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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL 2. Ordnung
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DGL 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:12 Sa 27.06.2009
Autor: n0000b

Aufgabe 1
Bestimmen Sie die Lösungen des Anfangswertproblems
$ y''(x) + 4y'(x) + a*y(x) = 0$ , $\ y(0) = 0$ , $y'(0) = 2$
für a = 3 , a = 4 und a = 5

Aufgabe 2
Lösen Sie die Anfangswertaufgabe
$ y''- 2y' + 2y = ( [mm] \cos [/mm] x + [mm] 2\sin [/mm] x ) [mm] e^x$ [/mm] , $y(0) = 0$ , $y'(0) = [mm] -\bruch{1}{2}$ [/mm]

So jetzt komt nach den Aufgaben der 1. Ordung die der 2.Ordnung :-)

Also meines Wissens muss man da mit der "charakteristischen Gleichung" ran:

[mm] $\lambda^2+2a_{1}\lambda+a_{0}=0$ [/mm]

Pls Help :-)

        
Bezug
DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 Sa 27.06.2009
Autor: MathePower

Hallo n0000b,

> Bestimmen Sie die Lösungen des Anfangswertproblems
>  [mm]y''(x) + 4y'(x) + a*y(x) = 0[/mm] , [mm]\ y(0) = 0[/mm] , [mm]y'(0) = 2[/mm]
>  für
> a = 3 , a = 4 und a = 5
>  Lösen Sie die Anfangswertaufgabe
>  [mm]y''- 2y' + 2y = ( \cos x + 2\sin x ) e^x[/mm] , [mm]y(0) = 0[/mm] ,
> [mm]y'(0) = -\bruch{1}{2}[/mm]
>  So jetzt komt nach den Aufgaben der
> 1. Ordung die der 2.Ordnung :-)
>  
> Also meines Wissens muss man da mit der "charakteristischen
> Gleichung" ran:
>  
> [mm]\lambda^2+2a_{1}\lambda+a_{0}=0[/mm]


Genau so ist es.

Hier handelt es sich um die DGL

[mm]y''+2*a_{1}*y'+a_{0}*y=0[/mm]


>  
> Pls Help :-)



Gruss
MathePower

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DGL 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:22 So 28.06.2009
Autor: n0000b

Ja, nur wie muss ich das jetzt anwenden?

In etwa so?

[mm] $\lambda^2+4\lambda+3=0 [/mm] $

[mm] $\lambda_{1,2}=-2\pm\wurzel{16-12}$ [/mm]

[mm] $\lambda_{1}=0$ [/mm]
[mm] $\lambda_{2}=-4$ [/mm]

[mm] $y(x)=c_{2}e^{-4x}$ [/mm]

Bezug
                        
Bezug
DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:58 Mo 29.06.2009
Autor: MathePower

Hallo n0000b,

> Ja, nur wie muss ich das jetzt anwenden?
>  
> In etwa so?
>  
> [mm]\lambda^2+4\lambda+3=0[/mm]
>  
> [mm]\lambda_{1,2}=-2\pm\wurzel{16-12}[/mm]
>  
> [mm]\lambda_{1}=0[/mm]
>  [mm]\lambda_{2}=-4[/mm]
>  
> [mm]y(x)=c_{2}e^{-4x}[/mm]


Die quadratischche Gleichung

[mm]\lamda_{2}+2*a_{1}\lambda+a_{2}=0[/mm]

besitzt zwei Lösungen [mm]\lambda_{1}, \lambda_{2}[/mm]

Gilt [mm]\lambda_{1} \not= \lambda_{2}[/mm], dann sind Lösungen der DGL

[mm]y''+2*a_{1}*y'+a_{2}*y=0[/mm]

[mm]y\left(x\right)=C_{1}*e^{\lambda_{1}x}+C_{2}*e^{\lambda_{2}x}[/mm]


Gruß
MathePower

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DGL 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:08 Di 30.06.2009
Autor: n0000b

Ok, dann müsste es:

$ [mm] y(x)=c_{1}+c_{2}e^{-4x} [/mm] $

bei der ersten Aufgabe und a=3, oder?

Bezug
                                        
Bezug
DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:28 Di 30.06.2009
Autor: fred97


> Ok, dann müsste es:
>  
> [mm]y(x)=c_{1}+c_{2}e^{-4x}[/mm]
>  
> bei der ersten Aufgabe und a=3, oder?


