werte meinst du? Die 5m, 200m und 30m oder wie?
Bei [mm] $x_{\min}$ [/mm] soll der tiefste Punkte eine Höhe von 5m haben:
[mm] $f_{a,c}\left(x_{\min}\right) [/mm] \ = \ 5$
Da es sich ja um eine achsensymmetrische Funktion handelt, gilt:
[mm] $f_{a,c}(-100) [/mm] \ = \ [mm] f_{a,c}(+100) [/mm] \ = \ 30$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Sa 18.03.2006 | | Autor: | contend |
> Hallo contend!
> Na, schau nochmal genauer hin. Du kannst ja mal die beiden
> Terme in der Klammer in der Reihenfolge vertauschen.
Oh, achso! [mm]f_{a;c}(-x)=a/2c*(e^{c(-x)}+e^{cx})[/mm] ist also das gleiche wie meine Anfangsgleichung. Aber woran erkenne ich jetzt, ob das nun punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch ist? Das verstehe ich noch nicht so ganz.
> > aber ich glaub die Ableitung wäre irgendwie so:
> > f'_{a;c}(x)=a/2c*(c * [mm]e^{cx}+(-c*e^{-cx}))[/mm]
Also, ich hab diese Gleichung und mach dann *2c/a. Und da 0*2c/a = 0 ist, bleibt einfach nur 0 stehen. Bis dahin hab ich das verstanden. Und jetzt hab ich diese Gleichung:
> [mm]c*e^{cx}-c*e^{-cx} \ =0 \[/mm]
Und wie rechne ich da weiter? Ich würde das jetzt so machen:
[mm]c*e^{cx}-c*e^{-cx} \ =0 \[/mm] | + [mm] c*e^{-cx}
[/mm]
[mm] c*e^{cx} [/mm] = [mm] c*e^{-cx} [/mm]
Aber weiter weiß ich auch nicht. Die Buchstaben verwirren mich.
> Bei [mm]x_{\min}[/mm] soll der tiefste Punkte eine Höhe von 5m
> haben:
>
> [mm]f_{a,c}\left(x_{\min}\right) \ = \ 5[/mm]
Warum denn [mm]x_{\min}[/mm] ?
> Da es sich ja um eine achsensymmetrische Funktion handelt,
> gilt:
>
> [mm]f_{a,c}(-100) \ = \ f_{a,c}(+100) \ = \ 30[/mm]
Und wie kommst du auf diese Gleichung? Das versteh ich auch nicht :(
Lg, contend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo contend!
> Aber woran erkenne ich jetzt, ob das nun punktsymmetrisch oder
> achsensymmetrisch ist?
Berechne zunächst [mm] $f(\red{-}x)$ [/mm] . Nun kontrolliere, ob Du erhältst:
$f(-x) \ = \ [mm] \red{+}f(+x)$ $\Rightarrow$ [/mm] Achsensymmetrie zur y-Achse.
[mm] $f(\red{-}x) [/mm] \ = \ [mm] \red{-}f(+x)$ $\Rightarrow$ [/mm] Punktsymmetrie zum Ursprung
ansonsten keine Symmetrie erkennbar.
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]")  Symmetrie
> [mm]c*e^{cx}-c*e^{-cx} \ =0 \[/mm] | + [mm]c*e^{-cx}[/mm]
> [mm]c*e^{cx}[/mm] = [mm]c*e^{-cx}[/mm]
Teile zunächst durch $c_$ und anschließend mit [mm] $e^{c*x}$ [/mm] multiplizieren.
Beachte dabei die Potenzgesetze: [mm] $a^m*a^n [/mm] \ = \ [mm] a^{m+n}$
[/mm]
> Warum denn [mm]x_{\min}[/mm] ?
[mm] $x_{\min}$ [/mm] ist der x-Wert des Minimums (Tiefpunktes), den wir bei Aufgabe b berechnet haben (bzw. gerade dabei sind).
Dabei solltest Du erhalten: [mm] $x_{\min} [/mm] \ = \ 0$ .
