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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL erster ORdnung mit Betrag
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DGL erster ORdnung mit Betrag: Tipp/Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:14 Mo 20.11.2017
Autor: Thomas0086

Aufgabe
Man bestimme alle Lösungen der DGL:

[mm] y' = 2 \wurzel{\vmat{y}(1-y)} [/mm]  [mm] y\le 1 [/mm]

Auf jeden Fall fertige man eine Skizze an und bestimme die Menge aller Punkte für welche das Anfangswertproblem nicht lokal eindeutig lösbar ist.

Hallo zusammen,

habe bei der Aufgabe ein paar Probleme. Zunächst meine Überlegungen.

Mit TdV komme ich auf

[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{\wurzel{\vmat{y}(1-y)}} dy} = \integral_{}^{}{ 2 dx} [/mm]

Betrachte die Fälle [mm] y=0 , y=1 [/mm] :
Für beide Fälle ist die DGL lösbar mit :  [mm] y\equiv0 [/mm] und  [mm] y\equiv1 [/mm]

Der Fall [mm] y> 1 [/mm] ist nach Aufgabenstellung ausgeschlossen. Also betrachte zunächst den Bereich für [mm] 0
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{\wurzel{y(1-y)}} dy} = \integral_{}^{}{ 2 dx} [/mm]

Hier bietet mir Wolfram für den linken Teil

[mm] \bruch{2 \wurzel{y-1}\wurzel{y}log (\wurzel{y-1}+ \wurzel{y})}{\wurzel{-(y-1)y}} [/mm]

Hier komme ich dann einfach nicht weiter. Für VdK müsste ich nach y auflösen, das übersteigt aber meine derzeitigen Fähigkeiten.
Lasse ich die exp-Funktion drüber laufen folgt:

[mm] e^{2 \wurzel{y-1}\wurzel{y}}(\wurzel{y-1}+ \wurzel{y})=e^{2x+c} e^{\wurzel{-(y-1)y}} [/mm]

Hier wäre ich über einen Tipp dankbar. War ich eventuell vorher schon auf dem Holzweg?
Vielen Dank.

Liebe Grüße
Thomas





        
Bezug
DGL erster ORdnung mit Betrag: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 Di 21.11.2017
Autor: leduart

Hallo
1. welche Lösungen hat denn die Dgl ausser dem Integral, dadurch findest du die anfangsbestand. mit mehr als 1 Lösung.
2. unter der Wurzel quadratische Ergänzung und danach  Substitution mit sinh
Gruß leduart

Bezug
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