Ich weiß nicht, was Du oben gerechnet hast, aber die Gleichung

$ [mm] \lambda^2+4\lambda+3=0 [/mm] $ hat die Lösungen [mm] \lambda_1 [/mm] = -3, und [mm] \lambda_2 [/mm] = -1


FRED

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DGL 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:40 Di 30.06.2009
Autor: n0000b

Jep, sry. Zu blöd um die pq-Formel abzuschreiben :-) Hätte ich ja auch an meinen Ergebnissen sehen müssen, dass das nicht stimmt :-(

Also Ergebnis:

$ [mm] y\left(x\right)=C_{1}\cdot{}e^{-3x}+C_{2}\cdot{}e^{-x} [/mm] $

Wie muss ich jetzt vorgehen um [mm] $C_{1}$ [/mm] und [mm] $C_{2}$ [/mm] zu berechnen?

Bezug
                                                        
Bezug
DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 Di 30.06.2009
Autor: fred97


> Jep, sry. Zu blöd um die pq-Formel abzuschreiben :-)
> Hätte ich ja auch an meinen Ergebnissen sehen müssen,
> dass das nicht stimmt :-(
>  
> Also Ergebnis:
>  
> [mm]y\left(x\right)=C_{1}\cdot{}e^{-3x}+C_{2}\cdot{}e^{-x}[/mm]
>  
> Wie muss ich jetzt vorgehen um [mm]C_{1}[/mm] und [mm]C_{2}[/mm] zu
> berechnen?



Du hast doch

          $ \ y(0) = 0 $ , $ \ y'(0) = 2 $


Aus $ \ y(0) = 0 $ folgt

             [mm] $C_1+C_2 [/mm] = 0$

Berechne nun $ \ y' $ . Wegen $ \ y'(0) = 2 $ bekommst Du eine 2. Gleichung für [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm]

FRED

Bezug
                                                                
Bezug
DGL 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:22 Di 30.06.2009
Autor: n0000b

[mm] $y'(x)=-3C_{1}e^{-3x}-C_{2}e^{-x}=2$ [/mm]

Ok, dann bekomme ich [mm] $C_{1}=1$ [/mm] , [mm] $C_{2}=-1$. [/mm]

$ [mm] y\left(x\right)=C_{1}\cdot{}e^{-3x}+C_{2}\cdot{}e^{-x} [/mm] $

$ [mm] y\left(x\right)=e^{-3x}-e^{-x} [/mm] $

Stimmt das?

$ y''- 2y' + 2y = ( [mm] \cos [/mm] x + [mm] 2\sin [/mm] x ) [mm] e^x [/mm] $

Da müsste man erst mal das homogene [mm] y_{hom} [/mm] lösen, oder?

also: $ y''- 2y' + 2y = 0$

Bezug
                                                                        
Bezug
DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 Di 30.06.2009
Autor: fred97


> [mm]y'(x)=-3C_{1}e^{-3x}-C_{2}e^{-x}=2[/mm]
>  
> Ok, dann bekomme ich [mm]C_{1}=1[/mm] , [mm]C_{2}=-1[/mm].


Ich bekomme:  [mm]C_{1}=-1[/mm] , [mm]C_{2}=1[/mm].



>  
> [mm]y\left(x\right)=C_{1}\cdot{}e^{-3x}+C_{2}\cdot{}e^{-x}[/mm]
>  
> [mm]y\left(x\right)=e^{-3x}-e^{-x}[/mm]
>  
> Stimmt das?


S.o.


>  
> [mm]y''- 2y' + 2y = ( \cos x + 2\sin x ) e^x[/mm]
>  
> Da müsste man erst mal das homogene [mm]y_{hom}[/mm] lösen, oder?



Genau

FRED

>  
> also: [mm]y''- 2y' + 2y = 0[/mm]


Bezug
                                                                                
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DGL 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:38 Di 30.06.2009
Autor: n0000b

OMG. Ich hasse miene Flüchtigkeitsfehler.

