Differenzialgleichungssystem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Di 26.02.2019 | | Autor: | Takota |
| Aufgabe | Hallo!
Ich versuche gerade den Beweis eines Satztes über das Stabilitätsverhalten von Gleichgewichtspunkten linearen homogenen Differenzialgleichungssystemen (autonom) nachzuvollziehen. Das Stabilitätsverhalten hängt nur von den Eigenwerten der Koeffizientenmatrix ab.
Der Beweis beginnt folgendermaßen:
Sei [mm] $\lambda [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + i [mm] \beta [/mm] $ ein Eigenwert der Matrix A mit der algebraischen Vielfachheit k. Dann haben alle Basislösungen von [mm] $\vec [/mm] y'(x) = [mm] A*\vec [/mm] y(x) $ zu k-fachen Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] nach Satz (*) die Form:
[mm] $\vec [/mm] y(x) = [mm] e^{\alpha x}[\vec [/mm] p(x) * [mm] sin(\beta [/mm] x) + [mm] \vec q(x)*cos(\beta [/mm] x)]$,
wobei [mm] $\vec [/mm] p$ und [mm] $\vec [/mm] q $ Vektorpolynome im [mm] $\IR^n$ [/mm] vom Grad kleiner oder höchstens gleich $k-1$ sind.
Die Formel des Satztes (*) lautet:
[mm] $\vec [/mm] y(x) = [mm] e^{\lambda x}*(\summe_{l=0}^{k-1}*\bruch{x^l}{l!}*(A-\lambda E_n)^l)*\vec [/mm] v$
und ist eine Lösung des Differenzialgleichungssystem [mm] $\vec [/mm] y'(x) = [mm] A*\vec [/mm] y(x) $
[mm] $\vec [/mm] v$ ist ein Hauptvektor. |
Ich frage mich nur wie man auf die Basislösungen von [mm] $\vec [/mm] y'(x) = [mm] A*\vec [/mm] y(x) $ kommt? Also auf den Ausdruck:
[mm] $\vec [/mm] y(x) = [mm] e^{\alpha x}[\vec [/mm] p(x) * [mm] sin(\beta [/mm] x) + [mm] \vec q(x)*cos(\beta [/mm] x)]$
Ich habe das so versucht:
[mm] $\vec [/mm] y(x) = [mm] e^{(\alpha x+i\beta)*x} [/mm] = [mm] e^{\alpha x} [/mm] * [mm] e^{i\beta x} [/mm] = [mm] e^{\alpha x} [/mm] * [mm] [cos(\beta [/mm] x) * i [mm] *sin(\beta [/mm] x)]$
Sieht zwar ähnlich aus, aber es steht noch i in der Formel und es fehlen auch die Veltorpolynome p und q.
Also, kann mir bitte jemand zeigen wie man zu diesem Ausdruck gelangt?
LG
Takota
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:36 Mi 27.02.2019 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
>
> Ich versuche gerade den Beweis eines Satztes über das
> Stabilitätsverhalten von Gleichgewichtspunkten linearen
> homogenen Differenzialgleichungssystemen (autonom)
> nachzuvollziehen. Das Stabilitätsverhalten hängt nur von
> den Eigenwerten der Koeffizientenmatrix ab.
>
> Der Beweis beginnt folgendermaßen:
>
> Sei [mm]\lambda = \alpha + i \beta[/mm] ein Eigenwert der Matrix A
> mit der algebraischen Vielfachheit k. Dann haben alle
> Basislösungen von [mm]\vec y'(x) = A*\vec y(x)[/mm] zu k-fachen
> Eigenwert [mm]\lambda[/mm] nach Satz (*) die Form:
>
> [mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}[\vec p(x) * sin(\beta x) + \vec q(x)*cos(\beta x)][/mm],
>
> wobei [mm]\vec p[/mm] und [mm]\vec q[/mm] Vektorpolynome im [mm]\IR^n[/mm] vom Grad
> kleiner oder höchstens gleich [mm]k-1[/mm] sind.
