www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Binomialkoeffizient
Binomialkoeffizient < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Binomialkoeffizient: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:26 Mo 06.01.2014
Autor: gotoxy86

Aufgabe
Weisen Sie folgende Aussagen über Binomialkoeffizienten nach:

[mm] \vektor{n \\ k-1}+\vektor{n-1 \\ k}+\vektor{n-1 \\ k-1}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}+\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}+\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}=\ldots=\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}=\vektor{n+1 \\ k} [/mm]

[mm] \ldots=\frac{(n-1)!}{k!(n-k+1)!}\left(nk+(n-k+1)(n-k)+k(n-k+1)\right)=\frac{(n-1)!}{k!(n-k+1)!}\left(nk+n^2-2nk+k^2+n-k+nk-k^2+k\right)=\ldots [/mm]

Das von [mm] \ldots [/mm] umklammerte versteh ich nicht, wie kommt man darauf? Gibt es da nützliche Tipps für Rechenregeln bzgl. Fakultäten?

Ich versteh auch nicht wie man davon wieder auf die Fakultätenschreibweise kommt.

        
Bezug
Binomialkoeffizient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:58 Mo 06.01.2014
Autor: reverend

Hallo gotoxy86,

das ist in der Reihenfolge ein bisschen durcheinander geraten. So kann man tatsächlich keine zielführende Rechnung mehr erkennen.

Vorab: wie man von der Schreibweise in Binomialkoeffizienten zur Fakultätenschreibweise und zurück kommt, ist einfach in der Formel [mm] \vektor{a\\b}=\bruch{a!}{b!(a-b)!} [/mm] festgelegt. Die wird hier eben angewandt, egal wie nun a und b jeweils heißen bzw. festgelegt werden.

Ich versuche mal, die Rechnung zu ordnen:

> Weisen Sie folgende Aussagen über Binomialkoeffizienten
> nach:

Ach, Moment noch. Wie gesagt stehen hier ja auch Zwischenschritte mit drin. Eigentlich zu zeigen ist dies:

[mm] \vektor{n\\k-1}+\vektor{n-1\\k}+\vektor{n-1\\k-1}=\vektor{n+1\\k} [/mm]

Wie kommt man nun "von links nach rechts"?

> [mm]\vektor{n \\ k-1}+\vektor{n-1 \\ k}+\vektor{n-1 \\ k-1}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}+\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}+\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}=\ldots[/mm]

Hier ist erst einmal die Anwendung der o.g. Formel. Die Bin.koeff. werden in Fakultätsschreibweise notiert. Fertig.
Der nächste Schritt steht allerdings in der Zeile drunter:

> [mm]\ldots=\frac{(n-1)!}{k!(n-k+1)!}\left(\red{nk}+\green{(n-k+1)(n-k)}+\blue{k(n-k+1)}\right)=\ldots[/mm]

Hier werden die drei Brüche gleichnamig gemacht. Der Hauptnenner ist $k!(n-k+1)!$. Dazu müssen die Brüche geeignet erweitert werden (normale Bruchrechnung). Zugleich wird der gemeinsame Faktor $(n-1)!$ aus dem Zähler herausgezogen.

Der rote Term setzt sich aus dem nach dem Ausklammern übrigen n und dem k, mit dem erweitert wird zusammen - stammt also aus dem ersten Bruch. Der grüne stammt aus dem zweiten, der blaue aus dem dritten Bruch. Rechne die mal selbst nach.

Und weiter gehts:

> [mm]\ldots=\frac{(n-1)!}{k!(n-k+1)!}\left(nk+n^2-2nk+k^2+n-k+nk-k^2+k\right)=\ldots[/mm]

Hier also nur ausmultipliziert. Jetzt wird zusammengefasst (die rechte Klammer ergibt [mm] n^2+n=n(n+1), [/mm] das wird mit (n-1)! zusammengefasst) - und da gehts in der ersten Zeile weiter:

> [mm]\ldots=\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}=\vektor{n+1 \\ k}[/mm]

Und hier passiert sonst nichts mehr als wieder der Schritt zurück in die Bin.koeff.schreibweise nach Definition.

>  Das von [mm]\ldots[/mm] umklammerte versteh ich nicht, wie kommt
> man darauf? Gibt es da nützliche Tipps für Rechenregeln
> bzgl. Fakultäten?

Eigentlich nur einen, den man dann u.U. mehrfach (rekursiv) anwenden muss: n!=n*(n-1)!. Das ist alles, was man wissen muss.