Ja, es kommt $ [mm] C_{1}=-1 [/mm] $ und $ [mm] C_{2}=1 [/mm] $ raus. Also

$ [mm] y\left(x\right)=e^{-x} -e^{-3x} [/mm] $


$ y''- 2y' + 2y = 0 $

$ [mm] \lambda^2-2\lambda+2=0 [/mm] $

$ [mm] \lambda_{1,2}=-\bruch{-2}{2}\pm\wurzel{(-2)^2-8}$ [/mm]

$ [mm] \lambda_{1,2}=1\pm\wurzel{-4}$ [/mm]

$ [mm] \lambda_{1}=\alpha+i\beta, \lambda_{2}=\overline{\lambda_{1}}, \beta\not=0\Rightarrow y_{1}(x)=e^{\alpha x}\cos\beta x\Rightarrow y_{2}(x)=e^{\alpha x}\sin\beta [/mm] x$

$ [mm] y\left(x\right)=e^{x}\cos\beta x+e^{x}\sin\beta [/mm] x $

Was ist jetzt [mm] $\beta$ [/mm] ?

Ist das $2i$?

Bezug
                                                                                        
Bezug
DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:44 Di 30.06.2009
Autor: fred97


> OMG. Ich hasse miene Flüchtigkeitsfehler.
>  
> Ja, es kommt [mm]C_{1}=-1[/mm] und [mm]C_{2}=1[/mm] raus. Also
>  
> [mm]y\left(x\right)=e^{-x} -e^{-3x}[/mm]
>  
>
> [mm]y''- 2y' + 2y = 0[/mm]
>  
> [mm]\lambda^2-2\lambda+2=0[/mm]
>  
> [mm]\lambda_{1,2}=-\bruch{-2}{2}\pm\wurzel{(-2)^2-8}[/mm]


Mit der pq-Formel stehst Du aber mächtig auf Kriegsfuß !

richtig wäre:

[mm]\lambda_{1,2}=1\pm\wurzel{1-2} = 1 \pm i[/mm]



FRED



>  
> [mm]\lambda_{1,2}=1\pm\wurzel{-4}[/mm]
>  
> [mm]\lambda_{1}=\alpha+i\beta, \lambda_{2}=\overline{\lambda_{1}}, \beta\not=0\Rightarrow y_{1}(x)=e^{\alpha x}\cos\beta x\Rightarrow y_{2}(x)=e^{\alpha x}\sin\beta x[/mm]
>  
> [mm]y\left(x\right)=e^{x}\cos\beta x+e^{x}\sin\beta x[/mm]
>  
> Was ist jetzt [mm]\beta[/mm] ?


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DGL 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:59 Di 30.06.2009
Autor: n0000b

Na, ich hoffe ich belustige euch wenigstens mit meiner Dummheit.

Ich vergesse jedesmal das [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] vor der Wurzel.

dann kommt als Ergebnis natürlich $\ i$ raus.

Nun das Ergebnis: $ [mm] y\left(x\right)=C_{1}\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos x+C_{2}\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin [/mm] x $

Wie geht es nun weiter? Auch erst wieder [mm] $C_{1}$ [/mm] und [mm] $C_{2}$ [/mm] berechnen?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:29 Di 30.06.2009
Autor: MathePower

Hallo n0000b,

> Na, ich hoffe ich belustige euch wenigstens mit meiner
> Dummheit.
>  
> Ich vergesse jedesmal das [mm]\bruch{1}{2}[/mm] vor der Wurzel.
>  
> dann kommt als Ergebnis natürlich [mm]\ i[/mm] raus.
>  
> Nun das Ergebnis:
> [mm]y\left(x\right)=C_{1}\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos x+C_{2}\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin x[/mm]
>  
> Wie geht es nun weiter? Auch erst wieder [mm]C_{1}[/mm] und [mm]C_{2}[/mm]
> berechnen?


Jetzt mußt Du erst einen Ansatz zur
Bestimmung der partikulären Lösung finden.


Gruß
MathePower

Bezug
                                                                                                                
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DGL 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:26 Mi 01.07.2009
Autor: n0000b

Ok, jetzt kommt das wo ich am wenigsten Ahnung davon habe. Ich habe mich jetzt mal versucht einzulesen und hätte jetzt vorgeschlagen [mm] $e^{cx}$ [/mm] als Störfunktion zu benutzen.

$\ c=1$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] c ist eine einfache Lösung.

Lösungsansatz: [mm] $y_{p}=A\cdot{}x\cdot{}e^{x}$ [/mm]

Ist dieser Ansatz so richtig?

