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Forum "Fourier-Transformation" - Fouriertransformationspaar
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Fouriertransformationspaar: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:06 So 22.11.2009
Autor: wobo

Aufgabe
Gegeben ist die folgende Gleichung für A(x), x [mm] \in [0,\infty[: [/mm]

A(x) = [mm] \integral_{0}^{\infty}{B(y) cos(xy) dy} [/mm]

Gesucht ist eine explizite Formel für B(y), y [mm] \in [0,\infty[, [/mm] in Abhängigkeit von A(x).

Hallo,

also wie oben geschrieben, ist die eine Gleichung gegeben. Allerdings ist die Funktion A bekannt und die Funktion B soll berechnet werden.

Das Ganze sieht einer Fouriertransformation ja sehr ähnlich, außer dass man erst ab 0 integriert und anstatt der Exponentialfunktion ist nur der Cosinus im Integranden.

Deshalb hätte ich rein intuitiv gesagt, dass folgendes rauskommen sollte:

B(y) = [mm] \bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\infty}{A(x) cos(xy) dx} [/mm]

Aber wie kann ich das exakt beweisen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Fouriertransformationspaar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 So 22.11.2009
Autor: Dath

Naja, man muss zeigen, dass es eine inverse Transformation gibt. Ich bin mir nicht sicher, ob man hier von Funktionalen sprechen darf. Auf jeden Fall würde ich dir empfehlen, um diese zu ermitteln, dir durchzulesen, wie man auf die Formel für die umgekehrte Fouriertransformation (d.h.: inverse) gekommen ist. Ansonsten hast du recht: Das ist ein Spezialfall der Fouriertransformation. Ich bin mir auch hier nicht sicher, ob es den namen gibt, aber es ist die Entsprechung der diskreten Cosinus-Transformation. Die spielt z.B. bei der Komprimierung von Bilder eine große Rolle. Ach ja, es würde helfen, wenn das ganze mit Lebesgue'scher Integrationstheorie angegangen wird.

Bezug
                
Bezug
Fouriertransformationspaar: Rückfrage
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:39 So 22.11.2009
Autor: wobo

Ich hab mir die Herleitung der inversen Fouriertransformation angeschaut. Zu finden z.B. hier:
http://www.mathematik.uni-regensburg.de/abels/FourieranalysisSkriptTeil6.pdf

Diese bringt mich allerdings nicht weiter, da sich dort die Exponentialfunktionen schön wegkürzen (ganz oben auf der zweiten Seite). Beim Cosinus ist das aber leider nicht der Fall. Also muss man da irgendwie anders rangehen, nur weiß ich nicht wie.

Dass das ganze Lebesgue-Integrale sind, versteht sich von selbst. Auch sind beide Funktionen A und B schön stetig und integrierbar, also alles was man so braucht.




Bezug
                        
Bezug
Fouriertransformationspaar: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Di 24.11.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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