>
> Die Formel des Satztes (*) lautet:
>
> [mm]\vec y(x) = e^{\lambda x}*(\summe_{l=0}^{k-1}*\bruch{x^l}{l!}*(A-\lambda E_n)^l)*\vec v[/mm]
>
> und ist eine Lösung des Differenzialgleichungssystem [mm]\vec y'(x) = A*\vec y(x)[/mm]
>
> [mm]\vec v[/mm] ist ein Hauptvektor.
> Ich frage mich nur wie man auf die Basislösungen von [mm]\vec y'(x) = A*\vec y(x)[/mm]
> kommt? Also auf den Ausdruck:
>
> [mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}[\vec p(x) * sin(\beta x) + \vec q(x)*cos(\beta x)][/mm]
>
> Ich habe das so versucht:
>
> [mm]\vec y(x) = e^{(\alpha x+i\beta)*x} = e^{\alpha x} * e^{i\beta x} = e^{\alpha x} * [cos(\beta x) * i *sin(\beta x)][/mm]
>
> Sieht zwar ähnlich aus, aber es steht noch i in der Formel
> und es fehlen auch die Veltorpolynome p und q.
>
> Also, kann mir bitte jemand zeigen wie man zu diesem
> Ausdruck gelangt?
In
$ [mm] \vec [/mm] y(x) = [mm] e^{\lambda x}\cdot{}(\summe_{l=0}^{k-1}\cdot{}\bruch{x^l}{l!}\cdot{}(A-\lambda E_n)^l)\cdot{}\vec [/mm] v $
ist
[mm] $\summe_{l=0}^{k-1}\cdot{}\bruch{x^l}{l!}\cdot{}(A-\lambda E_n)^l)\cdot{}\vec [/mm] v $
ein Vektorpolynom im [mm] \IC^n [/mm] vom Grad kleiner oder höchstens gleich $ k-1 $.
Nun setze $ [mm] \vec [/mm] u(x):= Re( [mm] \vec [/mm] y(x))$ und $ [mm] \vec [/mm] w(x):= Im( [mm] \vec [/mm] y(x))$.
Dann sind $ [mm] \vec [/mm] u(x)$ und $ [mm] \vec [/mm] w(x)$ von der Form
[mm] $e^{\alpha x}[\vec [/mm] p(x) [mm] \cdot{} sin(\beta [/mm] x) + [mm] \vec q(x)\cdot{}cos(\beta [/mm] x)] $.
>
> LG
> Takota
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mi 27.02.2019 | | Autor: | Takota |
Hallo Fred.
Ich glaube ich muß mir erst wieder klar machen, was ein Vektorpolynom ist.
[mm] $\vec [/mm] p(x) = [mm] \vec C_0 [/mm] + [mm] \vec C_1 [/mm] * x + [mm] \vec C_2 [/mm] * [mm] x^2 [/mm] + ....$ so steht es in meinem Lehrbuch.
Ein Beispiel mit komplexen Zahlen geschrieben:
[mm] $\vec [/mm] p(x) = [mm] \begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 6-2i \\ 4+i \end{pmatrix} [/mm] * x [mm] +\begin{pmatrix} 5-8i \\ 2-7i\end{pmatrix} [/mm] * [mm] x^2 [/mm] + ....$
Ist diese Vorstellung richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Mi 27.02.2019 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred.
>
> Ich glaube ich muß mir erst wieder klar machen, was ein
> Vektorpolynom ist.
>
> [mm]\vec p(x) = \vec C_0 + \vec C_1 * x + \vec C_2 * x^2 + ....[/mm]
> so steht es in meinem Lehrbuch.
Ja, aber ich hoffe, dass in Deinem Buch eine endliche Summe steht.
>
> Ein Beispiel mit komplexen Zahlen geschrieben:
>
> [mm]\vec p(x) = \begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6-2i \\ 4+i \end{pmatrix} * x +\begin{pmatrix} 5-8i \\ 2-7i\end{pmatrix} * x^2 + ....[/mm]
>
> Ist diese Vorstellung richtig?