Bezug
                                                                                                                        
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DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 Mi 01.07.2009
Autor: MathePower

Hallo n0000b,

> Ok, jetzt kommt das wo ich am wenigsten Ahnung davon habe.
> Ich habe mich jetzt mal versucht einzulesen und hätte
> jetzt vorgeschlagen [mm]e^{cx}[/mm] als Störfunktion zu benutzen.
>  
> [mm]\ c=1[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] c ist eine einfache Lösung.
>  
> Lösungsansatz: [mm]y_{p}=A\cdot{}x\cdot{}e^{x}[/mm]
>  
> Ist dieser Ansatz so richtig?


Ja, wenn [mm]e^{x}[/mm] Lösung der homogenen DGL ist.

Ist die Störfunktion oder ein Teil von ihr
zugleich Lösung der homogenen DGL,
so ist der Ansatz mit "x" zu multiplizieren.

Also genau so, wie Du es gemacht hast.

Wenn die charakteristische Gleichung der DGL,
eine doppelte Lösung besitzt, und die Störfunktion ist
auch zugleich ein Teil von der homogenen Lösung,
so ist hier der Ansatz mit "[mm]x^{2}[/mm] zu multiplizieren.

In diesem Fall lautet dann der Ansatz: [mm]y_{p}=B*x^{2}*e^{x}[/mm]


Gruß
MathePower

Bezug
                                                                                                                                
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DGL 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:43 Mi 01.07.2009
Autor: n0000b

$ [mm] y_{p}=A\cdot{}x\cdot{}e^{x} [/mm] $

Bestimmung der Konstanten A:

$ [mm] y_{p}=A\cdot{}x\cdot{}e^{x} [/mm] $, $ [mm] y'_{p}=(A+Ax)\cdot{}e^{x} [/mm] $, $ [mm] y''_{p}=(2A+Ax)\cdot{}e^{x} [/mm] $

[mm] $(2A+Ax)\cdot{}e^{x}-2(A+Ax)\cdot{}e^{x}+2\cdot{}A\cdot{}x\cdot{}e^{x}=( \cos [/mm] x + [mm] 2\sin [/mm] x ) [mm] e^x$ [/mm]  $ [mm] |:e^x$ [/mm]


[mm] $2A+Ax-2A-2Ax+2Ax=\cos [/mm] x + [mm] 2\sin [/mm] x $

[mm] $Ax=\cos [/mm] x + [mm] 2\sin [/mm] x $

[mm] $A=\bruch{\cos x + 2\sin x}{x} [/mm] $

Stimmt das bis hier hin?

Wenn ja, dann müsste ich doch nur noch [mm] $y(x)=y_{hom}+y_{p}$ [/mm] rechnen, oder?

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:20 Mi 01.07.2009
Autor: MathePower

Hallo n0000b,

> [mm]y_{p}=A\cdot{}x\cdot{}e^{x}[/mm]
>  
> Bestimmung der Konstanten A:
>  
> [mm]y_{p}=A\cdot{}x\cdot{}e^{x} [/mm], [mm]y'_{p}=(A+Ax)\cdot{}e^{x} [/mm],
> [mm]y''_{p}=(2A+Ax)\cdot{}e^{x}[/mm]
>  
> [mm](2A+Ax)\cdot{}e^{x}-2(A+Ax)\cdot{}e^{x}+2\cdot{}A\cdot{}x\cdot{}e^{x}=( \cos x + 2\sin x ) e^x[/mm]
>  [mm]|:e^x[/mm]
>  
>
> [mm]2A+Ax-2A-2Ax+2Ax=\cos x + 2\sin x[/mm]
>  
> [mm]Ax=\cos x + 2\sin x[/mm]
>  
> [mm]A=\bruch{\cos x + 2\sin x}{x}[/mm]
>  
> Stimmt das bis hier hin?


Das ist der falsche Ansatz.

Der richtige Ansatz muß hier lauten:

[mm]y_{p}\left(x\right)=Ax*e^{x}*\sin\left(x\right)+Bx*e^{x}*\cos\left(x\right)[/mm]


>  
> Wenn ja, dann müsste ich doch nur noch [mm]y(x)=y_{hom}+y_{p}[/mm]
> rechnen, oder?