> > Da es sich ja um eine achsensymmetrische Funktion handelt, gilt:
> > [mm]f_{a,c}(-100) \ = \ f_{a,c}(+100) \ = \ 30[/mm]
>
> Und wie kommst du auf diese Gleichung? Das versteh ich auch
> nicht :(
Lies Dir mal die Aufgabenstellung durch. Dort ist gefordert, dass die Aufhängepunkte 30m über der x-Achse liegen sollen. Da der Tiefpunkt genau in der Mitte zwischen diesen beiden Aufhängepunkten liegt, gilt für diese beiden Punkte mit einem Absntand von 200m:
[mm] $p_1 [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{200}{2} [/mm] \ = \ -100$
[mm] $p_2 [/mm] \ = \ [mm] +\bruch{200}{2} [/mm] \ = \ +100$
Und der zugehörige Funktionswert lautet wie gesagt: [mm] $y_p [/mm] \ = \ 30$
Damit gilt:
[mm] $f_{a,c}(-100) [/mm] \ = \ 30$
[mm] $f_{a,c}(+100) [/mm] \ = \ 30$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Sa 18.03.2006 | | Autor: | contend |
> > [mm]c*e^{cx}-c*e^{-cx} \ =0 \[/mm] | + [mm]c*e^{-cx}[/mm]
> > [mm]c*e^{cx}[/mm] = [mm]c*e^{-cx}[/mm]
> Teile zunächst durch [mm]c_[/mm] und anschließend mit [mm]e^{c*x}[/mm]
> multiplizieren.
>
> Beachte dabei die Potenzgesetze: [mm]a^m*a^n \ = \ a^{m+n}[/mm]
Also:
[mm]c*e^{cx}[/mm] = [mm]c*e^{-cx}[/mm] | /c
[mm]e^{cx}[/mm] = [mm]e^{-cx}[/mm] | *[mm]e^{c*x}[/mm]
0 = [mm]e^{-cx} * e^{cx}[/mm]
0 = [mm]e^({-cx} *{cx})[/mm]
0 = [mm]e^{0}[/mm]
0 = 1
Also liegt die Nullstelle bei 1.
Ist damit Aufgabenteil b) vollständig oder kommt noch etwas hinzu?
> [mm]x_{\min}[/mm] ist der x-Wert des Minimums (Tiefpunktes), den wir
> bei Aufgabe b berechnet haben (bzw. gerade dabei sind).
>
> Dabei solltest Du erhalten: [mm]x_{\min} \ = \ 0[/mm] .
Oben kommt bei mir aber [mm]x_{\min} \ = \ 1[/mm] raus, oder hab ich da jetzt was falsch verstanden?!
> Lies Dir mal die Aufgabenstellung durch. Dort ist
> gefordert, dass die Aufhängepunkte 30m über der x-Achse
> liegen sollen. Da der Tiefpunkt genau in der Mitte zwischen
> diesen beiden Aufhängepunkten liegt, gilt für diese beiden
> Punkte mit einem Absntand von 200m:
>
> [mm]p_1 \ = \ -\bruch{200}{2} \ = \ -100[/mm]
>
> [mm]p_2 \ = \ +\bruch{200}{2} \ = \ +100[/mm]
>
> Und der zugehörige Funktionswert lautet wie gesagt: [mm]y_p \ = \ 30[/mm]
>
> Damit gilt:
>
> [mm]f_{a,c}(-100) \ = \ 30[/mm]
> [mm]f_{a,c}(+100) \ = \ 30[/mm]
Aber was sagt mir das denn jetzt aus? Tut mir Leid, ich versteh das einfach nicht so richtig :(( Ich hab das bis jetzt so verstanden: vom Tiefpunkt aus (also die 5m über der Fahrbahn) gehen 100 nach links auf der x-Achse (also -100) und 100 nach rechts auf der x-Achse (+100). Und wenn man jeweils 100 nach rechts oder links geht, hat man die Höhe 30, also den dazugehörigen Funktionswert. Ist das soweit richtig? Wenn ja, dann versteh ich aber nicht, wie ich a und c berechnen soll. Da muss ja irgendwie eine Funktion herauskommen, da unter der Aufgabe noch steht "Für die Aufgabenteile d-f ist die in c berechnete Funktion zu verwenden".
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Sa 18.03.2006 | | Autor: | contend |
> Hallo contend!
>
>
> > [mm]c*e^{cx}[/mm] = [mm]c*e^{-cx}[/mm] | /c
> > [mm]e^{cx}[/mm] = [mm]e^{-cx}[/mm] | *[mm]e^{c*x}[/mm]
> > 0 = [mm]e^{-cx} * e^{cx}[/mm]
>
> [mm]e^{c*x}*e^{c*x} \ = \ e^{c*x+c*x} \ = \ e^{2c*x} \ \not= \ 0[/mm]
Das versteh ich jetzt aber nicht. Wo ist denn das - hin? Wäre nach deiner Rechnung dann [mm] e^{2c*x} [/mm] die Nullstelle? *verwirrt bin* Eigentlich dachte ich, dass meine Rechnung richtig wäre, da ich wie du gesagt hast beide Exponenten addiert hab und das dann so rausgekommen ist.