Ja, aber wie gesagt, eine endliche Summe.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Sa 02.03.2019 | | Autor: | Takota |
> > Hallo Fred.
> >
> > Ich glaube ich muß mir erst wieder klar machen, was ein
> > Vektorpolynom ist.
> >
> > [mm]\vec p(x) = \vec C_0 + \vec C_1 * x + \vec C_2 * x^2 + ....[/mm]
> > so steht es in meinem Lehrbuch.
>
>
> Ja, aber ich hoffe, dass in Deinem Buch eine endliche
> Summe steht.
>
>
> >
> > Ein Beispiel mit komplexen Zahlen geschrieben:
> >
> > [mm]\vec p(x) = \begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6-2i \\ 4+i \end{pmatrix} * x [/mm]
>
> >
> > Ist diese Vorstellung richtig?
>
> Ja, aber wie gesagt, eine endliche Summe.
>
>
Hallo Fred,
ich habe mal als Zahlenbeispiel den nachfolgenden Ausdruck weiter ausgerechnet und zusammengefasst, damit ich die Struktur besser verstehen lerne:
[mm]\vec y(x) = e^{(\alpha +i\beta) x} *(\begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6-2i \\ 4+i \end{pmatrix} * x) = e^{\alpha x} *\begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} + e^{i \beta x} *\begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix}*x [/mm]
Ergebnis:
[mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}*(\begin{pmatrix} 3*cos(\beta x) + sin(\beta x) \\ 2*cos(\beta x) - 4*sin(\beta x)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6*cos(\beta x) + 2*sin(\beta x) \\ 4*cos(\beta x) - sin(\beta x)\end{pmatrix}*x +\begin{pmatrix} -i*cos(\beta x) + 3i*sin(\beta x) \\ 4i*cos(\beta x) + 2i*sin(\beta x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2i*cos(\beta x) + 6i*sin(\beta x) \\ i*cos(\beta x) + 4i*sin(\beta x)\end{pmatrix} *x [/mm]
Mit:
[mm] $\vec [/mm] u(x) := [mm] Re(\vec [/mm] y(x)) = [mm] \begin{pmatrix} 3*cos(\beta x) + sin(\beta x) \\ 2*cos(\beta x) - 4*sin(\beta x)\end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 6*cos(\beta x) + 2*sin(\beta x) \\ 4*cos(\beta x) - sin(\beta x)\end{pmatrix}*x$
[/mm]
und
[mm] $\vec [/mm] w(x) := [mm] Im(\vec [/mm] y(x)) = [mm] \begin{pmatrix} -i*cos(\beta x) + 3i*sin(\beta x) \\ 4i*cos(\beta x) + 2i*sin(\beta x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2i*cos(\beta x) + 6i*sin(\beta x) \\ i*cos(\beta x) + 4i*sin(\beta x)\end{pmatrix} [/mm] *x$
d.h.
[mm] $\vec [/mm] y(x) = [mm] e^{\alpha x}* [\vec [/mm] u(x) + [mm] \vec [/mm] w(x) ]$
Aber wie geht es weiter - oder habe ich bis hier her alles falsch gemacht / verstanden?
Gruß
Takota
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 Mo 04.03.2019 | | Autor: | fred97 |
> > > Hallo Fred.
> > >
> > > Ich glaube ich muß mir erst wieder klar machen, was ein
> > > Vektorpolynom ist.
> > >
> > > [mm]\vec p(x) = \vec C_0 + \vec C_1 * x + \vec C_2 * x^2 + ....[/mm]
> > > so steht es in meinem Lehrbuch.
> >
> >
> > Ja, aber ich hoffe, dass in Deinem Buch eine endliche
> > Summe steht.
> >
> >
> > >
> > > Ein Beispiel mit komplexen Zahlen geschrieben:
> > >
> > > [mm]\vec p(x) = \begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6-2i \\ 4+i \end{pmatrix} * x[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ist diese Vorstellung richtig?
