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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Differentialgleichungen lösen
Differentialgleichungen lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Differentialgleichungen lösen: Rückfrage, Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 Mi 23.08.2017
Autor: Dom_89

Aufgabe
Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichungen

y''(x)-3y'(x)+2y(x) = [mm] 10e^{x} [/mm]

Hallo,

hier einmal meine Lösung:

y''(x)-3y'(x)+2y(x) = [mm] 10e^{x} [/mm]

= [mm] \lambda^{2} [/mm] - [mm] 3\lambda [/mm] + 2 = 0

Mit Hilfe der PQ-Formel erhalte ich [mm] \lambda_{1}=2 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=1. [/mm]

=> yh(x) = [mm] c_{1}*e^{2x} [/mm] + [mm] c_{2}*e^{x} [/mm]

=> b(x) = [mm] 10e^{x} [/mm] ; ys(x) = Ax+B ; ys'(x) = A ; ys''(x) = 0

=> y''(x)-3y'(x)+2y(x) = [mm] 10e^{x} [/mm]

= 0 - 3A + 2Ax + 2B = [mm] 10e^{x} [/mm]

Nun habe ich die einzelnen Variablen berechnet

2Ax = [mm] 10e^{x} [/mm] => A = [mm] \bruch{5e^{x}}{x} [/mm]

Nun bin ich mir nicht sicher, ob dies bis hierher richtig ist und ob man den Ausdruck für A noch weiter vereinfachen kann. Könnt ihr mir da helfen?

Vielen Dank !

        
Bezug
Differentialgleichungen lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Mi 23.08.2017
Autor: ChopSuey

Hallo,

> Bestimme die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichungen
>  
> y''(x)-3y'(x)+2y(x) = [mm]10e^{x}[/mm]
>  Hallo,
>  
> hier einmal meine Lösung:
>  
> y''(x)-3y'(x)+2y(x) = [mm]10e^{x}[/mm]
>  
> = [mm]\lambda^{2}[/mm] - [mm]3\lambda[/mm] + 2 = 0
>  
> Mit Hilfe der PQ-Formel erhalte ich [mm]\lambda_{1}=2[/mm] und
> [mm]\lambda_{2}=1.[/mm]
>  
> => yh(x) = [mm]c_{1}*e^{2x}[/mm] + [mm]c_{2}*e^{x}[/mm]
>  
> => b(x) = [mm]10e^{x}[/mm] ; ys(x) = Ax+B ; ys'(x) = A ; ys''(x) =
> 0

nein. Wenn das sog. Störglied deiner inh. lin. DGL mit konstanten Koeffizienten von der Form

$ g(x) = [mm] ae^x$ [/mm] ist, dann ist dein spezieller Ansatz für die Lösung von der Form $ [mm] y_s [/mm] = [mm] Ae^x$ [/mm]

Dann ist $ y''_s(x) = [mm] Ae^x [/mm] = y'_s(x) = [mm] y_s(x)$ [/mm]

>  
> => y''(x)-3y'(x)+2y(x) = [mm]10e^{x}[/mm]
>
> = 0 - 3A + 2Ax + 2B = [mm]10e^{x}[/mm]
>  
> Nun habe ich die einzelnen Variablen berechnet
>  
> 2Ax = [mm]10e^{x}[/mm] => A = [mm]\bruch{5e^{x}}{x}[/mm]
>  
> Nun bin ich mir nicht sicher, ob dies bis hierher richtig
> ist und ob man den Ausdruck für A noch weiter vereinfachen
> kann. Könnt ihr mir da helfen?
>  
> Vielen Dank !

LG,
ChopSuey

Bezug
                
Bezug
Differentialgleichungen lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:34 Mi 23.08.2017
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> > Bestimme die allgemeine Lösung der
> > Differentialgleichungen
>  >  
> > y''(x)-3y'(x)+2y(x) = [mm]10e^{x}[/mm]
>  >  Hallo,
>  >  
> > hier einmal meine Lösung:
>  >  
> > y''(x)-3y'(x)+2y(x) = [mm]10e^{x}[/mm]
>  >  
> > = [mm]\lambda^{2}[/mm] - [mm]3\lambda[/mm] + 2 = 0
>  >  
> > Mit Hilfe der PQ-Formel erhalte ich [mm]\lambda_{1}=2[/mm] und
> > [mm]\lambda_{2}=1.[/mm]
>  >  
> > => yh(x) = [mm]c_{1}*e^{2x}[/mm] + [mm]c_{2}*e^{x}[/mm]
>  >  
> > => b(x) = [mm]10e^{x}[/mm] ; ys(x) = Ax+B ; ys'(x) = A ; ys''(x) =
> > 0
>  
> nein. Wenn das sog. Störglied deiner inh. lin. DGL mit
> konstanten Koeffizienten von der Form
>
> [mm]g(x) = ae^x[/mm] ist, dann ist dein spezieller Ansatz für die
> Lösung von der Form [mm]y_s = Ae^x[/mm]

Da muss ich widersprechen !

[mm] Ae^x [/mm] ist doch eine Lösung der obigen homogenen Gleichung ! Dann ist das nie und nimmer eine Lösung der inhomogenen Gleichung.

Der richtige Ansatz für eine spezielle Lösung ist

[mm] y_s(x)=Axe^x. [/mm]


>  
> Dann ist [mm]y''_s(x) = Ae^x = y'_s(x) = y_s(x)[/mm]
>  
> >  

> > => y''(x)-3y'(x)+2y(x) = [mm]10e^{x}[/mm]
> >
> > = 0 - 3A + 2Ax + 2B = [mm]10e^{x}[/mm]
>  >  
> > Nun habe ich die einzelnen Variablen berechnet
>  >  
> > 2Ax = [mm]10e^{x}[/mm] => A = [mm]\bruch{5e^{x}}{x}[/mm]
>  >  
> > Nun bin ich mir nicht sicher, ob dies bis hierher richtig
> > ist und ob man den Ausdruck für A noch weiter vereinfachen
> > kann. Könnt ihr mir da helfen?
>  >  
> > Vielen Dank !
>
> LG,
>  ChopSuey


Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichungen lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:37 Mi 23.08.2017
Autor: ChopSuey

Hallo Fred,

du hast natürlich Recht! Wir hatten ja $ [mm] \lambda [/mm] = 1$ als Lösung des char. Polynoms.

Danke für's Aufpassen.

LG,
ChopSuey

Bezug
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