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Forum "Integration" - Fläche gleich bei partieller I
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Fläche gleich bei partieller I: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:28 So 25.01.2009
Autor: Newbie89

Aufgabe
Berechnen Sie die Stammfunktionen
- f(x)= [mm] \bruch{4x+1}{x^2-6x+9} [/mm]
- g(x)= [mm] \bruch{e^4x+e^x}{e^4x+e^2x} [/mm]

Guten Tag, Leute!

Um die Stammfunktion zu berechnen, habe ich die Funktion in einen partiellen Bruch zerlegt. Nur ich bin mir nicht sicher bei der Vorgehensweise:

f(x)= [mm] \bruch{4x+1}{(x-3)^2} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x-3)} [/mm] da bei x=3 sich eine Nst. befindet. Dann habe ich den Bruch mit (x-3) erweitert. Es kommt raus

4x+1=A(x-3)

Dann hab ich für x=3 eingesetzt und für A= -13/2 rausbekommen.
Also müsste die Funktion so lauten:

[mm] \bruch{4x+1}{x^2-6x+9} [/mm] = - [mm] \bruch{13}{2(x-3)} [/mm]

Ist das richtig?


Bei der nächsten Aufgabe bin ich mir auch net sicher.
Ich habe dann ein [mm] e^x [/mm] rausgekürzt und dann wollte ich die Substitution anwenden:
[mm] \bruch{e^3x+1}{e^3x+e^x} [/mm]

Substitution: [mm] e^x=z [/mm]

g(x)= [mm] \bruch{z^3+1}{z^3+z} [/mm]  Nur wie komme ich da weiter? Muss ich hier auch den Bruch in eine Partialbruchsumme umwandeln?

Gruß Fabian


        
Bezug
Fläche gleich bei partieller I: 1. Aufgabe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:33 So 25.01.2009
Autor: Loddar

Hallo Fabian!


Das kann so nicht stimmnen ... das solltest Du doch auch schnell mittels Einsetzen einsehen.

Die MBPartialbruchzerlegung muss lauten:
[mm] $$\bruch{4x+1}{x^2-6x+9} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4x+1}{(x-3)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x-3}+\bruch{B}{(x-3)^2}$$ [/mm]

Gruß
Loddar


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Bezug
Fläche gleich bei partieller I: 2. Aufgabe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:43 So 25.01.2009
Autor: Loddar

Hallo Fabian!


Erst MBPolynomdivision und anschließend dann MBPartialbruchzerlegung.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Fläche gleich bei partieller I: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:13 Mo 26.01.2009
Autor: Newbie89

Danke für Deine Hinweise, Loddar! Ich hatte tatsächlich etwas übersehen...Schande über mich!

Meine Partialbruchzerlegung sieht nun so aus:

[mm] \bruch{A}{x-3} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(x-3)^2} [/mm]

Jetzt habe ich die Gleichung mit [mm] (x-3)^2 [/mm] multipliziert, heruasgekommen ist:

4x+1= A(x-3)+B
4x+1= Ax-3A+B

Nun habe ich für x=3 eingesetzt und habe für B=13 herausbekommen. Nun wusste ich nicht, was ich tun musste, um A herauszubekommen. Ich weiß nicht, wie der Koeffizientenvergleich aussieht?!
Ich beobachte überall, dass viele für x=0 einsetzen...woher die null?
Ich würde dann für A=4 herausbekommen und meine Partialbruchzerlegung würde dann wie folgt aussehen:

f(x)= [mm] \bruch{4}{x-3} [/mm] + [mm] \bruch{13}{(x-3)^2} [/mm]

Ist das richtig?

Kann jemand auch auch meine 2. Aufgabe eine Antwort geben, wie ich da vorzugehen habe?!