> >
> > Ja, aber wie gesagt, eine endliche Summe.
> >
> >
> Hallo Fred,
> ich habe mal als Zahlenbeispiel den nachfolgenden Ausdruck
> weiter ausgerechnet und zusammengefasst, damit ich die
> Struktur besser verstehen lerne:
>
>
>
> [mm]\vec y(x) = e^{(\alpha +i\beta) x} *(\begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6-2i \\ 4+i \end{pmatrix} * x) = e^{\alpha x} *\begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} + e^{i \beta x} *\begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix}*x [/mm]
>
> Ergebnis:
>
> [mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}*(\begin{pmatrix} 3*cos(\beta x) + sin(\beta x) \\ 2*cos(\beta x) - 4*sin(\beta x)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6*cos(\beta x) + 2*sin(\beta x) \\ 4*cos(\beta x) - sin(\beta x)\end{pmatrix}*x +\begin{pmatrix} -i*cos(\beta x) + 3i*sin(\beta x) \\ 4i*cos(\beta x) + 2i*sin(\beta x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2i*cos(\beta x) + 6i*sin(\beta x) \\ i*cos(\beta x) + 4i*sin(\beta x)\end{pmatrix} *x[/mm]
>
> Mit:
>
> [mm]\vec u(x) := Re(\vec y(x)) = \begin{pmatrix} 3*cos(\beta x) + sin(\beta x) \\ 2*cos(\beta x) - 4*sin(\beta x)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6*cos(\beta x) + 2*sin(\beta x) \\ 4*cos(\beta x) - sin(\beta x)\end{pmatrix}*x[/mm]
>
> und
>
> [mm]\vec w(x) := Im(\vec y(x)) = \begin{pmatrix} -i*cos(\beta x) + 3i*sin(\beta x) \\ 4i*cos(\beta x) + 2i*sin(\beta x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2i*cos(\beta x) + 6i*sin(\beta x) \\ i*cos(\beta x) + 4i*sin(\beta x)\end{pmatrix} *x[/mm]
Der Imaginärteil ist reell, also (alle i's weg):
[mm]\vec w(x) := Im(\vec y(x)) = \begin{pmatrix} -cos(\beta x) + 3*sin(\beta x) \\ 4*cos(\beta x) + 2*sin(\beta x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2*cos(\beta x) + 6*sin(\beta x) \\ cos(\beta x) + 4*sin(\beta x)\end{pmatrix} *x[/mm]
>
> d.h.
>
> [mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}* [\vec u(x) + \vec w(x) ][/mm]
nein. Mit meinem" $ [mm] \vec [/mm] w(x):$
[mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}* [\vec u(x) + i\vec w(x) ][/mm].
>
> Aber wie geht es weiter - oder habe ich bis hier her alles
> falsch gemacht / verstanden?
>
> Gruß
> Takota
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Di 05.03.2019 | | Autor: | Takota |
> > Hallo Fred.
> >
> > Ich glaube ich muß mir erst wieder klar machen, was ein
> > Vektorpolynom ist.
> >
> > [mm]\vec p(x) = \vec C_0 + \vec C_1 * x + \vec C_2 * x^2 + ....[/mm]
> > so steht es in meinem Lehrbuch.
>
>
> Ja, aber ich hoffe, dass in Deinem Buch eine endliche
> Summe steht.
>
>
> >
> > Ein Beispiel mit komplexen Zahlen geschrieben:
> >
> > [mm]\vec p(x) = \begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6-2i \\ 4+i \end{pmatrix} * x [/mm]
>
> >
> > Ist diese Vorstellung richtig?
>
> Ja, aber wie gesagt, eine endliche Summe.