> Setze die Werte mal ein:
>
> [mm]f(0) \ = \ \bruch{a}{2*c}*\left(e^{c*0}+e^{-c*0}\right) \ = \ \bruch{a}{2*c}*\left(e^0+e^0\right) \ = \ \bruch{a}{2*c}*\left(1+1\right) \ = \ \bruch{a}{c} \ = \ 5[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] [mm]a \ = \ 5*c[/mm]
Also 0 einsetzen, weil 0 eine Nullstelle ist oder woher kommt das?
Und so hätte ich ja nur a ausgerechnet, d.h. c wäre dann c = 5/a ?
> Genauso [mm]f(100)_[/mm] :
>
> [mm]f(100) \ = \ \bruch{a}{2*c}*\left(e^{c*100}+e^{-c*100}\right) \ = \ ... \ = \ 30[/mm]
Mit der obrigen Gleichung hätte ich doch aund c schon ausgerechnet, wieso muss ich denn nochmal 100 einsetzen? Kannst du mir das vlt noch erklären?
> Damit hast Du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und
> zwei Gleichungen.
Wozu brauch ich denn gleich zwei Gleichungen (also du meinst die mit 0 eingesetzt und die mit 100)? Es ist ja eigentlich nur eine für die weiteren Aufgaben erforderlich.
Entschuldige, wenn ich deine Nerven strapaziere, aber das von dem Verständnis der Aufgabe hängt meine Note ab :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 So 19.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo contend!
> Das versteh ich jetzt aber nicht. Wo ist denn das - hin?
Nein, das war jetzt nur die linke Seite der Gleichung. Gesamt lautet diese:
[mm] $e^{c*x} [/mm] \ = \ [mm] e^{-c*x}$ $\left| \ * \ e^{c*x}$
$e^{2c*x} \ = \ 1$
Nun auf beide Seiten der Gleichung den Logarithmus anwenden ...
> Also 0 einsetzen, weil 0 eine Nullstelle ist oder woher
> kommt das?
Nein, weil $x_{\min} \ = \ \red{0}$ unser ermittelter x-Wert des [b]Tiefpunktes[/b] ist.
> Und so hätte ich ja nur a ausgerechnet, d.h. c wäre dann c = 5/a ?
[ok] aber überflüssig!
> Mit der obrigen Gleichung hätte ich doch aund c schon
> ausgerechnet, wieso muss ich denn nochmal 100 einsetzen?
> Kannst du mir das vlt noch erklären?
Um eine eindeutige Lösung für [b]zwei[/b] Unbekannte ermitteln zu können, benötigt man auch (mind.) [b]zwei[/b] Bestimmungsgleichungen.
Du kannst also nun $a \ = ß 5*c$ in die 2. gleichung einsetzen (die mit $f_{a,c}(100)$) und erhältst damit eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten: $c_$ .
Anschließend diese neue Gleichung nach $c \ = \ ...$ auflösen.
> Es ist ja eigentlich nur eine für die weiteren Aufgaben
> erforderlich.
Nein, das gehört schon zu dieser Aufgabe, um eine konkrete (also ohne Parameter) Funktionsvorschrift angeben zu können.
Gruß
Loddar
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 So 19.03.2006 | | Autor: | contend |
Okay, ich fass jetzt mal kurz alles zusammen, damit ich den Überblick behalte.
a) Untersuchen Sie den Graphen von f a;c auf Symmetrie.
Für x bei f(x) -x einsetzen:
[mm]f_{a,c}(-x) = {a}/{2c}*(e^{c(-x)} + e^{cx}[/mm]
Dabei erhalte ich, dass f(-x) = +f(+x) ist, d.h. dass der Graph Achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
b) Berechnen Sie das Minimum der Funktion f a;c.