Bezug
                        
Bezug
Fläche gleich bei partieller I: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:32 Mo 26.01.2009
Autor: fred97


> Danke für Deine Hinweise, Loddar! Ich hatte tatsächlich
> etwas übersehen...Schande über mich!
>  
> Meine Partialbruchzerlegung sieht nun so aus:
>  
> [mm]\bruch{A}{x-3}[/mm] + [mm]\bruch{B}{(x-3)^2}[/mm]
>  
> Jetzt habe ich die Gleichung mit [mm](x-3)^2[/mm] multipliziert,
> heruasgekommen ist:
>  
> 4x+1= A(x-3)+B
>  4x+1= Ax-3A+B
>  
> Nun habe ich für x=3 eingesetzt und habe für B=13
> herausbekommen. Nun wusste ich nicht, was ich tun musste,
> um A herauszubekommen. Ich weiß nicht, wie der
> Koeffizientenvergleich aussieht?!
>  Ich beobachte überall, dass viele für x=0
> einsetzen...woher die null?
>  Ich würde dann für A=4 herausbekommen und meine
> Partialbruchzerlegung würde dann wie folgt aussehen:
>  
> f(x)= [mm]\bruch{4}{x-3}[/mm] + [mm]\bruch{13}{(x-3)^2}[/mm]
>  
> Ist das richtig?


Ja


>  
> Kann jemand auch auch meine 2. Aufgabe eine Antwort geben,
> wie ich da vorzugehen habe?!

Weiter mit Polynomdivision und dann Partialbruchzerlegung.


FRED




>  
>  


Bezug
                                
Bezug
Fläche gleich bei partieller I: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:54 Mo 26.01.2009
Autor: Newbie89


> > Ich weiß nicht, wie der
> > Koeffizientenvergleich aussieht?!
>  >  Ich beobachte überall, dass viele für x=0
> > einsetzen...woher die null?

Kannst Du mir auch diese Frage beantworten?

Bezug
                                        
Bezug
Fläche gleich bei partieller I: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Mo 26.01.2009
Autor: fred97

Dein Ansatz war


f(x) = $ [mm] \bruch{A}{x-3} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{B}{(x-3)^2} [/mm] $   (*)

und Du mußt A und B bestimmen. Da (*) für alle x [mm] \not= [/mm] 3 gilt, kannst Du für x 2 spezielle Werte einsetzen und Du bekommst 2 Gleichungen für A und B

Natürlich solltest Du  die 2 Werte für geschickt (!) wählen.

FRED

Bezug
                                                
Bezug
Fläche gleich bei partieller I: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:24 Mo 26.01.2009
Autor: Newbie89

Ahaaaaa- danke! Aber ich habe für x=3 eingesetzt und dadurch B herausbekommen, obwohl Du sagtest, dass ich alle Werte außer x=3 einsetzen darf?! Steh ich hier auffem Schlauch oder reden wir einander vorbei?
Trotzdem Danke, dass du mir hilfst!

Bei der zweiten Aufgabe habe ich die Polynomdivision angewendet und ich habe dann das Integrationszeichen rangepackt. Nur wie integriere ich jetzt?

F(x) = x + [mm] \integral {\bruch{1-z}{z^3+z} dx} [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
Fläche gleich bei partieller I: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:43 Mo 26.01.2009
Autor: fred97


> Ahaaaaa- danke! Aber ich habe für x=3 eingesetzt und
> dadurch B herausbekommen, obwohl Du sagtest, dass ich alle
> Werte außer x=3 einsetzen darf?! Steh ich hier auffem
> Schlauch oder reden wir einander vorbei?

Das kannst Du machen, wenn Du vorher alles mit [mm] (x-3)^2 [/mm] durchmultiplizierst





>  Trotzdem Danke, dass du mir hilfst!
>  
> Bei der zweiten Aufgabe habe ich die Polynomdivision
> angewendet und ich habe dann das Integrationszeichen
> rangepackt. Nur wie integriere ich jetzt?
>  
> F(x) = x + [mm]\integral {\bruch{1-z}{z^3+z} dx}[/mm]  

mache zuerst für

[mm] \bruch{1-z}{z^3+z} [/mm]

Partialbruchterlegung

FRED

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