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Definitionslücke: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:48 Fr 05.09.2008
Autor: tedd

Aufgabe
Prüfen Sie ob die Definitionslücke der folgenden Funktion stetig behhebar ist, und erweitern Sie ggf. den Definitonsbereich:

[mm] f(x)=\bruch{1}{ln(|x|)} [/mm]

Also f(0) ist nicht definiert, dort ist meine Definitionslücke.

Kann ich jetzt für den links- und rechtsseitigen Grenzwert schreiben:

   $ [mm] \text{linksseitiger Grenzwert: } [/mm] \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}\bruch{1}{ln(|x|)} [/mm] \ = \ [mm] -\infty [/mm] $


    $ [mm] \text{rechtsseitiger Grenzwert: } [/mm] \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\bruch{1}{ln(|x|)} [/mm] \ = [mm] -\infty [/mm] $

Aber das wäre ja ein unbestimmter Ausdruck oder?
Oder habe ich den Grenzwert falsch berechnet?

Sonst könnte ich ja schreiben:
Die fkt f ist bei x=0 nicht definiert.
Man kann diese Funktion aber stetig ergaenzen, und hat dann g(x) mit
$ [mm] g(x)=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x \ne 0 \\ -\infty, & \mbox{für } x = 0 \end{cases} [/mm] $

Aber [mm] -\infty [/mm] ist ja wie gesagt kein "richtiger" Funktionswert...
Ist die die Defintionslücke stetig behhebar?

Danke und besten Gruß,
tedd

        
Bezug
Definitionslücke: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:55 Fr 05.09.2008
Autor: pelzig

Links- und rechtsseitiger Grenzwert ist $0$, da [mm] $\ln(x)$ [/mm] für [mm] $x\to0$ [/mm] gegen den uneigentlichen grenzwert [mm] $-\infty$ [/mm] divergiert, d.h. unter alle Schranken fällt. Damit ist $f$ an der Stelle $0$ stetig fortsetzbar.


Bezug
                
Bezug
Definitionslücke: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:01 Fr 05.09.2008
Autor: tedd

Stimmt.
Mist ist ich hatte irgendwie den natürlichen Logarithmus falsch im Kopf! argh...

Also:

   $ [mm] \text{linksseitiger Grenzwert: } [/mm] \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}\bruch{1}{ln(|x|)} [/mm] \ = \ 0 $


    $ [mm] \text{rechtsseitiger Grenzwert: } [/mm] \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\bruch{1}{ln(|x|)} [/mm] \ = 0 $

Die fkt f ist bei x=0 nicht definiert.
Man kann diese Funktion aber stetig ergaenzen, und hat dann g(x) mit
$ [mm] g(x)=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x \ne 0 \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases} [/mm] $

Danke und Gruß,
tedd

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