> Ich versteh auch nicht wie man davon wieder auf die
> Fakultätenschreibweise kommt.

Siehe oben.
Und ansonsten ist es einfach die blöde Notationsreihenfolge.

Man erkennt, dass der Musterlösungsschreiber Anfang und Ziel in einer Zeile haben wollte. Dazu musste er Auslassungen vornehmen, die er mit [mm] \ldots [/mm] gekennzeichnet hat. Weil aber der Sprung doch ein bisschen groß war, hat er in der zweiten Zeile angegeben, was er an dieser Stelle ausgelassen hat.

Das ist eine klassische Methode, um den Leser zu verwirren. :-)

Grüße
reverend

Bezug
                
Bezug
Binomialkoeffizient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:31 Mo 06.01.2014
Autor: gotoxy86


> Hallo gotoxy86,
>  
> das ist in der Reihenfolge ein bisschen durcheinander
> geraten. So kann man tatsächlich keine zielführende
> Rechnung mehr erkennen.
>  
> Vorab: wie man von der Schreibweise in
> Binomialkoeffizienten zur Fakultätenschreibweise und
> zurück kommt, ist einfach in der Formel
> [mm]\vektor{a\\b}=\bruch{a!}{b!(a-b)!}[/mm] festgelegt. Die wird
> hier eben angewandt, egal wie nun a und b jeweils heißen
> bzw. festgelegt werden.
>  
> Ich versuche mal, die Rechnung zu ordnen:
>  
> > Weisen Sie folgende Aussagen über Binomialkoeffizienten
> > nach:
>  
> Ach, Moment noch. Wie gesagt stehen hier ja auch
> Zwischenschritte mit drin. Eigentlich zu zeigen ist dies:
>  
> [mm]\vektor{n\\k-1}+\vektor{n-1\\k}+\vektor{n-1\\k-1}=\vektor{n+1\\k}[/mm]
>  
> Wie kommt man nun "von links nach rechts"?
>  
> > [mm]\vektor{n \\ k-1}+\vektor{n-1 \\ k}+\vektor{n-1 \\ k-1}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}+\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}+\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}=\ldots[/mm]
>  
> Hier ist erst einmal die Anwendung der o.g. Formel. Die
> Bin.koeff. werden in Fakultätsschreibweise notiert.
> Fertig.
>  Der nächste Schritt steht allerdings in der Zeile
> drunter:
>  
> >
> [mm]\ldots=\frac{(n-1)!}{k!(n-k+1)!}\left(\red{nk}+\green{(n-k+1)(n-k)}+\blue{k(n-k+1)}\right)=\ldots[/mm]
>  
> Hier werden die drei Brüche gleichnamig gemacht. Der
> Hauptnenner ist [mm]k!(n-k+1)![/mm]. Dazu müssen die Brüche
> geeignet erweitert werden (normale Bruchrechnung). Zugleich
> wird der gemeinsame Faktor [mm](n-1)![/mm] aus dem Zähler
> herausgezogen.
>  
> Der rote Term setzt sich aus dem nach dem Ausklammern
> übrigen n und dem k, mit dem erweitert wird zusammen -
> stammt also aus dem ersten Bruch. Der grüne stammt aus dem
> zweiten, der blaue aus dem dritten Bruch. Rechne die mal
> selbst nach.
>  

Warum ist das der Hauptnenner? Ich habe als Hauptnenner:

(k-1)!(n-k+1)!k!(n-1-k)!(k-1)!(n-k)!

Wie komme ich jetzt auf die schlanke Form?

Bezug
                        
Bezug
Binomialkoeffizient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:58 Mo 06.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> [mm]\ldots=\frac{(n-1)!}{k!(n-k+1)!}\left(\red{nk}+\green{(n-k+1)(n-k)}+\blue{k(n-k+1)}\right)=\ldots[/mm]
>  >  
> > Hier werden die drei Brüche gleichnamig gemacht. Der
> > Hauptnenner ist [mm]k!(n-k+1)![/mm].
> Warum ist das der Hauptnenner? Ich habe als Hauptnenner:
>  
> (k-1)!(n-k+1)!k!(n-1-k)!(k-1)!(n-k)!
>  
> Wie komme ich jetzt auf die schlanke Form?