>
>
Hallo Fred,
ich habe mal als Zahlenbeispiel den nachfolgenden Ausdruck weiter ausgerechnet und zusammengefasst, damit ich die Struktur besser verstehen lerne:
[mm]\vec y(x) = e^{\alpha x} *(\begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6-2i \\ 4+i \end{pmatrix} * x) [/mm]
Ergebnis:
[mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}*(\begin{pmatrix} 3*cos(\beta x) + sin(\beta x) \\ 2*cos(\beta x) - 4*sin(\beta x)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6*cos(\beta x) + 2*sin(\beta x) \\ 4*cos(\beta x) - sin(\beta x)\end{pmatrix}*x +\begin{pmatrix} -i*cos(\beta x) + 3i*sin(\beta x) \\ 4i*cos(\beta x) + 2i*sin(\beta x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2i*cos(\beta x) + 6i*sin(\beta x) \\ i*cos(\beta x) + 4i*sin(\beta x)\end{pmatrix} *x [/mm]
Mit:
[mm] $\vec [/mm] u(x) := [mm] Re(\vec [/mm] y(x)) = [mm] \begin{pmatrix} 3*cos(\beta x) + sin(\beta x) \\ 2*cos(\beta x) - 4*sin(\beta x)\end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 6*cos(\beta x) + 2*sin(\beta x) \\ 4*cos(\beta x) - sin(\beta x)\end{pmatrix}*x$
[/mm]
und
[mm] $\vec [/mm] w(x) := [mm] Im(\vec [/mm] y(x)) = [mm] \begin{pmatrix} -i*cos(\beta x) + 3i*sin(\beta x) \\ 4i*cos(\beta x) + 2i*sin(\beta x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2i*cos(\beta x) + 6i*sin(\beta x) \\ i*cos(\beta x) + 4i*sin(\beta x)\end{pmatrix} [/mm] *x$
d.h.
[mm] $\vec [/mm] y(x) = [mm] e^{\alpha x}* [\vec [/mm] u(x) + [mm] \vec [/mm] w(x) ]$
Aber das ist noch nicht der gwünschte Ausdruck - oder habe ich hier was falsch gemacht oder falsch verstanden?
Gruß
Takota> > > > Hallo Fred.
> > > >
> > > > Ich glaube ich muß mir erst wieder klar machen, was ein
> > > > Vektorpolynom ist.
> > > >
> > > > [mm]\vec p(x) = \vec C_0 + \vec C_1 * x + \vec C_2 * x^2 + ....[/mm]
> > > > so steht es in meinem Lehrbuch.
> > >
> > >
> > > Ja, aber ich hoffe, dass in Deinem Buch eine endliche
> > > Summe steht.
> > >
> > >
> > > >
> > > > Ein Beispiel mit komplexen Zahlen geschrieben:
> > > >
> > > > [mm]\vec p(x) = \begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6-2i \\ 4+i \end{pmatrix} * x[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Ist diese Vorstellung richtig?
> > >
> > > Ja, aber wie gesagt, eine endliche Summe.
