www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Differenzialrechnung" - Differenzierbarkeit-Stetigkeit
Differenzierbarkeit-Stetigkeit < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Differenzierbarkeit-Stetigkeit: Hilfestellung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:03 Sa 07.07.2007
Autor: Haase

Hi, ich schreibe nächste Woche eine Mathematik Klausur und da kommen ein paar Definitionsfragen u.ä. dran.

Habe mir schon so einiges aufgeschrieben, finde aber keinen richtig schönen Satz, mit einer Beispielfunktion um zu beschreiben:

- Warum folgt aus Differenzierbar, Stetigkeit?

- Unterschied zwischen Differenzierbar und Stetigkeit?

Vielen Dank im Voraus,
Gruß Haase

P.S.: Nebenbei: Die Konvergente Reihe [mm] "1/n^2" [/mm] konvergiert gegen 2. richtig?


        
Bezug
Differenzierbarkeit-Stetigkeit: Tipp + Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:16 Sa 07.07.2007
Autor: bellybutton

Schreibe dir mal den Differenzenquotienten auf, z.b an der Stelle a und dann vergleichst Du diesen mit der Stetigkeitsvoraussetzung. Existiert der Grenzwert für x -> a, so kann an dieser Stelle auch kein Sprung auftreten und somit muss die Fkt. in a auch stetig sein.

PS: Die Reihe konvergiert nicht gegen 2, ist etwas kleiner. Tipp: Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{s}}, [/mm] s> 1, heisst Riemannsche Zetafunktion. Der Reihenwert für s=2 ist genau [mm] \bruch {\pi^{2}}{6}. [/mm]

Bezug
        
Bezug
Differenzierbarkeit-Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:42 Sa 07.07.2007
Autor: Somebody


> Hi, ich schreibe nächste Woche eine Mathematik Klausur und
> da kommen ein paar Definitionsfragen u.ä. dran.
>  
> Habe mir schon so einiges aufgeschrieben, finde aber keinen
> richtig schönen Satz, mit einer Beispielfunktion um zu
> beschreiben:
>  
> - Warum folgt aus Differenzierbar, Stetigkeit?

Ist $f(x)$ an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] differenzierbar, so bedeutet dies, dass der folgende (eigentliche) Grenzwert existiert:
[mm]\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0)\in \IR[/mm]


Wäre nun aber $f$ nicht stetig in [mm] $x_0$ [/mm] so wäre der Grenzwert [mm] $\lim_{x\rightarrow x_0} [f(x)-f(x_0)]$ [/mm] nicht $0$ oder würde gar nicht existieren. Da beim (existierenden) Grenzwert des Differenzenquotienten der Nenner [mm] $x-x_0$ [/mm] aber gegen $0$ geht, für [mm] $x\rightarrow x_0$, [/mm] würde dies bedeuten, dass auch der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht existieren würde: Widerspruch zu unserer Annahme der Differenzierbarkeit von $f$ in [mm] $x_0$. [/mm]

> - Unterschied zwischen Differenzierbar und Stetigkeit?

Anschaulich: Dass eine Funktion an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] stetig ist, bedeutet, dass der Graph von $f$ an dieser Stelle keinen "Sprung" macht (sog. Sprungstelle). Beispiel für Nicht-Stetigkeit:
[mm]f(x) := \begin{cases} 0 & (x<0)\\ 1 & (x\geq 0) \end{cases}[/mm]

Der Graph von $f$ hat eine Sprungstelle bei $x=0$. $f$ ist bei $x=0$ also nicht stetig.

Dass eine Funktion an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] differenzierbar ist, bedeuet anschaulich, dass der Graph von $f$ an dieser Stelle keinen Knick hat. Beispiel für Nicht-Differenzierbarkeit:
[mm]f(x) := |x|[/mm]

Der Graph dieser Funktion (Betragsfunktion) hat bei $x=0$ einen Knick. $f$ ist dort also nicht differenzierbar.

> P.S.: Nebenbei: Die Konvergente Reihe [mm]"1/n^2"[/mm] konvergiert
> gegen 2. richtig?

Nein. Der Wert dieser Reihe ist sogar nicht so leicht zu bestimmen. Vermutlich verwechselst Du diese Reihe mit der leicht zu berechnenden geometrischen Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}$ [/mm]
Deren Wert ist in der Tat [mm] $\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$. [/mm]
Allgemein ist eine Reihe der Form [mm] $\sum_{n=0}^\infty q^n$ [/mm] konvergent, falls $|q|< 1$. Und in diesem Falle ist ihr Wert gleich [mm] $\frac{1}{1-q}$. [/mm]

Bezug
                
Bezug
Differenzierbarkeit-Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:42 So 08.07.2007
Autor: Haase

Danke euch. $ [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} [/mm] $ die habe verwechselt :_)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de