Es gilt:

      [mm] \frac{a}{b}(c+d)=\frac{ac+ad}{b}=\frac{ac}{b}+\frac{ad}{b} [/mm]


DieAcht

Bezug
                        
Bezug
Binomialkoeffizient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 Mo 06.01.2014
Autor: Steffi21

Hallo, der Hauptnenner lautet k!(n-k+1)!, betrachte ich mal die drei Nenner einzeln:

1. Nenner lautet:
(k-1)!(n-k+1)!
multipliziert mit k ergibt
k!(n-k+1)!

2. Nenner lautet:
k!(n-k-1)!
multipliziert mit (n-k)(n-k+1) ergibt
k!(n-k+1)!

3. Nenner lautet:
(k-1)!(n-k)!
multipliziert mit k(n-k+1) ergibt
k!(n-k+1)!

somit sind die Brüche zu erweitern:

1. Bruch mit: k

2. Bruch mit: (n-k)(n-k+1)

3. Bruch mit: k(n-k+1)

Steffi

Bezug
                                
Bezug
Binomialkoeffizient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:18 Di 07.01.2014
Autor: gotoxy86

Danke, ich glaube mit deinen ausführungen ein Stück weiter zu kommen.

> Hallo, der Hauptnenner lautet k!(n-k+1)!, betrachte ich mal
> die drei Nenner einzeln:
>  
> 1. Nenner lautet:
>  (k-1)!(n-k+1)!
>  multipliziert mit k ergibt
>  k!(n-k+1)!

Könntest du mir das erläutern, verhält sich die Fakultät also wie ein Exponent?

[mm](k-1)!k=k![/mm]
[mm] x^{k-1}x=x^k [/mm]

> 2. Nenner lautet:
>  k!(n-k-1)!
>  multipliziert mit (n-k)(n-k+1) ergibt
>  k!(n-k+1)!

Das kreige ich gar nicht auf die Reihe. Geht das ausführlicher? Bitte?

> 3. Nenner lautet:
>  (k-1)!(n-k)!
>  multipliziert mit k(n-k+1) ergibt
>  k!(n-k+1)!

Das stellt mich ebenfalls vor Problemen.

>  
> somit sind die Brüche zu erweitern:
>  
> 1. Bruch mit: k
>  
> 2. Bruch mit: (n-k)(n-k+1)
>  
> 3. Bruch mit: k(n-k+1)
>  
> Steffi

Gibt es vllt. Regeln für Fakultäten? Was darf man bzw. was darf man nicht machen?


Bezug
                                        
Bezug
Binomialkoeffizient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:35 Di 07.01.2014
Autor: Steffi21

Hallo, ich glaube, dir sind Fakultäten noch nicht klar, so ist z.B.

1*2*3*4*5=5!

4!*5=5!

1*2+3*4*......*(n-2)*(n-1)*n=n!

1*2+3*4*......*(n-2)*(n-1)=(n-1)!

(n-1)!*n=n!

nun zum 2. Nenner:

du hast (n-k-1), der Nachfolger ist (n-k), der Nachfolger berechnet sich ja durch +1, (n-k-1+1), macht (n-k), der Nachfolger von (n-k) ist (n-k+1) berechnet sich wieder durch +1
also ist (n-k-1)!*(n-k)*(n-k+1)=(n-k+1)!

nun zum 3. Nenner:

du hast (k-1)!*k=k! der Faktor k ist der Nachfolger von (k-1)

du hast weiterhin (n-k)!*(n-k+1)=(n-k+1)! der Faktor (n-k+1) ist der Nachfolger von (n-k)

Steffi



Bezug
                                
Bezug
Binomialkoeffizient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:39 Di 07.01.2014
Autor: gotoxy86

Aufgabe
Mal gucken, ob ichs verstanden habe.

[mm](k-1)!k=k![/mm]

[mm]k!k=(k+1)![/mm]

[mm](k+1)!k=(k+2)![/mm]

[mm]\bruch{k!}{k}=(k-1)![/mm]

Jetzt etwas schwieriger:
[mm](n+k-1)!nk=((n+1)+(k+1)-1)!=(n+k+1)![/mm]
[mm](n+k-1)!k=(n+(k+1)-1)!=(n+k)![/mm]
[mm](n+k-1)!n=(n+1)+k-1)!=(n+k)![/mm]
[mm](n+k-1)!n^2=(n+2)+k-1)!=(n+k+1)![/mm]
[mm](n+k-1)!2n=(n+k-1)!(n+n)=?[/mm]


Richtig?

