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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Fouriertrafo mit Residuensatz
Fouriertrafo mit Residuensatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Fouriertrafo mit Residuensatz: Denkfehler
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:07 So 11.06.2017
Autor: Chris84

Aufgabe
s.u.

Huhu alle zusammen,
ich wuerde gerne das Integral

[mm] $\int\limits_{-\infty}^{\infty} dk_1 e^{ik_1r_1}\frac{e^{-\sqrt{k_1^2+k_2^2}r_3}}{\sqrt{k_1^2+k_2^2}}$ [/mm]

als Teil einer Fourierruecktransformation mit Hilfe des Residuensatzes berechnen (nehmen wir mal an, dass [mm] $r_1>0$). [/mm]

Die Pole sind gegeben durch die Nullstellen des Nenners, also [mm] $k_1=\pm [/mm] i [mm] k_2$ [/mm] (sind das eigentlich Pole erster Ordnung???), wobei wir fuer den Residuensatz die Pole in der oberen komplexen Halbebene benoetigen, also $+i [mm] k_2$. [/mm] Dann muesste doch gelten, dass

[mm] $\int\limits_{-\infty}^{\infty} dk_1 e^{ik_1r_1}\frac{e^{-\sqrt{k_1^2+k_2^2}r_3}}{\sqrt{k_1^2+k_2^2}}=2\pi [/mm] i\ Res(f(z),z=i [mm] k_2)$ [/mm]

mit

[mm] $f(z):=e^{izr_1}\frac{e^{-\sqrt{z^2+k_2^2}r_3}}{\sqrt{z^2+k_2^2}}$. [/mm]

Da [mm] $ik_2$ [/mm] ein Pol erster Ordnung ist, gilt

[mm] $Res(f(z),z=ik_2)=\lim\limits_{z\rightarrow ik_2}(z-ik_2)\frac{1}{\sqrt{z^2+k_2^2}}e^{izr_1}e^{-\sqrt{z^2+k_2^2}r_3}=\lim\limits_{z\rightarrow ik_2}\frac{\sqrt{z-ik_2}}{\sqrt{z+k_2}}e^{izr_1}e^{-\sqrt{z^2+k_2^2}r_3}=0$ [/mm]

und damit

[mm] $\int\limits_{-\infty}^{\infty} dk_1 e^{ik_1r_1}\frac{e^{-\sqrt{k_1^2+k_2^2}r_3}}{\sqrt{k_1^2+k_2^2}}=0$. [/mm]

Nun scheint mir das nicht sehr sinnig zu sein! Wo habe ich den Gedankenfehler? Oder stimmt es tatsaechlich, dass das Ergebnis des obigen Integrals null ist?

Gruss,
Chris

        
Bezug
Fouriertrafo mit Residuensatz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 Di 20.06.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Fouriertrafo mit Residuensatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:55 Mi 21.06.2017
Autor: Chris84

Aufgabe
...

Huhu,

Ich bin immer noch an einer Antwort zu obiger Frage interessiert :)

Gruss,
Chris


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