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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Di 20.01.2015 | | Autor: | Exel84 |
| Aufgabe | Setzen Sie die Funktion f(t) = [mm] t^{2} [/mm] , t [mm] \in [/mm] [ 0,l ]
a) l-periodisch
b) gerade und 2l-periodisch
c) ungerade und 2l-periodisch |
Hallo,
Ich komme da mit der Aufgabenstellung nicht so ganz klar mit.
Also die Funktion: [mm] t^{2} [/mm] ist eine Parabel im Koordinatenursprung. So wie ich es verstanden habe, betrachten wir man bei t [mm] \in [/mm] [ 0,l ] die eine Hälfte von der Parabel oder? Oder wie ist das zu verstehen?
Kann mir da jemand bitte Tipps geben?
Vg Exel84
Ich habe diese FRage noch in keinem anderen Forum gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Di 20.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. die Parabel vpn 0 bis 1 wird nach links und recht s jeweis 1 verschoben.
2. gerade, die Parabel von 0 bis 1 wird an y=0 gespiegelt, dann das Stück von -1 bis +1 periodisch fortgesetzr
3. ungerade: Parabelstück punktspiegeln an 0 Punkt bis -1, dann periodisch fortsetzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mi 21.01.2015 | | Autor: | Exel84 |
hallo,
ich habe die a) jetzt so gelöst:
meine Ausgangsformel:
[mm] \bruch{2}{l}\integral_{0}^{l}{t^{2}} [/mm] * cos [mm] (\bruch{2*\pi*k*t}{l}) [/mm] dt
damit mein Ergebnis nach 1. partieller Integration:
[mm] \bruch{l^{2}}{\pi*k}*sin (2*\pi*k)
[/mm]
dann bleibt das Integral übrig:
[mm] \bruch{-2}{\pi*k} \integral_{0}^{l}{sin (\bruch{2*\pi*k*t}{l}) * t dt}
[/mm]
meine Ergebnisse nach 2. partieller Integration:
für den 1. Teil:
[mm] \bruch{l^{2}}{\pi^{2}*k^{2}} [/mm] * cos [mm] (2*\pi*k)
[/mm]
und der 2. Teil:
[mm] \bruch{-l^{2}}{2\pi^{3}*k^{3}} [/mm] * sin [mm] (2*\pi*k)
[/mm]
damit als Endergebnis:
[mm] a_k= \bruch{l^{2}}{\pi*k}*sin (2*\pi*k) [/mm] + [mm] \bruch{l^{2}}{\pi^{2}*k^{2}} [/mm] * cos [mm] (2*\pi*k) [/mm] - [mm] \bruch{l^{2}}{2\pi^{3}*k^{3}} [/mm] * sin [mm] (2*\pi*k)
[/mm]
Sind meine Rechnungen richtig?
Vg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Mi 21.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> hallo,
>
> ich habe die a) jetzt so gelöst:
>
> meine Ausgangsformel:
>
> [mm]\bruch{2}{l}\integral_{0}^{l}{t^{2}}[/mm] * cos
> [mm](\bruch{2*\pi*k*t}{l})[/mm] dt
>
> damit mein Ergebnis nach 1. partieller Integration:
>
> [mm]\bruch{l^{2}}{\pi*k}*sin (2*\pi*k)[/mm]
>
> dann bleibt das Integral übrig:
>
> [mm]\bruch{-2}{\pi*k} \integral_{0}^{l}{sin (\bruch{2*\pi*k*t}{l}) * t dt}[/mm]
>
> meine Ergebnisse nach 2. partieller Integration:
>
> für den 1. Teil:
>
> [mm]\bruch{l^{2}}{\pi^{2}*k^{2}}[/mm] * cos [mm](2*\pi*k)[/mm]
>
> und der 2. Teil:
>
> [mm]\bruch{-l^{2}}{2\pi^{3}*k^{3}}[/mm] * sin [mm](2*\pi*k)[/mm]
>
> damit als Endergebnis:
>
> [mm]a_k= \bruch{l^{2}}{\pi*k}*sin (2*\pi*k)[/mm] +
> [mm]\bruch{l^{2}}{\pi^{2}*k^{2}}[/mm] * cos [mm](2*\pi*k)[/mm] -
> [mm]\bruch{l^{2}}{2\pi^{3}*k^{3}}[/mm] * sin [mm](2*\pi*k)[/mm]
>
> Sind meine Rechnungen richtig?