Ableitung bestimmen: [mm]f'_{a;c}(x)=a/2c*(c*e^{cx}+(-c*e^{-cx}))[/mm]
Berechnung der Nullstellen mit Ableitungsgleichung:
[mm]f'_{a;c}(x)=a/2c*(c*e^{cx}+(-c*e^{-cx}))=0[/mm] | * [mm]2c/a[/mm]
[mm]c*e^{cx}-c*e^{-cx} \ =0 \ [/mm]
[mm]c*e^{cx}-c*e^{-cx} \ =0 \[/mm] | + [mm]c*e^{-cx}[/mm]
[mm]c*e^{cx}[/mm] = [mm]c*e^{-cx}[/mm] | /c
[mm]e^{cx}[/mm] = [mm]e^{-cx}[/mm] | * [mm]e^{cx}[/mm]
0 = [mm]e^{-cx}*e^{cx}[/mm]
1 = [mm]e^{2 cx}[/mm]
Tut mir Leid, aber da versteh ich einfach nicht, wie du darauf kommst! Wenn ich das Potenzgesetz beachte, dann muss ich doch hier 0 = [mm]e^{-cx}*e^{cx}[/mm] die beiden Exponenten addieren, richtig? Und bei mir ergibt -cx + cx 0 und nicht 2cx. Und warum hast du da aufeinmal 1 raus, woher kommt das denn?
Und wenn ich die Nullstelle ausgerechnet habe, ist das dann das Minimum der Funktion, sprich Aufgabenteil b) ist fertig?!
c) Bestimmen Sie a und c so, dass das Seil den tiefsten Punkt mit 5m über der Fahrbahn erreicht, die beiden Aufhängepunkte einen Abstand von 200m haben und je 30m hoch sind.
Bei [mm] x_{\min} [/mm] soll der tiefste Punkte eine Höhe von 5m haben:
[mm]f_{a,c}(x_{\min}) \ = \ 5 [/mm]
Da es sich ja um eine achsensymmetrische Funktion handelt, gilt:
[mm]f_{a,c}(-100) \ = \ f_{a,c}(+100) \ = \ 30[/mm]
Null einsetzen, da [mm] x_{\min} [/mm] = 0 der ermittelte x-Wert des Tiefpunktes ist.
f(0) = [mm] ({a}/{2*c})*(e^{c*0}+e^{-c*0}) [/mm] = [mm] ({a}/{2*c})*(e^0+e^0) [/mm] = ({a}/{2*c})*(1+1) = {a}/{c} = 5
[mm] \Rightarrow [/mm] a = 5*c
a = 5*c in zweite Gleichung einsetzen:
f a;c (100) = [mm] ({5*c}/{2*c})*(e^{c*100}+e^{-c*100}) [/mm] = 30 | * ({2*c}/{5*c})
[mm] (e^{c*100}+e^{-c*100}) [/mm] = 30 * (0,4*c) | ln
(c*100)+(-c*100) = ln(30) * ln(0,4*c)
0 = ln(30) * ln(0,4*c)
und nun weiß ich nicht mehr weiter.
Und wenn ich c dann ausgerechnet habe, ist dann die Aufgabe c) fertig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 So 19.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen contend!
> a) Untersuchen Sie den Graphen von f a;c auf Symmetrie.
>
> Für x bei f(x) -x einsetzen:
> [mm]f_{a,c}(-x) = {a}/{2c}*(e^{c(-x)} + e^{cx}[/mm]
> Dabei erhalte ich, dass f(-x) = +f(+x) ist, d.h. dass der Graph
> Achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
> b) Berechnen Sie das Minimum der Funktion f a;c.
>
> Ableitung bestimmen:
> [mm]f'_{a;c}(x)=a/2c*(c*e^{cx}+(-c*e^{-cx}))[/mm]
>
> Berechnung der Nullstellen mit Ableitungsgleichung:
> [mm]f'_{a;c}(x)=a/2c*(c*e^{cx}+(-c*e^{-cx}))=0[/mm] | * [mm]2c/a[/mm]
> [mm]c*e^{cx}-c*e^{-cx} \ =0 \[/mm]
> [mm]c*e^{cx}-c*e^{-cx} \ =0 \[/mm] | + [mm]c*e^{-cx}[/mm]
> [mm]c*e^{cx}[/mm] = [mm]c*e^{-cx}[/mm] | /c
> [mm]e^{cx}[/mm] = [mm]e^{-cx}[/mm] | * [mm]e^{cx}[/mm]
Bis hierher richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Linke Seite: [mm] $e^{c*x}*e^{c*x} [/mm] \ = \ [mm] e^{c*x+c*x} [/mm] \ = \ [mm] e^{2c*x}$
[/mm]
Rechte Seite: [mm] $e^{-c*x}*e^{c*x} [/mm] \ = \ [mm] e^{-c*x+c*x} [/mm] \ = \ [mm] e^{0} [/mm] \ = \ 1$
> Und wenn ich die Nullstelle ausgerechnet habe, ist das dann
> das Minimum der Funktion, sprich Aufgabenteil b) ist fertig?!