Gruß
MathePower

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
DGL 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:34 Do 02.07.2009
Autor: n0000b

Ok,

dann bekomme ich folgendes:

$ [mm] y_{p}\left(x\right)=e^x\left(Ax\cdot{}\sin\left(x\right)+Bx\cdot{}\cos\left(x\right)\right) [/mm] $

$ [mm] y'_{p}\left(x\right)=e^{x}(A\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\cos(x)-Bx\cdot{}\sin(x)+B\cdot{}\cos(x)+Bx\cdot{}\cos(x))$ [/mm]


$ [mm] y''_{p}\left(x\right)=2 e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))$ [/mm]

$2 [mm] e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))$ [/mm]
[mm] $-2e^{x}(A\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\cos(x)-Bx\cdot{}\sin(x)+B\cdot{}\cos(x)+Bx\cdot{}\cos(x))$ [/mm]
$ [mm] +2e^{x}\left(Ax\cdot{}\sin\left(x\right)+Bx\cdot{}\cos\left(x\right)\right)=( \cos [/mm] x + [mm] 2\sin [/mm] x ) [mm] e^{x} [/mm] $

Ist das jetzt so richtig und muss ich das dann nach A u. B auflösen?

Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 Do 02.07.2009
Autor: MathePower

Hallo n0000b,

> Ok,
>  
> dann bekomme ich folgendes:
>  
> [mm]y_{p}\left(x\right)=e^x\left(Ax\cdot{}\sin\left(x\right)+Bx\cdot{}\cos\left(x\right)\right)[/mm]
>  
> [mm]y'_{p}\left(x\right)=e^{x}(A\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\cos(x)-Bx\cdot{}\sin(x)+B\cdot{}\cos(x)+Bx\cdot{}\cos(x))[/mm]
>  
>
> [mm]y''_{p}\left(x\right)=2 e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))[/mm]
>  
> [mm]2 e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))[/mm]
>  
> [mm]-2e^{x}(A\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\cos(x)-Bx\cdot{}\sin(x)+B\cdot{}\cos(x)+Bx\cdot{}\cos(x))[/mm]
>  
> [mm]+2e^{x}(A\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\cos(x)-Bx\cdot{}\sin(x)+B\cdot{}\cos(x)+Bx\cdot{}\cos(x))=( \cos x + 2\sin x ) e^{x}[/mm]


Hier muß es doch so lauten:

[mm]+2e^{x}\left(Ax\cdot{}\sin\left(x\right)+Bx\cdot{}\cos\left(x\right)\right)=( \cos x + 2\sin x ) e^{x}[/mm]



>  
> Ist das jetzt so richtig und muss ich das dann nach A u. B
> auflösen?


Jetzt machst Du einen Koeffizientenvergleich, das heißt
Du vergleichst links und rechts die Koeffizienten, die vor
[mm]x*\sin\left(x\right), \ x*\cos\left(x\right), \ \sin\left(x\right), \ \cos\left(x\right)[/mm] stehen miteinander.


Gruß
MathePower

Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
DGL 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:34 Do 02.07.2009
Autor: n0000b

Aber erst mal durch [mm] $e^x$ [/mm] teilen und etwas ausmultiplizieren?

Bezug
                                                                                                                                                                        
Bezug
DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:04 Do 02.07.2009
Autor: MathePower

Hallo n0000b,

> Aber erst mal durch [mm]e^x[/mm] teilen und etwas ausmultiplizieren?


Durch [mm]e^{x}[/mm] kannst Du teilen,
anschließend mußt Du dann die Gleichung
noch ein bischen sortieren.


Gruß
MathePower

Bezug
                                                                                                                                                                                
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DGL 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:31 Fr 03.07.2009
Autor: n0000b

$2 [mm] e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))$ [/mm]
[mm] $-2e^{x}(A\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\cos(x)-Bx\cdot{}\sin(x)+B\cdot{}\cos(x)+Bx\cdot{}\cos(x))$ [/mm]
$ [mm] +2e^{x}\left(Ax\cdot{}\sin\left(x\right)+Bx\cdot{}\cos\left(x\right)\right)=( \cos [/mm] x + [mm] 2\sin [/mm] x ) [mm] e^{x} [/mm] $


[mm] $(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))$ [/mm]
[mm] $+(-A\cdot{}\sin(x)-Ax\cdot{}\sin(x)-Ax\cdot{}\cos(x)+Bx\cdot{}\sin(x)-B\cdot{}\cos(x)-Bx\cdot{}\cos(x))$ [/mm]
$ [mm] +\left(Ax\cdot{}\sin\left(x\right)+Bx\cdot{}\cos\left(x\right)\right)=\bruch{( \cos x + 2\sin x )}{2} [/mm]  $

