www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Cayley Hamilton
Cayley Hamilton < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Cayley Hamilton: Verständinsprobleme
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:45 Di 28.03.2017
Autor: mariella22

Aufgabe
Wir betrachten Matm(K) als K-Vektorraum.
a) Sei A ∈ Matm(K). Verwenden Sie den Satz von Cayley-Hamilton, um An ∈ Spann(Em,A,A2,...,Am−1) für alle ganzen Zahlen n ≥ 1 zu zeigen.
b) Sei nun A ∈ GLm(K). Zeigen Sie A−1 ∈ Spann(Em,A,A2,...,Am−1).

Hallo,
ich weiss, dass der Satz von Hamilton aussagt, dass A eine Nullstelle zu seinem charakteristischen Polynom ist. also p(A) = 0
Aber ich verstehe den Zusammenhang zum spann einfach nicht richtig. Ich wäre froh mir könnte da jemand helfen.
Spann ist ja in dem Fall:
[mm] a_1*E_M [/mm] + [mm] a_2*A [/mm] + ... + a_(m-1)*A
mit [mm] a_1,...,a_m \in [/mm] K ?
Danke

        
Bezug
Cayley Hamilton: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:17 Di 28.03.2017
Autor: angela.h.b.


> Wir betrachten Matm(K) als K-Vektorraum.
> a) Sei A ∈ Matm(K). Verwenden Sie den Satz von
> Cayley-Hamilton, um An ∈ Spann(Em,A,A2,...,Am−1) für
> alle ganzen Zahlen n ≥ 1 zu zeigen.
> b) Sei nun A ∈ GLm(K). Zeigen Sie A−1 ∈
> Spann(Em,A,A2,...,Am−1).
>  Hallo,
> ich weiss, dass der Satz von Hamilton aussagt, dass A eine
> Nullstelle zu seinem charakteristischen Polynom ist. also
> p(A) = 0
> Aber ich verstehe den Zusammenhang zum spann einfach nicht
> richtig. Ich wäre froh mir könnte da jemand helfen.

Hallo,

A ist eine [mm] m\times [/mm] m-Matrix.
Ihr charakteristisches Polynom  [mm] \chi [/mm] _{A} ist ein normiertes Polynom vom Grad m.
Also ist  [mm] \chi [/mm] _{A}(x [mm] )=x^{m}+a_{m-1}x^{{m-1}}+a_{m-2}x^{{m-2}}+...+a_1x+a_{0}. [/mm]

Nun nutze den Satz von Hamilton-Cayley, setze also für x die Matrix A ein...

LG Angela


> Spann ist ja in dem Fall:
> [mm]a_1*E_M[/mm] + [mm]a_2*A[/mm] + ... + a_(m-1)*A
>  mit [mm]a_1,...,a_m \in[/mm] K ?
>  Danke  


Bezug
                
Bezug
Cayley Hamilton: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:05 Di 28.03.2017
Autor: mariella22

Hallo,
vielen Dank,

eingesetzt ist das Polynom gleich dem Spann bis auf [mm] a_m*A^m [/mm]
also is der Spann bis auf das gleich 0?
Dann wäre also zu zeigen das
A [mm] \in spann(A^m) [/mm] ?

Bezug
                        
Bezug
Cayley Hamilton: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 Di 28.03.2017
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
> vielen Dank,
>
> eingesetzt ist das Polynom gleich dem Spann bis auf [mm]a_m*A^m[/mm]
> also is der Spann bis auf das gleich 0?

???

Ich weiß nicht, was Du meinst.

Daß A, [mm] A^2,...,A^{m-1} [/mm] im [mm] Spann(E_m,A,A^2,...,A^{m-1}) [/mm] ist, sollte nicht erstaunlich sein, denn z.B. ist

[mm] A^2=0*E_m+0*A+1*A^2+0*A^3+...+0*A^{m-1}. [/mm]




Das charakteristische Polynom von A hat den Grad m, ist also so gemacht:

[mm] \chi_{A}(x)=x^{m}+a_{m-1}x^{{m-1}}+a_{m-2}x^{{m-2}}+...+a_1x+a_{0}. [/mm]

Hamiton-Cayley sagt: [mm] Nullmatrix=A^{m}+a_{m-1}A^{{m-1}}+a_{m-2}A^{{m-2}}+...+a_1A+a_{0}E_m [/mm]

> Dann wäre also zu zeigen das
> A [mm]\in spann(A^m)[/mm] ?

Ist [mm] A^m [/mm] im [mm] spann(E_m,A,A^2,...,A^{m-1})? [/mm] Kannst Du [mm] A^m [/mm] also als Linearkombination dieser Matrizen schreiben?

Und [mm] A^{m+1}=A*A^m? [/mm]

LG Angela

Bezug
                                
Bezug
Cayley Hamilton: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:31 Mi 29.03.2017
Autor: mariella22

Danke für die Hilfe! Es hat jetzt geklappt :)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de