Fast, Du musst ja noch überprüfen, ob und um welche Art Extremwert sich es hier handelt. Dazu z.B. diesen Wert in die 2. Ableitung einsetzen (hinreichendes Kriterium).
Und wenn gilt [mm] $f_{a,c}''(x) [/mm] \ = \ [mm] f_{a,c}''(0) [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ 0$ , handelt es sich um ein Minimum (also Tiefpunkt).
> c) Bestimmen Sie a und c so, dass das Seil den tiefsten
> Punkt mit 5m über der Fahrbahn erreicht, die beiden
> Aufhängepunkte einen Abstand von 200m haben und je 30m hoch
> sind.
> f(0) = [mm]({a}/{2*c})*(e^{c*0}+e^{-c*0})[/mm] = [mm]({a}/{2*c})*(e^0+e^0)[/mm] = ({a}/{2*c})*(1+1) = {a}/{c} = 5
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] a = 5*c
>
>
> a = 5*c in zweite Gleichung einsetzen:
> f a;c (100) = [mm]({5*c}/{2*c})*(e^{c*100}+e^{-c*100})[/mm] = 30 | * ({2*c}/{5*c})
Hier kannst Du bei dem Bruch vor der Klammer zunächst $c_$ kürzen.
> [mm](e^{c*100}+e^{-c*100})[/mm] = 30 * (0,4*c) | ln
> (c*100)+(-c*100) = ln(30) * ln(0,4*c)
Das ist falsch!: [mm] $\log_b(x+y) [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] \log_b(x)+\log_b(y)$
[/mm]
Wir haben: [mm]e^{c*100}+e^{-c*100} \ = 30 * 0.4 \ = \ 12[/mm]
Multipliziere diese Gleichung mit [mm] $e^{100*c}$ [/mm] und substituiere anschließend $z \ := \ [mm] e^{100*c}$ [/mm] .
Damit erhältst Du eine quadratische Gleichung, die Du z.B. mit der p/q-Formel lösen kannst.
> Und wenn ich c dann ausgerechnet habe, ist dann die
> Aufgabe c) fertig?
Na, aus $c_$ dann noch $a_$ ermitteln mit $a \ = \ 5*c$ ... fertig!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 So 19.03.2006 | | Autor: | contend |
Guten Morgen :)
a) gelöst. Von mir schonmal ein riesiges Dankeschön!
b)
> Linke Seite: [mm]e^{c*x}*e^{c*x} \ = \ e^{c*x+c*x} \ = \ e^{2c*x}[/mm]
>
> Rechte Seite: [mm]e^{-c*x}*e^{c*x} \ = \ e^{-c*x+c*x} \ = \ e^{0} \ = \ 1[/mm]
Also hab ich [mm] e^{2c*x} = 1[/mm]. Liegt meine Nullstelle dann bei [mm] (1|e^{2c*x}) [/mm] ? Tut mir Leid, dass ich so begriffsstutzig bin, aber wir haben noch nie e-Funktionen in Gleichungen gelöst, deswegen kapier ich das einfach nicht. Den Rechnenweg schon, aber wie ich dann auf die Nullstelle komme versteh ich nicht.
> Fast, Du musst ja noch überprüfen, ob und um welche Art
> Extremwert sich es hier handelt. Dazu z.B. diesen Wert in
> die 2. Ableitung einsetzen (hinreichendes Kriterium).
Welchen Wert? Den, der oben rauskommt, also die Nullstelle?
> Und wenn gilt [mm]f_{a,c}''(x) \ = \ f_{a,c}''(0) \ \red{>} \ 0[/mm]
> , handelt es sich um ein Minimum (also Tiefpunkt).
f'', obwohl wir das bei e-Funktionen noch nicht gemacht machen, würde ich so ausrechnen:
[mm]f''_{a;c}(x)=a/2c*((c*(c *e^{cx})+(-c*(-c*e^{-cx})))[/mm]
Wenn das richtig ist, welchen Wert muss ich einsetzen und für was?
c)
> Wir haben: [mm]e^{c*100}+e^{-c*100} \ = 30 * 0.4 \ = \ 12[/mm]
> Multipliziere diese Gleichung mit [mm]e^{100*c}[/mm] und
> substituiere anschließend [mm]z \ := \ e^{100*c}[/mm] .