> > >
> > >
> > Hallo Fred,
> > ich habe mal als Zahlenbeispiel den nachfolgenden
> Ausdruck
> > weiter ausgerechnet und zusammengefasst, damit ich die
> > Struktur besser verstehen lerne:
> >
> >
> >
> > [mm]\vec y(x) = e^{(\alpha +i\beta) x} *(\begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6-2i \\ 4+i \end{pmatrix} * x) = e^{\alpha x} *\begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix} + e^{i \beta x} *\begin{pmatrix} 3-i \\ 2+4i \end{pmatrix}*x[/mm]
>
> >
> > Ergebnis:
> >
> > [mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}*(\begin{pmatrix} 3*cos(\beta x) + sin(\beta x) \\ 2*cos(\beta x) - 4*sin(\beta x)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6*cos(\beta x) + 2*sin(\beta x) \\ 4*cos(\beta x) - sin(\beta x)\end{pmatrix}*x +\begin{pmatrix} -i*cos(\beta x) + 3i*sin(\beta x) \\ 4i*cos(\beta x) + 2i*sin(\beta x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2i*cos(\beta x) + 6i*sin(\beta x) \\ i*cos(\beta x) + 4i*sin(\beta x)\end{pmatrix} *x[/mm]
>
> >
> > Mit:
> >
> > [mm]\vec u(x) := Re(\vec y(x)) = \begin{pmatrix} 3*cos(\beta x) + sin(\beta x) \\ 2*cos(\beta x) - 4*sin(\beta x)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6*cos(\beta x) + 2*sin(\beta x) \\ 4*cos(\beta x) - sin(\beta x)\end{pmatrix}*x[/mm]
>
> >
> > und
> >
> > [mm]\vec w(x) := Im(\vec y(x)) = \begin{pmatrix} -i*cos(\beta x) + 3i*sin(\beta x) \\ 4i*cos(\beta x) + 2i*sin(\beta x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2i*cos(\beta x) + 6i*sin(\beta x) \\ i*cos(\beta x) + 4i*sin(\beta x)\end{pmatrix} *x[/mm]
>
> Der Imaginärteil ist reell, also (alle i's weg):
>
> [mm]\vec w(x) := Im(\vec y(x)) = \begin{pmatrix} -cos(\beta x) + 3*sin(\beta x) \\ 4*cos(\beta x) + 2*sin(\beta x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2*cos(\beta x) + 6*sin(\beta x) \\ cos(\beta x) + 4*sin(\beta x)\end{pmatrix} *x[/mm]
>
> >
> > d.h.
> >
> > [mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}* [\vec u(x) + \vec w(x) ][/mm]
>
> nein. Mit meinem" [mm]\vec w(x):[/mm]
>
> [mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}* [\vec u(x) + i\vec w(x) ][/mm].
>
Hallo Fred, leider sehe ich nicht, wie ich von dem Ausdruck:
[mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}* [\vec u(x) + i\vec w(x) ][/mm]
auf den gewünschten Ausdruck komme:
$ [mm] e^{\alpha x}[\vec [/mm] p(x) [mm] \cdot{} sin(\beta [/mm] x) + [mm] \vec q(x)\cdot{}cos(\beta [/mm] x)] $
Wie kommt man auf
[mm] $\vec [/mm] u(x) = [mm] \vec [/mm] p(x) [mm] \cdot{} sin(\beta [/mm] x)$
und
$ [mm] i\vec [/mm] w(x) = [mm] \vec q(x)\cdot{}cos(\beta [/mm] x)$ ??
Gruß
Takota
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Di 05.03.2019 | | Autor: | leduart |
Hallo
da kommst du nicht drauf, sondern u(x)+w(x) so umgeschrieben dass sie nach cos und sin sortiert sind ergibt erst px)*sin(x)+q(x)*cos(x)
Gruß ledum
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Fr 08.03.2019 | | Autor: | Takota |
Hallo Leduart,
danke für die Rückmeldung. Ich habe mein Zahlenbeispiel so ausgerechnet wie du es gesagt hast:
$ [mm] \vec [/mm] y(x) = [mm] e^{\alpha x}\cdot{}(\begin{pmatrix} 3\cdot{}cos(\beta x) + sin(\beta x) \\ 2\cdot{}cos(\beta x) - 4\cdot{}sin(\beta x)\end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 6\cdot{}cos(\beta x) + 2\cdot{}sin(\beta x) \\ 4\cdot{}cos(\beta x) - sin(\beta x)\end{pmatrix}\cdot{}x +\begin{pmatrix} - cos(\beta x) + 3\cdot{}sin(\beta x) \\ 4\cdot{}cos(\beta x) + 2\cdot{}sin(\beta x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\cdot{}cos(\beta x) + 6\cdot{}sin(\beta x) \\ \cdot{}cos(\beta x) + 4\cdot{}sin(\beta x)\end{pmatrix} \cdot{}x [/mm] $
$ [mm] \vec [/mm] y(x) = [mm] e^{\alpha x}\cdot{}[ \begin{pmatrix} 2-4x \\ 6 +5x\end{pmatrix}\cdot cos(\beta [/mm] x) + [mm] \begin{pmatrix} 4+8x \\-2+3x \end{pmatrix}\cdot{}sin(\beta [/mm] x)] $
und siehe da:
$ [mm] e^{\alpha x}[\vec [/mm] p(x) [mm] \cdot{} sin(\beta [/mm] x) + [mm] \vec q(x)\cdot{}cos(\beta [/mm] x)] $
Eigentlich easy 
Ich habe mich noch gefragt, warum das "i" hier nicht mehr auftaucht, dazu meine Erklärung:
Da die Matrix A nur aus rellen Einträgen besteht, hat das zugehörige charakteristische Polynom immer relle Koeffzienten. In der lin. Algebra wurde gezeigt, dass die komplexen Nullstellen von dem charakteristischen Polynom dann immer als konjungiert komplexe Paare auftreten müssen.
