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Forum "Fourier-Transformation" - Fourierreihe, Dirichletkern
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Fourierreihe, Dirichletkern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:59 Mo 07.07.2014
Autor: geigenzaehler

Aufgabe
(1) n-te Teilsumme der Fourierreihe von f:
[mm] s_{n}(x) = 1/2*a_{0}+ \summe_{k=1}^{ \infty}(a_{k}cos(kx)+b_{k}sin(kx)) [/mm]

Es gilt:

(2)  [mm] s_{n}(x) = 1/ \pi \integral_{-\pi}^{\pi}{f(t)D_{n}(x-t) dt} [/mm]






[mm] [/mm]

Warum gilt denn (2) ?

Ist (1)=(2),
d. h. mit (2) rechne ich den Wert der Partialsumme aus?

Es kommt natürlich entscheidend darauif an, was [mm] D_{n} [/mm] ist. Das ist wahrscheinlich der Dirichlet-Kern.

Was kann ich mir unter einem solchen (in Worten) vorstellen?

Ich habe hier auch "Formeln" für [mm] D_{n} [/mm] stehen. Das bringt mir jedoch ncihts, wenn ich nicht weiß, was ich damit mache.
Recherchiere ich zu dem Thema, werden komplexe Zahlen verwendet, was wir jedoch noch nicht eingeführt haben.

        
Bezug
Fourierreihe, Dirichletkern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:43 Di 08.07.2014
Autor: fred97


> (1) n-te Teilsumme der Fourierreihe von f:
>   [mm]s_{n}(x) = 1/2*a_{0}+ \summe_{k=1}^{ \infty}(a_{k}cos(kx)+b_{k}sin(kx))[/mm]

Das soll wohl

[mm]s_{n}(x) = 1/2*a_{0}+ \summe_{k=1}^{n}(a_{k}cos(kx)+b_{k}sin(kx))[/mm]

lauten.



>  
> Es gilt:
>  
> (2)  [mm]s_{n}(x) = 1/ \pi \integral_{-\pi}^{\pi}{f(t)D_{n}(x-t) dt}[/mm]
>
>
>
>
>
>
> [mm][/mm]
>  
> Warum gilt denn (2) ?

Das kann man zeigen !!


>  
> Ist (1)=(2),
>  d. h. mit (2) rechne ich den Wert der Partialsumme aus?

(2) ist eine weitere Formel für [mm] s_n(x) [/mm]


>  
> Es kommt natürlich entscheidend darauif an, was [mm]D_{n}[/mm] ist.
> Das ist wahrscheinlich der Dirichlet-Kern.

Bingo !!


>  
> Was kann ich mir unter einem solchen (in Worten)
> vorstellen?

.... in Worten ???  Wie meinst Du das ?


>  
> Ich habe hier auch "Formeln" für [mm]D_{n}[/mm] stehen. Das bringt
> mir jedoch ncihts, wenn ich nicht weiß, was ich damit
> mache.
> Recherchiere ich zu dem Thema, werden komplexe Zahlen
> verwendet, was wir jedoch noch nicht eingeführt haben.

In Heusers "Lehrbuch der Analysis (Teil 2)" findest Du in §135 eine einfache Herleitung von (2)

FRED


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