www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Fourier-Transformation" - Fourier-T von |sin(x)|
Fourier-T von |sin(x)| < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Fourier-Transformation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Fourier-T von |sin(x)|: "Korrektur", "Hilfe"
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:26 Mo 06.02.2017
Autor: Ardbeg

Aufgabe
Bestimmen Sie die Fourier-Reihe von $ f(x)=|sin(x)| $

Hallo alle miteinander,

ich hätte zu dieser Aufgabe ein paar Fragen, insbesondere aber wollte ich wissen, ob denn meine Lösung soweit okay ist.

Zu Beginn habe ich mir natürlich erst einmal meine Gedanken bezüglich der Periode gemacht. Im Allgemeinen betrachten haben wir nur [mm] 2\pi [/mm] - periodische Funktionen analysiert, also würde dann gelten.

$ [mm] \omega [/mm] = [mm] \bruch{2\pi}{T}=1 [/mm] $        ; mit $ [mm] T=2\pi [/mm] $  

Da gilt: $ f(-x)=f(x) $ ist die Funktion gerade, also [mm] b_{k}=0 [/mm]

$ [mm] \Rightarrow f(t)=\bruch{a_0}{2}+\summe_{k=1}^{n}(a_k\cdot{}cos(kt)) [/mm] $

Mit $ [mm] \omega [/mm] =1 $ und $ k=0 $ gilt für [mm] a_{0} [/mm]

$ [mm] a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx} [/mm] $

Das Integral kann man jetzt auch unterteilen in den Intervallen $ [mm] [0,\pi] [/mm] $ und [mm] $[\pi,2\pi] [/mm] $ , damit ich den Betrag nicht mehr verwenden muss.

$ [mm] a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{-sin(x) dx}) [/mm] $

Jetzt kann ich noch die Vereinfachung machen, dass $ -sin(x) $ im Intervall $ [mm] [\pi,2\pi] [/mm] $ flächenidentisch zum Intervall $ sin(x) $ im Intervall $ [mm] [0,\pi] [/mm] $ ist , dann folgt:

$ [mm] a_{0}=\bruch{2}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx} [/mm] $

$ [mm] a_{0}=\bruch{2}{\pi}(-cos(x))_{0}^{\pi}=\bruch{4}{\pi} [/mm] $

Für [mm] a_{k} [/mm] gilt dann:

$ [mm] a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{f(x)\cdot{}cos(kx) dx} [/mm] $

$ [mm] a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\left(\integral_{0}^{\pi}{\sin\left(x\right)\cdot{}cos(kx) dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{-\sin\left(x\right)\cdot{}cos(kx) dx}\right) [/mm] $

$ [mm] a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(-\bruch{cos(k\pi)}{k^2-1}-\bruch{1}{{k^2-1}}-(\bruch{cos(2k\pi)}{k^2-1}-\bruch{cos(k\pi)}{k^2-1})) [/mm] $

$ [mm] a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(-\bruch{1}{k^2-1}-\bruch{cos(2k\pi)}{k^2-1}) [/mm] $

$ [mm] a_{k}=-\bruch{1+cos(2k\pi)}{\pi(k^2-1)} [/mm] $

Da nun aber als Indexzahl $ [mm] k\in \IN [/mm] $ ist und $ [mm] cos(k*2\pi)=1 [/mm] $ gilt, würde ich für meine Fourier-Reihe folgendes erhalten:

$ [mm] f(t)=\bruch{4}{\pi}+\summe_{k=1}^{n}-\bruch{2}{\pi(k^2-1)}\cdot{}cos(kt) [/mm] $

Und nun zu meinen Fragen. Eigentlich ist es nur eine, die aber die komplette Rechnung auf den Kopf stellen würde. Ich gehe von der Periodenlänge [mm] 2\pi [/mm] aus, aber in Wirklichkeit ist sie ja nur [mm] \pi. [/mm] Muss ich also meine sämtliche Rechnung darauf anpassen?

Danke schon einmal für eure Hilfe.