Ich habe keine Lust das selbst zu rechnen, Du hast viele Zwischenschritte weggelassen.
Nebenbei: [mm] cos(2*\pi*k)=1 [/mm] und [mm] sin(2*\pi*k)=0
[/mm]
FRED
> Vg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Fr 23.01.2015 | | Autor: | Exel84 |
| Aufgabe | Die Aufgabenstellung war ja diese:
Setzen Sie die Funktion f(t) = $ [mm] t^{2} [/mm] $ , t $ [mm] \in [/mm] $ [ 0,L ]
c) ungerade und 2L-periodisch |
Hallo zusammen,
ich habe die c) jetzt so gelöst:
[mm] b_k [/mm] = [mm] \bruch{2}{L} \integral_{0}^{L}{t^{2} * sin (k*\omega*t) dt}
[/mm]
f´(t) = sin [mm] (k*\omega*t) [/mm] ; f(t) = [mm] -\bruch{1}{k*\omega} [/mm] * cos [mm] (k*\omega*t)
[/mm]
g(t) = [mm] t^{2} [/mm] ; g´(t) = 2t
Partielle Integration: (1. Teil)
[mm] (-\bruch{1}{k*\omega} [/mm] * cos [mm] (k*\omega*t)) [/mm] (Grenzen von 0 bis L)
= [mm] (-\bruch{L^{3}}{k*\pi} [/mm] * cos [mm] (k*\pi)) [/mm] (mit [mm] \omega= \bruch{\pi}{L})
[/mm]
daraus folt: cos [mm] (k*\pi) [/mm] = -1
damit mein Ergebnis für Teil 1: [mm] \bruch{L^{3}}{k*\pi}
[/mm]
ist das Ergebnis so richtig?
Vg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Fr 23.01.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Exel,
ich habe, wie Fred auch, keine Lust, sowas selbst nachzurechnen. Und
Du kannst den Formeleditor auch besser benutzen, denn so sieht man
nicht wirklich, was Du da gerechnet hast (Du solltest/musst eh Latex lernen).
Wir können aber folgendes machen: Ich gebe Dir einen Programm-Code für
Octave. Damit kannst Du Dir den Graphen von Fourier-Teilsummen plotten
lassen.
Den Code mit einem Beispiel habe ich Dir angehangen bzw. den füge ich
auch hier ein; das Beispiel findest Du ![[]](/images/popup.gif) auf Folie 4.
Beachte aber, dass dort [mm] ($FR_f$: [/mm] "FourierReihe von [mm] $f\,$")
[/mm]
$f(t) [mm] \sim FR_f(t)=a_0+\sum_{k=1}^\infty \{a_k \cos(k \omega t)+b_k \sin(k \omega t)\}=\sum_{k=0}^\infty \{a_k \cos(k \omega t)+b_k \sin(k \omega t)\}$
[/mm]
verwendet wird - dort steht also [mm] $a_0$ [/mm] bei der Fourierreihe, während des öfteren
an dieser Stelle auch [mm] $a_0/2$ [/mm] verwendet wird.
| 1: | L = 2*pi; % Periode
| | 2: | delta_t = 0.001;
| | 3: | t=[-2*L:delta_t:2*L];
| | 4: | f0 = 1/L; % Grundfrequenz
| | 5: | w0 = 2*pi*f0; % zur Grundfrequenz zugehörige Kreisfrequenz omega
| | 6: | FTS = 0; % FTS: "Fourierteilsumme":
| | 7: | % FTS(t) = a_0+sum_{k=0}^N (a_k cos(kwt) + b_k sin(kwt))
| | 8: | KoeffVek = [pi/4, 0; ...