Dazu gibt es einen Satz, der besagt, das bei konjungiert komplexe Eigenwerte von A der Realteil und Imaginärteil zwei linear unabhängige Lösungen sind.
Deshalb kann man Realteil und Imaginärteil zu einer Basislösung linar kombinieren, mit den Vektorpolynomen als Koeffzienten, so wie das Endergebniss es oben dargestellt.
Ich hoffe das stimmt in etwa - ansonsten bitte korrigieren.
Gruß
Takota
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Fr 08.03.2019 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Leduart,
>
> danke für die Rückmeldung. Ich habe mein Zahlenbeispiel
> so ausgerechnet wie du es gesagt hast:
>
> [mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}\cdot{}(\begin{pmatrix} 3\cdot{}cos(\beta x) + sin(\beta x) \\ 2\cdot{}cos(\beta x) - 4\cdot{}sin(\beta x)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6\cdot{}cos(\beta x) + 2\cdot{}sin(\beta x) \\ 4\cdot{}cos(\beta x) - sin(\beta x)\end{pmatrix}\cdot{}x +\begin{pmatrix} - cos(\beta x) + 3\cdot{}sin(\beta x) \\ 4\cdot{}cos(\beta x) + 2\cdot{}sin(\beta x)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\cdot{}cos(\beta x) + 6\cdot{}sin(\beta x) \\ \cdot{}cos(\beta x) + 4\cdot{}sin(\beta x)\end{pmatrix} \cdot{}x[/mm]
>
>
> [mm]\vec y(x) = e^{\alpha x}\cdot{}[ \begin{pmatrix} 2-4x \\ 6 +5x\end{pmatrix}\cdot cos(\beta x) + \begin{pmatrix} 4+8x \\-2+3x \end{pmatrix}\cdot{}sin(\beta x)][/mm]
>
> und siehe da:
>
> [mm]e^{\alpha x}[\vec p(x) \cdot{} sin(\beta x) + \vec q(x)\cdot{}cos(\beta x)][/mm]
>
> Eigentlich easy
>
> Ich habe mich noch gefragt, warum das "i" hier nicht mehr
> auftaucht, dazu meine Erklärung:
>
> Da die Matrix A nur aus rellen Einträgen besteht, hat das
> zugehörige charakteristische Polynom immer relle
> Koeffzienten. In der lin. Algebra wurde gezeigt, dass die
> komplexen Nullstellen von dem charakteristischen Polynom
> dann immer als konjungiert komplexe Paare auftreten
> müssen.
>
> Dazu gibt es einen Satz, der besagt, das bei konjungiert
> komplexe Eigenwerte von A der Realteil und Imaginärteil
> zwei linear unabhängige Lösungen sind.
>
> Deshalb kann man Realteil und Imaginärteil zu einer
> Basislösung linar kombinieren, mit den Vektorpolynomen als
> Koeffzienten, so wie das Endergebniss es oben dargestellt.
>
> Ich hoffe das stimmt in etwa - ansonsten bitte
> korrigieren.
Es gibt nichts zu korrigieren.
>
> Gruß
> Takota
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