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Forum "Algebra" - Bijektivität und S_n
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Bijektivität und S_n: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:46 So 21.05.2006
Autor: julia.k

Aufgabe
Sei n >= 2 eine natürliche Zahl und sei [mm] S_n [/mm] die Gruppe der Permutationen von {1,2,...,n}. Es bezeichne [mm] \alpha [/mm] den n-Zyklus (1,2,...,n) und H die von [mm] \alpha [/mm] erzeugt Untergruppe in [mm] S_n, [/mm] ferner sei
G = { [mm] \delta \in S_n; \delta(n) [/mm] = n }
Zeigen Sie:
a)Die Multiplikationsabbildung
HxG [mm] \to S_n, (\alpha^l, \delta) \to \alpha^l\delta [/mm]
ist bijektiv.
b)Für n>=4 ist H kein Normalteiler von [mm] S_n. [/mm]
c) Zu jedem [mm] \delta \in [/mm] G und jedem l mit 1 [mm] \lel \len [/mm] existiert ein [mm] \beta \in [/mm] G mit [mm] \delta\alpha^l [/mm] = [mm] \alpha^{\delta(l)}\beta. [/mm]


Meine Frage bezieht sich auf Teilaufgabe a).
Bijektiv heißt injektiv und surjektiv. Surjektiv konnte ich zeigen. Für die Injektivität erinnerte ich mich an folgendes:

Eine Abbildung ist injektiv  [mm] \gdw [/mm] ihr Kern trivial ist. Das lässt sich auch sehr schön zeigen, der Kern ist trivial.
Leider gilt diese [mm] \gdw-Beziehung [/mm] nur für Homomorphismen! Und meine Abbildung kein Homomorphismus.

Wie könnte ich bitte sonst noch die Injektivität zeigen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Bijektivität und S_n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:06 Mo 22.05.2006
Autor: mathiash

Hallo und guten Tag,

zur Injektivität:

Sei  [mm] \alpha_1\circ \delta_1 =\alpha_2\circ\delta_2, [/mm] dann bestimmt sich aus dem Bild von n schon das Element [mm] \alpha_1=\alpha_2 [/mm] eindeutig, richtig ?
Dann folgt aber auch direkt [mm] \delta_1=\delta_2. [/mm]

Gruss,

Mathias  

Bezug
                
Bezug
Bijektivität und S_n: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 Mo 22.05.2006
Autor: julia.k

Hallo!

Erstmal danke für deine Hilfe! Aber ich verstehe sie nicht ganz:
Injektiv heißt:
aus [mm] \alpha_1^l\delta_1=\alpha_2^m\delta [/mm] folgt [mm] (\alpha_1,\delta_1)=(\alpha_2,\delta_2) [/mm]

du meinst:
Sei   [mm] \alpha_1\circ\delta_1=\alpha_2\circ\delta_2 [/mm] , dann bestimmt sich aus dem Bild von n schon das Element  eindeutig

Meinst du mit n so ein Zweitupel [mm] (\alpha_1, \delta_1) [/mm] ?
Und wieso soll dann daraus folgen [mm] \alpha_1=\alpha_2 [/mm] ? Kann deiner Idee leider überhaupt nicht folgen.

Du verwendest für deine Antwort ausserdem nur [mm] \alpha^1 [/mm] und nicht wie [mm] \alpha^l. [/mm] Das ist mir auch nicht ganz klar.

Würde mich sehr freuen, wenn du mir noch mal weiterhelfen könntest!

LG




Bezug
                        
Bezug
Bijektivität und S_n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:35 Mo 22.05.2006
Autor: Gnometech

Grüße!

Ok, ich versuche mal, die (richtige) Lösung meines Vor-Posters zu erläutern. ;-)

Zunächst mal hat er [mm] $\alpha_1$ [/mm] und [mm] $\alpha_2$ [/mm] geschrieben und meint damit beliebige Elemente von $H$ - genausogut hätte er [mm] $\alpha^l$ [/mm] und [mm] $\alpha^m$ [/mm] schreiben können.

Gemeint ist also folgendes: sind zwei Tupel [mm] $(\alpha^l, \delta_1)$ [/mm] und [mm] $(\alpha^m, \delta_2)$ [/mm] gegeben, so dass [mm] $\alpha^l \circ \delta_1 [/mm] = [mm] \alpha^m \circ \delta_2$, [/mm] dann soll gezeigt werden, dass die Tupel gleich sind.

Aber beides sind ja Permutationen auf der Menge mit $n$ Elementen und man betrachtet einfach, was mit dem Element $n$ geschieht. Aufgrund der Annahme weiß man, dass [mm] $\delta_1(n) [/mm] = n$ und [mm] $\delta_2(n) [/mm] = n$, da [mm] $\delta_1, \delta_2 \in [/mm] G$, also folgt:

[mm] $\alpha^l(n) [/mm] = [mm] \alpha^l \circ \delta_1(n) [/mm] = [mm] \alpha^m \circ \delta_2(n) [/mm] = [mm] \alpha^m(n)$ [/mm]

Jetzt ist [mm] $\alpha$ [/mm] aber genau die Permutation, die diese Menge von $n$ Elementen zyklisch verschiebt. Wenn beide Potenzen von [mm] $\alpha$ [/mm] das letzte Element $n$ also auf das gleiche abbilden, folgt $l [mm] \equiv [/mm] m (n)$, bzw. einfach [mm] $\alpha^l [/mm] = [mm] \alpha^m$, [/mm] da [mm] $\alpha$ [/mm] ja Ordnung $n$ hat.

Da Du nun weißt, dass [mm] $\alpha^l [/mm] = [mm] \alpha^m$ [/mm] gilt, musst Du die Gleichung nur noch von links mit dem Inversen dieser Permutation verknüpfen und erhältst [mm] $\delta_1 [/mm] = [mm] \delta_2$. [/mm] Ganz einfach, oder? :)

Lars

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Bezug
Bijektivität und S_n: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:37 Di 23.05.2006
Autor: julia.k

Hallo und guten Morgen!!!

Ich hab's verstanden! Danke für die 1a-spitzenklasse-Erklärung!

Schönen Tag noch,
Steffi

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