Subtituieren, also du meinst z dafür einsetzen? Aber ich muss auf beiden Seite, wie oben, wieder mit [mm]e^{100*c}[/mm] multiplizieren, also krieg ich:
[mm](e^{c*100})²+2 (e^{-c*100}) \ = \ 12 *e^{100*c} [/mm] | - [mm]12 *e^{100*c}[/mm]
[mm](e^{c*100})²+2 (e^{-c*100}) - 12 *e^{100*c} \ = \ 0 [/mm]
[mm](z)²+2*z - 12*z \ = \ 0 [/mm]
[mm](z)² - 10*z + 0\ = \ 0 [/mm]
Und das ist meine quadratische Gleichung. Nach der p/q-Formel wäre dann p=-10 und q=0. Und wenn man das einsetzt kommt raus:
x 1 = 10 und x 2 = 0
Und welche Werte sind das jetzt genau? Heißt das, dass c bei (10|0) liegt?
Liebe Grüße, contend :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:30 Mo 20.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen ![[morgaehn]](/images/smileys/morgaehn.gif "[morgaehn]") contend!
> Also hab ich [mm]e^{2c*x} = 1[/mm].
> Liegt meine Nullstelle dann bei [mm](1|e^{2c*x})[/mm] ?
Nein, Du musst hier noch weiter nach $x \ = \ ...$ umformen.
Wende dazu nun auf beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus [mm] $\ln(...)$ [/mm] an und verwende anschließend ein Logarithmusgesetz:
[mm] $\log_b\left(a^m\right) [/mm] \ = \ [mm] m*\log_b(a)$
[/mm]
> Welchen Wert? Den, der oben rauskommt, also die
> Nullstelle?
Bei der obigen Rechnung mit [mm] $e^{2c*x} [/mm] \ = \ 1$ solltest du erhalten $x \ = \ 0$ . Diesen Wert!
> f'', obwohl wir das bei e-Funktionen noch nicht gemacht
> machen, würde ich so ausrechnen:
> [mm]f''_{a;c}(x)=a/2c*((c*(c *e^{cx})+(-c*(-c*e^{-cx})))[/mm]
Sehr gut, dass kann man nun noch etwas zusammenfassen zu:
[mm]f''_{a;c}(x) \ = \ \bruch{a}{2c}*\left(c^2*e^{cx}+c^2*e^{-cx}\right) \ = \ \bruch{a}{2c}*c^2*\left(e^{cx}+e^{-cx}\right) \ = \ \bruch{a*c}{2}*\left(e^{cx}+e^{-cx}\right)[/mm]
> Wenn das richtig ist, welchen Wert muss ich einsetzen und
> für was?
Den oben ermittelten Wert $x \ = \ 0$ . Das musst Du noch machen, da wir noch nicht wissen, ob es sich bei diesem x-Wert auch wirklich um eine Extremstelle handelt und um was für eine Art Extremstelle (Maximum oder Minimum).
> c) Wir haben: [mm]e^{c*100}+e^{-c*100} \ = 30 * 0.4 \ = \ 12[/mm]
>
> > Multipliziere diese Gleichung mit [mm]e^{100*c}[/mm] und
> > substituiere anschließend [mm]z \ := \ e^{100*c}[/mm] .
>
> Substituieren, also du meinst z dafür einsetzen?
Genau ...
> Aber ich muss auf beiden Seite, wie oben, wieder mit [mm]e^{100*c}[/mm]
> multiplizieren, also krieg ich:
> [mm](e^{c*100})²+2 (e^{-c*100}) \ = \ 12 *e^{100*c}[/mm] | - [mm]12 *e^{100*c}[/mm]
Der Term in der Mitte stimmt nicht! Woher kommt denn die $2_$ ?
[mm]\left(e^{c*100}\right)^2+\ \red{1} \ = \ 12 *e^{100*c}[/mm] | - [mm]12 *e^{100*c}[/mm]
usw.
> Und welche Werte sind das jetzt genau? Heißt das, dass c
> bei (10|0) liegt?
Bei dem Paramter $c_$ handelt es sich lediglich um einen Wert, nicht um einen Punkt. Denn das ist der Wert, um die konkrete Funktion mit den oben geforderten Eigenschaften zu erhalten.
Gruß
Loddar
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