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Forum "Determinanten" - Det. über vollst. Induktion
Det. über vollst. Induktion < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Det. über vollst. Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:04 Sa 16.03.2013
Autor: melodie

Aufgabe
Gegeben sei die Matrix  [mm] A_n [/mm] = [mm] {a_{kl}}_{1 \le k,l \le n} \in \IC^{nxn} [/mm] mit

[mm] a_{k,l} [/mm] =  1 , für k=l
          i, für k=l+1 und k=l-1
          0, sonst

Zeigen Sie : det [mm] A_1 [/mm] = 1 , [mm] detA_2 [/mm] =2

und

det [mm] A_n [/mm] = det [mm] A_{n-1} [/mm] + [mm] detA_{n-2} [/mm]   für [mm] n\ge [/mm] 3


[mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] habe ichgezeigt.

dann habe ich eine Matrix [mm] A_{n+1} [/mm] also einfach [mm] A_n [/mm] und plus Zeile und Spalte entsprechend der Voraussetzungen aufgestellt und die Determinante berechnet, dabei habe ich Laplace angewendet aber nach der Entwicklung nach Zeile oder Spalte 1 enstpricht die Restmatrix nicht mehr den Vorraussetzungen.

Was muss ich hier machen?

        
Bezug
Det. über vollst. Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:32 Sa 16.03.2013
Autor: Sax

Hi,

du hast dich wohl nur verrechnet, denn genau dein Verfahren führt zum Ziel.
Entwicklung nach der ersten Zeile ergibt doch det [mm] A_n [/mm] = 1*det [mm] A_{n-1} [/mm] - i*det B ,  Entwicklung von B nach der ersten Spalte ergibt weiter  det B = i*det [mm] A_{n-2} [/mm]  und somit das gewünschte Ergebnis.

Gruß Sax.

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