| | 9: | 1/(pi*1^2)*(-2), (-1)^(1+1)/1; ...
| | 10: | 0 , (-1)^(2+1)/2; ...
| | 11: | 1/(pi*3^2)*(-2), (-1)^(3+1)/3; ...
| | 12: | 0 , (-1)^(4+1)/4; ...
| | 13: | 1/(pi*5^2)*(-2), (-1)^(5+1)/5; ...
| | 14: | 1/(pi*7^2)*(-2), (-1)^(7+1)/7; ...
| | 15: | ]
| | 16: | % KoeffVek sammelt die obigen Koeffizienten in einer Matrix: a_0, b_0=0;
| | 17: | % a_1, b_1;
| | 18: | % a_2, b_2;
| | 19: | % usw.
| | 20: | for k=0:size(KoeffVek,1)-1
| | 21: | FTS = FTS + KoeffVek(k+1,1)*cos(k*w0*t) + KoeffVek(k+1,2)*sin(k*w0*t);
| | 22: | end;
| | 23: | plot(t,FTS,'r -o'); hold on;
| | 24: | t2 = 0 : delta_t : L;
| | 25: | f = (0 < t2 & t2 < L/2).*t2+(t2 >= L & t2 <= L).*0;
| | 26: | plot(t2,f,'g'); hold off;
| | 27: | legend({'Berechnete FTS','Ausgangsfunktion'});
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Vergleichen musst Du vor allem den Teil, wo die grüne Funktion (noch nicht
periodisch fortgesetzt) definiert ist. Dargestellt habe ich die Fourierteilsumme
[mm] $\sum_{k=0}^6 \{a_k \cos(...)+b_k \sin(...)\} [/mm] $
mit den Koeffizienten, die auf den verlinkten Folien berechnet worden sind.
In der ersten (oder "0-ten") Zeile der Koeffizientenmatrix kannst Du eigentlich
den zweiten Wert immer auf 0 setzen. Das wäre der Koeffizient [mm] $b_0\,,$ [/mm] und
der würde in der Fourierreihe als Summand [mm] $b_0*\sin(0*\omega*t)$ [/mm] stehen, welcher
stets 0 ist, da [mm] $\sin(0)=0\,.$
[/mm]
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: m) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Fr 23.01.2015 | | Autor: | Exel84 |
danke für deine schnelle Antwort.
Aber ich wollte eigentlich nur, ob meine Schritte die ich da habe so stimmen. Der Rest, der danach gerechnet werden soll, wird 0 und fällt weg. Somit wäre mein [mm] b_k [/mm] einfach nur das Ergebnis von mir. Nur weiss ich nicht, ob ich bei den Schritten einen Fehler gemacht habe.
Aber danke trotzdem für deine große Mühe!!
Vg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Fr 23.01.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> danke für deine schnelle Antwort.
>
> Aber ich wollte eigentlich nur, ob meine Schritte die ich
> da habe so stimmen. Der Rest, der danach gerechnet werden
> soll, wird 0 und fällt weg. Somit wäre mein [mm]b_k[/mm] einfach
> nur das Ergebnis von mir. Nur weiss ich nicht, ob ich bei
> den Schritten einen Fehler gemacht habe.
schreib' doch mal Deine Rechnung komplett hin. Dann schau' ich mir das,
sofern ich noch die Zeit finde (nachher muss ich weg), gerne auch mal
an und kontrolliere Deine Rechenschritte.
Ansonsten kannst Du Dir auch Integrale (oder Integralwerte) mit
Wolframalpha
ausgeben lassen, bspw.:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=int%28x^2%2Cx%29
Schreibst Du [mm] int(x^2,x,0,pi), [/mm] so wird das Integral in den Grenzen von 0 bis
[mm] $\pi$ [/mm] ausgewertet. Damit kannst Du auch Deine Rechnung selbst Schritt für
Schritt kontrollieren lassen.