$ [mm] +\left(A\cdot{}\cos (x) - B\cdot{}\sin (x) - Ax\cdot{}\sin (x) - Bx\cos (x) \right) [/mm]
$ [mm] +\left(Ax\cdot{}\sin\left(x\right)+Bx\cdot{}\cos\left(x\right)\right)=\bruch{( \cos x + 2\sin x )}{2} [/mm]  $

[mm] $A\cdot{}\cos [/mm] (x) - [mm] B\cdot{}\sin (x)=\bruch{( \cos x + 2\sin x )}{2}$ [/mm]

[mm] $2A\cdot{}\cos [/mm] (x) - [mm] 2B\cdot{}\sin (x)=\cos [/mm] x + [mm] 2\sin [/mm] x$

Koeffizientenvergleich:

[mm] $2A\cdot{}\cos(x)=\cos(x)$ [/mm]
$- [mm] 2B\cdot{}\sin (x)=2\sin(x)$ [/mm]

[mm] $A=\bruch{1}{2}$ [/mm]
$B=-1$


Stimmt das bis dahin?

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DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 Fr 03.07.2009
Autor: MathePower

Hallo n0000b,

> [mm]2 e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))[/mm]


Die "2" steht hier nur bei den Termen mit [mm]x*e^{x}[/mm]:

[mm]e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+\red{2}*Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-\red{2}*Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))[/mm]


>  
> [mm]-2e^{x}(A\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\cos(x)-Bx\cdot{}\sin(x)+B\cdot{}\cos(x)+Bx\cdot{}\cos(x))[/mm]
>  
> [mm]+2e^{x}\left(Ax\cdot{}\sin\left(x\right)+Bx\cdot{}\cos\left(x\right)\right)=( \cos x + 2\sin x ) e^{x}[/mm]
>  
>
> [mm](A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))[/mm]
>  
> [mm]+(-A\cdot{}\sin(x)-Ax\cdot{}\sin(x)-Ax\cdot{}\cos(x)+Bx\cdot{}\sin(x)-B\cdot{}\cos(x)-Bx\cdot{}\cos(x))[/mm]
>  
> [mm]+\left(Ax\cdot{}\sin\left(x\right)+Bx\cdot{}\cos\left(x\right)\right)=\bruch{( \cos x + 2\sin x )}{2} [/mm]
>  
> $ [mm]+\left(A\cdot{}\cos (x) - B\cdot{}\sin (x) - Ax\cdot{}\sin (x) - Bx\cos (x) \right)[/mm]
>  
> [mm]+\left(Ax\cdot{}\sin\left(x\right)+Bx\cdot{}\cos\left(x\right)\right)=\bruch{( \cos x + 2\sin x )}{2} [/mm]
>  
> [mm]A\cdot{}\cos (x) - B\cdot{}\sin (x)=\bruch{( \cos x + 2\sin x )}{2}[/mm]
>  
> [mm]2A\cdot{}\cos (x) - 2B\cdot{}\sin (x)=\cos x + 2\sin x[/mm]
>  
> Koeffizientenvergleich:
>  
> [mm]2A\cdot{}\cos(x)=\cos(x)[/mm]
>  [mm]- 2B\cdot{}\sin (x)=2\sin(x)[/mm]
>  
> [mm]A=\bruch{1}{2}[/mm]
>  [mm]B=-1[/mm]
>  
>
> Stimmt das bis dahin?


Siehe oben.


Gruß
MathePower

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DGL 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:45 Fr 03.07.2009
Autor: n0000b


> Hallo n0000b,
>  
> > [mm]2 e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))[/mm]
>  
>
> Die "2" steht hier nur bei den Termen mit [mm]x*e^{x}[/mm]:
>  
> [mm]e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+\red{2}*Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-\red{2}*Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))[/mm]

Warum? Es heißt doch: $ y''- 2y' + 2y = ( [mm] \cos [/mm] x + [mm] 2\sin [/mm] x ) [mm] e^x [/mm] $

und $y''(x)=2 [mm] e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)) [/mm] $  ?


