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FT von Logarithmen und Wurzeln: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:15 Do 28.05.2009
Autor: Musi

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo Leute,
ich sitze seit einiger Zeit daran, zwei Funktionen eindimensional zu transformieren. Diese lauten (in verschiedenen Umschreibungen):

[mm] \sigma [/mm] = [mm] \sqrt{1 + \frac{4 M^2}{p^2}} [/mm]

[mm] F_1(p^2) [/mm] = [mm] \frac{1}{p ^2 \sigma} \ln \frac{\sigma + 1}{\sigma - 1} [/mm]

     = [mm] \frac{1}{p \sqrt{p^2 + 4 M^2}} \ln \frac{\sqrt{p^2 + 4 M^2} + p}{\sqrt{p^2 + 4 M^2} - p} [/mm]

     = [mm] \frac{1}{p \sqrt{p^2 + 4 M^2}} \ln \frac{p^2 + p \sqrt{p^2 + 4 M^2} + 2 M^2}{2 M^2} [/mm]


[mm] F_2(p^2) [/mm] = 1 - [mm] \sigma \ln \frac{\sigma + 1}{\sigma - 1} [/mm]

     = 1 - [mm] \frac{\sqrt{p^2 + 4 M^2}}{p} \ln \frac{\sqrt{p^2 + 4 M^2} + p}{\sqrt{p^2 + 4 M^2} - p} [/mm]

     = 1 - [mm] \frac{\sqrt{p^2 + 4 M^2}}{p} \ln \frac{p^2 + p \sqrt{p^2 + 4 M^2} + 2 M^2}{2 M^2} [/mm]


Man will
[mm] f_{1; 2}(t) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{F_{1; 2}(p^2) e^{i p t} dp} [/mm]
berechnen.
Mein erster Gedanke war der Residuensatz. Die Wurzel und der Logarithmus ergeben aber beliebig schwierige Schnitte (branch cuts) im Komplexen.
Fuer p [mm] \to [/mm] 0 ergibt sich ausserdem:

[mm] \limes_{p \rightarrow 0} F_1(p^2) [/mm] = [mm] \frac{1}{2 M} [/mm]
[mm] \limes_{p \rightarrow 0} F_2(p^2) [/mm] = -1

D. h., die Singularitaeten sind hebbar.

Bei p = [mm] \pm [/mm] i 2 M wird die Wurzel Null und damit [mm] F_1((2M)^2) [/mm] unendlich.
Den Integrationsweg dort herum und um die Schnitte zu legen, ist mir nicht gelungen.

Hat jemand dazu eine Idee? Die beiden Funktionen sehen in der jeweils dritten Zeile gar nicht mehr so schlimm aus. Vielleicht uebersehe ich irgendwas triviales. Oder kann man das Integral ohne Residuensatz loesen?


Ausserdem interessiert mich der Grenzfall fuer grosse t, also soetwas wie [mm] \limes_{t \rightarrow \infty} f_{1; 2}(t). [/mm]
Kann man da eventuell im Integranden schon etwas entwickeln? Dass z. B. nur p-Werte in einem kleinen Bereich um Null herum beitragen?
Also (salopp geschrieben)

[mm] \limes_{t \rightarrow \infty} \integral_{-\Delta}^{\Delta}{F_{1; 2}(p^2) e^{i p t} dp} [/mm] =  [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{(F_{1; 2}(0) + F''_{1; 2}(0) \frac{p^2}{2} )e^{i p t} dp}, [/mm]

wobei [mm] \Delta [/mm] irgendein sinnvoller Cut ist (der Beitrag ueber F'(0) p ist Null, weil F eine gerade Funktion ist).


Vielen Dank im Voraus fuer Eure Antworten.

Gruss,
Musi.

        
Bezug
FT von Logarithmen und Wurzeln: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 So 28.06.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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