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| Aufgabe | Mithilfe der sogenannten Fourier-Transformation kann man vom Zeitverlauf eines Signals (z. B. eines Tones) in das Frequenzspektrum transformieren, was u. a. beim Spektrum-Analyser aus-
genutzt wird. Diese Transformation lautet in ihrer diskreten Form:
$ [mm] F(u)=\bruch{1}{\wurzel[2]{N}}\summe_{n=0}^{N-1}f(n)e^{-iun\bruch{2\pi}{N}} [/mm] $
Dabei stellen f(n) die Funktionswerte im Zeitbe-
reich dar, N = Anzahl der Abtastpunkte, u die zu n äquivalenten Stellen im
Frequenzspektrum und F(u) schließlich die Ergebnisfunktion in der Fre-
quenzdarstellung .
a) Ermitteln Sie die Darstellung aufgrund obiger Formel für N = 4.
b) Stellen Sie das Ergebnis für die 4 Frequenzwerte u = 0, 1, 2, 3 als Pro-
dukt einer Matrix mit dem Funktionsvektor $ [mm] \vektor{f(0)\\ f(1)\\ f(2)\\f(3)} [/mm] $ dar.
c) Berechnen Sie mithilfe dieser Matrix die Frequenzdarstellung für
f(0)=1
f(1)=1
f(2)=1
f(3)=0
d) Machen Sie die „Probe“: Bestimmen Sie die Inverse der Matrix aus b)
und multiplizieren Sie diese mit dem Ergebnis aus c), dabei müssten die
ursprünglichen Werte aus c) wieder herauskommen. |
Hallo,
die obige Aufgabe macht mir ein wenig Kopfschmerzen. =/
a)
n geht ja offenbar von 0-3. Wegen dem Vektor in Aufgabe b) geh ich davon aus, dass für u das Gleiche gilt. Ich komm dann auf folgende Gleichungen:
$ F(0)= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (f(0)+f(1)+f(2)+f(3)) $
$ F(1)= [mm] \bruch{1}{2} (f(0)+f(1)e^{-i\bruch{2\pi}{4}}+f(2)e^{-i2\bruch{2\pi}{4}}+f(3)e^{-i3\bruch{2\pi}{4}}) [/mm] $
$ F(2)= [mm] \bruch{1}{2} (f(0)+f(1)e^{-i2\bruch{2\pi}{4}}+f(2)e^{-i4\bruch{2\pi}{4}}+f(3)e^{-i6\bruch{2\pi}{4}}) [/mm] $
$ F(3)= [mm] \bruch{1}{2} (f(0)+f(1)e^{-i3\bruch{2\pi}{4}}+f(2)e^{-i6\bruch{2\pi}{4}}+f(3)e^{-i9\bruch{2\pi}{4}}) [/mm] $
b)
Mit u und n als Laufvariable bekomm ich aus dem Exponenten von e folgende Matrix:
$ F(u) = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & i & -1 & -i} [/mm] * [mm] \vektor{f(0)\\ f(1)\\ f(2)\\f(3)} [/mm] $
Ist das so ausreichend? Ist die Äquivalenz zu F(u) richtig?
c)
Ab hier bräuchte ich, sofern bisher alles richtig war, Hilfe. Matrix mal Vektor ist ja kein Problem aber wie komm ich jetzt auf die Frequenzwerte?
Vielen Dank schon im Vorraus. Is ne super Seite hab alleine durchs mitlesen schon viel gelernt. =)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
Kann mir nochmal jemand ausführlicher erklären, wie du von den Termen in a) auf die Matrize in b) gekommen bist. Wohin verschwindet denn das 1/2 vor der Klammer und was passiert mit e und dem Rest der Exponenten.
Ich kann im Moment nicht nachvollziehen, wie die Matrize aufgestellt wurde und würde mich über Hilfe sehr freuen.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Do 26.06.2014 | | Autor: | chrisno |
> Hallo,
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> Kann mir nochmal jemand ausführlicher erklären, wie du
> von den Termen in a) auf die Matrize
Da Ding heißt im Singular Matrix.
> in b) gekommen bist.
> Wohin verschwindet denn das 1/2 vor der Klammer
falls ich nichts übersehen habe, ist es einfach verloren gegangen und muss noch ergänzt werden.
> und was passiert mit e und dem Rest der Exponenten.
[mm] $e^{i \cdot \br{0}{2} \pi} [/mm] = 1$
[mm] $e^{i \cdot \br{1}{2} \pi} [/mm] = i$
[mm] $e^{i \cdot \br{2}{2} \pi} [/mm] = -1$
[mm] $e^{i \cdot \br{3}{2} \pi} [/mm] = -i$
und danach beginnt es wieder von vorne.
>
> Ich kann im Moment nicht nachvollziehen, wie die Matrize
> aufgestellt wurde und würde mich über Hilfe sehr freuen.
>
> Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mathedau25,
willkommen hier im Forum.
Deine Rechnung sieht gut aus und auch die Schreibweise in Matrizenform ist okay.
Bei der Aufgabe c) sollst Du nun einfach ein paar Werte einsetzen und mit Hilfe der von Dir aufgestellten Matrix berechnen. Da kommt jetzt was komplexes dabei heraus, da Du imaginäre Größen in der Matrix stehen hast. Das ist aber schon okay und das sind die transformierten Werte im Frequenzbereich. Was Dir jetzt augenscheinlich Kopfweh bereitet, ist, dass Du nach irgendeiner Frequenzangabe suchst. Die kannst Du aus den Daten, die Du vorliegen hast, jedoch nicht bestimmen, da Du nicht weisst, in welchem zeitlichen Abstand Deine Abtastwerte im Zeitbereich genommen wurden. Du musst Dich also damit begnügen, die Repräsentation der Zeitwerte im Frequenzbereich auszurechnen, einen Bezug zu irgendeiner Frequenz im Sinne einer Schwingungszahl kannst Du jedoch nicht herstellen. Es gibt aber einen einfachen Bezug, den Du Dir merken kannst. Der Kehrwert der Gesamtdauer Deines Zeitsignals ergibt im Frequenzbereich den Abstand der Spektrallinien.
Nehmen wir mal an, Deine vier Abtastwerte im Zeitbereich wären über 2 Sekunden entstanden, so hätten die Spektrallinien einen Abstand von 1/2 Hertz zueinander.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Mi 21.11.2012 | | Autor: | mathedau25 |
Hallo Infinit,
danke für deine Hilfe. =)
Ich hab als Ergebnis für c) den Vektor (3,-i,1,i)
Bei der Inversen hat mir Wolfram geholfen und im Ergebnis kommt tatsächlich wieder (1,1,1,0) raus.
Aufgabe gelöst. =)
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