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DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Fr 03.07.2009
Autor: MathePower

Hallo n0000b,

> > Hallo n0000b,
>  >  
> > > [mm]2 e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))[/mm]
>  
> >  

> >
> > Die "2" steht hier nur bei den Termen mit [mm]x*e^{x}[/mm]:
>  >  
> >
> [mm]e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+\red{2}*Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-\red{2}*Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))[/mm]
>  
> Warum? Es heißt doch: [mm]y''- 2y' + 2y = ( \cos x + 2\sin x ) e^x[/mm]
>  
> und [mm]y''(x)=2 e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))[/mm]
>  ?
>  


Ich muß mich korrigieren, Deine Berechnungen stimmen soweit.


Gruß
MathePower

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DGL 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Fr 03.07.2009
Autor: n0000b

Hallo,

also dann kann ich die Lösung ja jetzt zusammen setzen:

$ [mm] y_{p}\left(x\right)=\bruch{1}{2}x\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin\left(x\right)-x\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos\left(x\right) [/mm] $

$ [mm] y_{hom}=C_{1}\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos x+C_{2}\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin [/mm] x $

[mm] $y=y_{hom}+y_{p}= C_{1}\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos x+C_{2}\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin [/mm] x [mm] +\bruch{1}{2}x\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin\left(x\right)-x\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos\left(x\right)$ [/mm]

Jetzt werde ich noch [mm] $C_{1}$ [/mm] u. [mm] $C_{2}$ [/mm] bestimmen müssen mit $\ y(0) = 0 $, $ y'(0) = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] $, oder?

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DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:29 Fr 03.07.2009
Autor: MathePower

Hallo n0000b,

> Hallo,
>  
> also dann kann ich die Lösung ja jetzt zusammen setzen:
>  
> [mm]y_{p}\left(x\right)=\bruch{1}{2}x\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin\left(x\right)-x\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos\left(x\right)[/mm]
>  
> [mm]y_{hom}=C_{1}\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos x+C_{2}\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin x[/mm]
>  
> [mm]y=y_{hom}+y_{p}= C_{1}\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos x+C_{2}\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin x +\bruch{1}{2}x\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin\left(x\right)-x\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos\left(x\right)[/mm]
>  
> Jetzt werde ich noch [mm]C_{1}[/mm] u. [mm]C_{2}[/mm] bestimmen müssen mit [mm]\ y(0) = 0 [/mm],
> [mm]y'(0) = -\bruch{1}{2} [/mm], oder?


So ist es.


Gruß
MathePower


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DGL 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:02 Fr 03.07.2009
Autor: n0000b

Hallo,

[mm] $C_{1}\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos x+C_{2}\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin [/mm] x [mm] +\bruch{1}{2}x\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin\left(x\right)-x\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos\left(x\right)=0$ [/mm]
[mm] $-\bruch{1}{2} e^x [/mm] (sin(x) (2 [mm] C_{1}-2 C_{2}-2 [/mm] x-1)+cos(x) (-2 [mm] C_{1}-2 C_{2}+2 x+1))=-\bruch{1}{2}$ [/mm]

$ \ y(0) = 0 $, $ y'(0) = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] $

[mm] $C_{1}=0$ [/mm]
$-2 [mm] C_{1}-2 C_{2}+1=1$ [/mm]

[mm] $C_{1}=0$ [/mm]
[mm] $C_{2}=0$ [/mm]

$ [mm] y=\bruch{1}{2}x\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin\left(x\right)-x\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos\left(x\right) [/mm] $

Stimmt das?

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DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Fr 03.07.2009
Autor: MathePower

Hallo n0000b,

> Hallo,
>  
> [mm]C_{1}\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos x+C_{2}\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin x +\bruch{1}{2}x\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin\left(x\right)-x\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos\left(x\right)=0[/mm]
>  
> [mm]-\bruch{1}{2} e^x (sin(x) (2 C_{1}-2 C_{2}-2 x-1)+cos(x) (-2 C_{1}-2 C_{2}+2 x+1))=-\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> [mm]\ y(0) = 0 [/mm], [mm]y'(0) = -\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> [mm]C_{1}=0[/mm]
>  [mm]-2 C_{1}-2 C_{2}+1=1[/mm]
>  
> [mm]C_{1}=0[/mm]
>  [mm]C_{2}=0[/mm]
>  
> [mm]y=\bruch{1}{2}x\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin\left(x\right)-x\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos\left(x\right)[/mm]
>  
> Stimmt das?


Ja. [ok]


Gruß
MathePower

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DGL 2. Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:44 Fr 03.07.2009
Autor: n0000b

Vielen Dank für Eure Hilfe.

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