Gruß
Ardbeg

        
Bezug
Fourier-T von |sin(x)|: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Mo 06.02.2017
Autor: leduart

Hallo
ja, du hast leider die Periode falsch und damit das Ergebnis . ( du kannst dir die Summe bis z.B. 20 auch von Wolfram alpha plotten lassen um das zu sehen.
übrigens, das ist keine Fourriertransformation, sondern die Fourriereihe
Gruß ledum

Bezug
        
Bezug
Fourier-T von |sin(x)|: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:57 Mo 06.02.2017
Autor: donquijote


> Bestimmen Sie die Fourier-Reihe von [mm]f(x)=|sin(x)|[/mm]
>  Hallo alle miteinander,
>  
> ich hätte zu dieser Aufgabe ein paar Fragen, insbesondere
> aber wollte ich wissen, ob denn meine Lösung soweit okay
> ist.
>
> Zu Beginn habe ich mir natürlich erst einmal meine
> Gedanken bezüglich der Periode gemacht. Im Allgemeinen
> betrachten haben wir nur [mm]2\pi[/mm] - periodische Funktionen
> analysiert, also würde dann gelten.
>
> [mm]\omega = \bruch{2\pi}{T}=1[/mm]        ; mit [mm]T=2\pi[/mm]  
>
> Da gilt: [mm]f(-x)=f(x)[/mm] ist die Funktion gerade, also [mm]b_{k}=0[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow f(t)=\bruch{a_0}{2}+\summe_{k=1}^{n}(a_k\cdot{}cos(kt))[/mm]
>  
> Mit [mm]\omega =1[/mm] und [mm]k=0[/mm] gilt für [mm]a_{0}[/mm]
>  
> [mm]a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}[/mm]
>  
> Das Integral kann man jetzt auch unterteilen in den
> Intervallen [mm][0,\pi][/mm] und [mm][\pi,2\pi][/mm] , damit ich den Betrag
> nicht mehr verwenden muss.
>
> [mm]a_{0}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{-sin(x) dx})[/mm]
>  
> Jetzt kann ich noch die Vereinfachung machen, dass [mm]-sin(x)[/mm]
> im Intervall [mm][\pi,2\pi][/mm] flächenidentisch zum Intervall
> [mm]sin(x)[/mm] im Intervall [mm][0,\pi][/mm] ist , dann folgt:
>  
> [mm]a_{0}=\bruch{2}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}[/mm]
>  
> [mm]a_{0}=\bruch{2}{\pi}(-cos(x))_{0}^{\pi}=\bruch{4}{\pi}[/mm]
>  
> Für [mm]a_{k}[/mm] gilt dann:
>  
> [mm]a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{f(x)\cdot{}cos(kx) dx}[/mm]
>  
> [mm]a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}\left(\integral_{0}^{\pi}{\sin\left(x\right)\cdot{}cos(kx) dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{-\sin\left(x\right)\cdot{}cos(kx) dx}\right)[/mm]
>  
> [mm]a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(-\bruch{cos(k\pi)}{k^2-1}-\bruch{1}{{k^2-1}}-(\bruch{cos(2k\pi)}{k^2-1}-\bruch{cos(k\pi)}{k^2-1}))[/mm]
>  
> [mm]a_{k}=\bruch{1}{\pi}\cdot{}(-\bruch{1}{k^2-1}-\bruch{cos(2k\pi)}{k^2-1})[/mm]
>  
> [mm]a_{k}=-\bruch{1+cos(2k\pi)}{\pi(k^2-1)}[/mm]
>  
> Da nun aber als Indexzahl [mm]k\in \IN[/mm] ist und [mm]cos(k*2\pi)=1[/mm]
> gilt, würde ich für meine Fourier-Reihe folgendes
> erhalten:
>
> [mm]f(t)=\bruch{4}{\pi}+\summe_{k=1}^{n}-\bruch{2}{\pi(k^2-1)}\cdot{}cos(kt)[/mm]
>  
> Und nun zu meinen Fragen. Eigentlich ist es nur eine, die
> aber die komplette Rechnung auf den Kopf stellen würde.
> Ich gehe von der Periodenlänge [mm]2\pi[/mm] aus, aber in
> Wirklichkeit ist sie ja nur [mm]\pi.[/mm] Muss ich also meine
> sämtliche Rechnung darauf anpassen?

Hallo,
deine Rechnung ist falsch (ohne dass ich das in Detail nachgeprüft habe), aber der Ansatz ist nicht komplett unzulässig. Grundsätzlich kannst du auch von einer Periode ausgehen, die nicht minimal ist. Wenn zu z.B. eine Funktion mit Periode [mm]\pi[/mm] asl [mm]2\pi[/mm]-periodische Funktion behandelst, bekommt du bei richtiger Rechnung trotzdem die korrekte Fourierreihe. Nur wäre in diesem Fall (mindestens) jeder zweite Koeffizient Null.

>  
> Danke schon einmal für eure Hilfe.
>  
> Gruß
>  Ardbeg


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Fourier-Transformation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de