Was mir bei Deinen [mm] $b_k$ [/mm] auffällt: Hast Du beachtet, dass die Funktion laut Aufgabenstellung die Periode $2L$ hat?
Es ist [mm] $f(x)=-x^2$ [/mm] für $-L < x <0$ und [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] für $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] L$.
Vermutlich fehlt bei deinen F.K. dann ein Faktor 2, aber das habe ich mir
jetzt nicht genau überlegt (auch, wenn das nur eine 1-Minuten-Aufgabe
wäre).
> Aber danke trotzdem für deine große Mühe!!
Wie gesagt: Du könntest auch im ersten Schritt mal Dein Ergebnis testen,
indem Du das in meinem Code anpasst. Ich habe dort etwas unglücklich
die Periode L genannt, aber auch das sollte keine allzu großen Probleme
machen.
Wenn Du willst: Schreibe mir nochmal genau hin, wie Deine [mm] $a_k$, $b_k$
[/mm]
aussehen (ich nehme an, weil die Fkt. ja ungerade ist, sind alle [mm] $a_k=0$ [/mm] und
Dein Ergebnis sind nur die [mm] $b_k$).
[/mm]
Dann teste ich das mal für ein Paar L, ob die FTS passend aussieht - falls
Du das mit dem Code nicht hinbekommst.
Achja: Wolframalpha kommt auch mit Parametern zurecht:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=int%28k*x^2%2Cx%29
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Sa 24.01.2015 | | Autor: | Infinit |
Hallo excel84,
ich bekomme da als Ergebnis über das Integral einen Sinus- und einen Cosinusterm raus:
[mm] \bruch{2}{L} \int x^2 \sin(\bruch{k\pi t}{L}) \,dt =
\bruch{(4L^2-2\pi^2k^2t^2) \cos(\bruch{k \pi t}{L}) + 4 \pi k L t \sin(\bruch{k \pi t}{L})}{k^3 \pi^3} [/mm]
Und dann die Grenzen einsetzen von 0 bis L.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Fr 23.01.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> daraus folt: cos [mm](k*\pi)[/mm] = -1
jedenfalls ist [mm] $\cos(k*\pi)=(-1)^k$! [/mm] Korrigiere damit nochmal Dein Ergebnis!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Fr 23.01.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Aufgabenstellung war ja diese:
>
> Setzen Sie die Funktion f(t) = [mm]t^{2}[/mm] , t [mm]\in[/mm] [ 0,L ]
>
> c) ungerade und 2L-periodisch
> Hallo zusammen,
>
> ich habe die c) jetzt so gelöst:
>
> [mm]b_k[/mm] = [mm]\bruch{2}{L} \integral_{0}^{L}{t^{2} * sin (k*\omega*t) dt}[/mm]
>
> f´(t) = sin [mm](k*\omega*t)[/mm] ; f(t) = [mm]-\bruch{1}{k*\omega}[/mm] *
> cos [mm](k*\omega*t)[/mm]
>
> g(t) = [mm]t^{2}[/mm] ; g´(t) = 2t
>
> Partielle Integration: (1. Teil)
>
> [mm](-\bruch{1}{k*\omega}[/mm] * cos [mm](k*\omega*t))[/mm] (Grenzen von 0
> bis L)
>
> = [mm](-\bruch{L^{3}}{k*\pi}[/mm] * cos [mm](k*\pi))[/mm] (mit [mm]\omega= \bruch{\pi}{L})[/mm]
>
> daraus folt: cos [mm](k*\pi)[/mm] = -1
>
> damit mein Ergebnis für Teil 1: [mm]\bruch{L^{3}}{k*\pi}[/mm]
>
> ist das Ergebnis so richtig?
ich habe das Ergebnis mal kontrolliert. Die Fourierteilsummen (wenn ich
die Korrektur [mm] $\cos(k*\pi)=(-1)^k$ [/mm] nehme) würden sich einer Sägezahnfunktion
annähern.
Gruß,
Marcel
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