Darstellungsmatrix f in End(V) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:30 So 21.05.2006 | | Autor: | neli |
| Aufgabe | 3. Seien U [mm] \subseteq [/mm] V, U´ [mm] \subseteq [/mm] V´ Untervektorräume mit zugehörigen Projaktionen [mm] \pi [/mm] : V [mm] \to [/mm] V/U, [mm] \pi [/mm] ´: V´ [mm] \to [/mm] V´/U´.
Wieder sie f: V [mm] \to [/mm] V´ k-linear.
Zeife: Genau dann existiert [mm] \overline{f} [/mm] : V/U [mm] \to [/mm] V´/U´ nit [mm] \pi [/mm] ´ [mm] \circ [/mm] f = [mm] \overline{f} \circ \pi [/mm] , wenn f(U) [mm] \subseteq [/mm] U´gilt. In diesem Fall bezeichnet
f° : U [mm] \to [/mm] U´die induzierte Abbildung mit f°: u [mm] \mapsto [/mm] fu.
Gibt es im endlichdimensionalen Fall einen Zusammenhang zwischen den Rängen von f, [mm] \overline{f} [/mm] und f° ?
4. Nun sei speziell V endlichdimmensional, f [mm] \in [/mm] End(V) und U ein f-invarianter Unterraum (d.h. fU [mm] \subseteq [/mm] U), so dass also nach Aufgabe 3 [mm] \overline{f} [/mm] : V/U [mm] \to [/mm] V/U existiert und f° : U [mm] \to [/mm] U. Sei [mm] \pi [/mm] :V [mm] \to [/mm] V/U die kanonische Projektion.
a) Sie [mm] \beta [/mm] ´= [mm] (\beta_1 [/mm] ,....., [mm] \beta_r [/mm] ) ein Koordinatensystem von U und
[mm] \gamma [/mm] = [mm] (\gamma_1 [/mm] ,...., [mm] \gamma_s) [/mm] ein Koordinatensystem von V/U. Wähle dann [mm] \gamma_i [/mm] ´ [mm] \in [/mm] V beliebig mit [mm] \pi(\gamma_i [/mm] ´) = [mm] \gamma_i.
[/mm]
Dann ist [mm] \beta [/mm] = [mm] (\beta_1 [/mm] ,....., [mm] \beta_r [/mm] , [mm] \gamma_1 [/mm] ´ ,.... [mm] \gamma_s [/mm] ´) ein Koordinatensystem von V
b) Man hat
[mm] M_{\beta}(f) [/mm] = [mm] \pmat{ M_{\beta}(f°) & * \\ 0 & M_{\gamma} (\overline{f}) }
[/mm]
(das [mm] \beta [/mm] in der Blockmatrix sollte eigentlich [mm] \beta [/mm] ´sein das kriegt der Formeleditor aber nicht hin)
c) Rangf [mm] \ge [/mm] Rangf° + Rang [mm] \overline{f} [/mm] |
So viel geschrieben aber keine Sorge ich bin nicht völlig Ratlos 
Die Aufgabe drei habe ich soweit gelößt bis auf die Frage welchen Zusammenhang es im endlichdimmensionalen zwischen den Rängen von den Verschiedenen Funktionen gibt.
Das einzige, was mir offensichtlich auffällt ist, dass Rangf° [mm] \le [/mm] Rangf gilt
ansonsten habe ich Versucht mit dem Rangsatz ein wenig rumzu experimentieren bin da aber auf keine Vernünftige Aussage gekommen.
Irgendwie sollten wir uns auch dazu noch mal Aufgabe 4 Anschauen (sicherlich 4 c) ) aber habe das noch nicht übertragen können.
Bei Aufgabe 4 ist mir im Prinzip soweit das meiste klar ich kriege nur bei Teil b) nicht gezeigt, warum der Block unten Rechts [mm] M_{\gamma}(\overline{f}) [/mm] ist
komme nur auf den Zusammenhang, [mm] \overline{f}(\gamma) [/mm] = [mm] \overline{f}(\pi\gamma_i [/mm] ´) = [mm] \overline{f} \circ \pi (\gamma) [/mm] = [mm] \pi \circ f(\gamma)
[/mm]
bringt mich aber alles nicht wieter
wäre für einen kleinen Hinweis sehr dankbar
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 27.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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