Bezug
                                        
Bezug
Binomialkoeffizient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:57 Di 07.01.2014
Autor: reverend

Hallo nochmal,

nein, das hast Du noch nicht richtig verstanden.
Insbesondere der Vergleich mit dem Exponenten ist absolut irreführend.

Die Definition der Fakultät ist doch einfach, dass alle Zahlen von 1 bis n miteinander multipliziert werden. Das heißt dann n!

> Mal gucken, ob ichs verstanden habe.
>  [mm](k-1)!k=k![/mm] [ok]

>

> [mm]k!k=(k+1)![/mm] [notok]

Richtig: k!(k+1)=(k+1)!

> [mm](k+1)!k=(k+2)![/mm] [notok]

Richtig: (k+1)!(k+2)=(k+2)!

> [mm]\bruch{k!}{k}=(k-1)![/mm] [ok]
>  
> Jetzt etwas schwieriger:
>  [mm](n+k-1)!nk=((n+1)+(k+1)-1)!=(n+k+1)![/mm] [notok]
>  [mm](n+k-1)!k=(n+(k+1)-1)!=(n+k)![/mm] [notok]
>  [mm](n+k-1)!n=(n+1)+k-1)!=(n+k)![/mm] [notok]
>  [mm](n+k-1)!n^2=(n+2)+k-1)!=(n+k+1)![/mm] [notok]
>  [mm](n+k-1)!2n=(n+k-1)!(n+n)=?[/mm]

Die letzte Gleichung ist nicht weiter zu vereinfachen. So, wie der Term am Anfang steht, ist es am besten.

> Richtig?

Fast durchweg: nein.
Die zwei richtigen Antworten könnten sogar Zufallstreffer sein.

Grüße
reverend


Bezug
                                                
Bezug
Binomialkoeffizient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:57 Di 07.01.2014
Autor: gotoxy86

[mm](k-2)!(k-1)=(k-1)![/mm]

[mm](k-1)!k=k![/mm]

[mm]k!(k+1)=(k+1)![/mm]

[mm](k+1)!(k+2)=(k+2)![/mm]


[mm](k-3)!(k-2)(k-1)=(k-1)![/mm]

[mm](k-2)!(k-1)k=(k-1)![/mm]

[mm](k-1)!k(k+1)=(k+1)![/mm]

[mm]k!(k+1)(k+2)=(k+2)![/mm]

[mm](k+1)!(k+2)(k+3)=(k+3)![/mm]

Ist das jetzt richtig?

aber was ist mit:

[mm] (n+k-1)!(n+k)^2 [/mm]

[mm] (n+k-1)!(n-k)^2 [/mm]

(n+k-1)!(n+k)(n-k)

Kann man da was machen, und wie geht das?

Bezug
                                                        
Bezug
Binomialkoeffizient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:44 Di 07.01.2014
Autor: angela.h.b.


Hallo!

> [mm](k-2)!(k-1)=(k-1)![/mm]

ja.

>  
> [mm](k-1)!k=k![/mm]

ja

>  
> [mm]k!(k+1)=(k+1)![/mm]

ja

>  
> [mm](k+1)!(k+2)=(k+2)![/mm]

ja

>  
>
> [mm](k-3)!(k-2)(k-1)=(k-1)![/mm]

ja

>  
> [mm](k-2)!(k-1)k=(k-1)![/mm]

nein

>  
> [mm](k-1)!k(k+1)=(k+1)![/mm]

ja

>  
> [mm]k!(k+1)(k+2)=(k+2)![/mm]

ja

>  
> [mm](k+1)!(k+2)(k+3)=(k+3)![/mm]

ja


> aber was ist mit:
>  
> [mm](n+k-1)!(n+k)^2[/mm]

[mm] =\red{1*2*...*(n+k-2)*(n+k-1)*(n+k)}*(n+k)=...*(n+k) [/mm]


>  
> [mm](n+k-1)!(n-k)^2[/mm]

Wie ich das umformen würde, käme auf mein Ziel an.
Zunächst mal würde ich es gar nicht umformen.

> (n+k-1)!(n+k)(n-k)

=(n+k)!*(n-k)

LG Angela

>  
> Kann man da was machen, und wie geht das?


Bezug
                                                                
Bezug
Binomialkoeffizient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Di 07.01.2014
Autor: gotoxy86

Ich habs endlich kapiert, danke euch allen.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de