Beweisverfahren schnell lernen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Moin,
ich studiere gerade Informatik und wir hatten jetzt in der Vorlesung das Thema Beweisverfahren. (Direkt/Indirekt/Vollständige Induktion/etc).
Wir haben das Thema nur in 2 Vorlesungen (a 90min) behandelt und zu jedem Verfahren nur 1-2 Beispiele gemacht und das Thema macht auch nur 10% von der Klausur aus.
Leider bin ich mathematisch nicht so sonderlich begabt und komme deswegen bei dem Thema gar nicht mit. Ich habe zwar verstanden, was der Prof gemacht hat, aber ich könnte das niemals für eine andere Aufgabe. Der Prof hat scheinbar wahllos den Term umgeformt/erweitert/vereinfacht/etc und zum Schluss kams dann irgendwann raus. Alleine würde ich nie auf die Idee kommen solche Umformungen zu machen, da sie auf den ersten Blick gar keinen Sinn ergeben und nur in der Gesamtheit funktionieren,
Daher meine Frage: Habt ihr einen Tipp (Lernseite, Buch, grundsätzliche Tipps/Verfahren), wie man das schnell lernen kann? Da es "nur" 10% der Note ausmacht und ich noch viel mehr Stoff zu lernen habe, möchte ich das nicht übertreiben. Wenn man das nur mit Stundenlagem üben hinkriegt, verzichte ich lieber auf die 10%.
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Das Problem ist, dass überall der Lösungsansatz scheinbar vom Himmel fällt. Und dieser Ansatz ist leider bei jeder zu beweisenden Formel anders. Häufig wird gesagt, dass müsse man einfach "sehen" was da zu tun ist.
Auch die Beispiele im Internet erklären das immer nur für diesen speziellen aktuellen Fall. Was ich daraus bislang nur mitnehmen konnte ist: Problem -> Umformung(Je nach Formel total anders und meistens nicht intuitiv) -> Lösung(Direkter Beweis)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Mi 03.12.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Schreibe eine Aufgabe hier auf und stelle präzise Fragen dazu.
Der Schein trübt: Es fällt nichts vom Himmel. In der Regel ist
ein Beweis nämlich anders entstanden als er aufgeschrieben ist.
Das Tutorium Buch würde ich dir übrigens auch empfehlen.
Gruß
DieAcht
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Sn= [mm] \summe_{i=1}^{n}q^i [/mm] = [mm] q^0 +q^1+q^2+...+q^n
[/mm]
[mm] =q\*Sn=q\* \summe_{i=1}^{n}q^i [/mm]
[mm] =q^1+q^2+...+q^n+q^{n+1}
[/mm]
[mm] q\*Sn-Sn=-q^0+q^{n+1} [/mm]
[mm] =>q\*Sn-SN=q^{n+1}-1
[/mm]
Sn(q-1) = [mm] q^{n+1} [/mm] -1
[mm] Sn=\bruch{q^{n+1}-1}{q-1}
[/mm]
So ungefähr sieht der Beweis aus. Diesen verstehe ich noch nicht mal. Die einfachen habe ich verstanden, könnte sie leider aber auch nicht selber reproduzieren.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 Do 04.12.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Richard,
> Sn= [mm]\summe_{i=1}^{n}q^i[/mm] = [mm]q^0 +q^1+q^2+...+q^n[/mm]
Hier (und im Folgenden) muss es [mm]\sum_{\red{i=0}}^n q^i[/mm] heißen.
>[mm]\red{=}q\*Sn=q\* \summe_{i=1}^{n}q^i[/mm]
Dieses "=" ist falsch.
> [mm]=q^1+q^2+...+q^n+q^{n+1}[/mm]
> [mm]q\*Sn-Sn=-q^0+q^{n+1}[/mm]
> [mm]=>q\*Sn-SN=q^{n+1}-1[/mm]
> Sn(q-1) = [mm]q^{n+1}[/mm] -1
> [mm]Sn=\bruch{q^{n+1}-1}{q-1}[/mm]
>
> So ungefähr sieht der Beweis aus. Diesen verstehe ich noch
> nicht mal. Die einfachen habe ich verstanden, könnte sie
> leider aber auch nicht selber reproduzieren.
Wie DieAcht schon angedeutet hat, sind das Finden eines Beweises und das Aufschreiben dessen oft zwei verschiedene Dinge.
Man probiert erstmal rum und rechnet und rechnet, bis am Ende das gewünschte Ergebnis dasteht und oft sieht man erst dann, dass man den Beweis auch viel leichter bzw. anders führen/aufschreiben kann.
Zu deinem Beispiel:
[mm]S_n[/mm] ist eine Summe von Potenzen von [mm]q[/mm]. Multipliziert man [mm]S_n[/mm] mit [mm]q[/mm] bleibt es eine Summe von Potenzen von [mm]q[/mm] (alle Exponenten sind um eins größer).
Ausgeschrieben:
[mm]S_n=q^0+\blue{q^1+q^2+\ldots +q^{n-1}+q^n}[/mm]
[mm]q*S_n=\blue{q^1+q^2+q^3+\ldots +q^n}+q^{n+1}[/mm]
Einmal da angekommen, sollte dir schon auffallen, dass die blau markierten Summanden bei beiden Summen auftauchen. Wenn man die Gleichungen voneinander subtrahiert, fallen genau diese blauen Terme weg. Übrig bleibt:
[mm]S_n-q*S_n=q^0-q^{n+1}[/mm]
bzw. andersrum, damit es mit dem Term aus deiner Aufgabe übereinstimmt:
[mm]q*S_n-S_n=q^{n+1}-q^0[/mm]
Wenn du jetzt nach [mm]S_n[/mm] auflöst, bekommst du die gesuchte Formel.
Die Frage "Wie kommt man darauf?" kann ich dir nicht beantworten. Es gibt halt ein paar Tricks, die man einmal gesehen haben muss, um bei anderen Aufgaben zu "sehen", dass man sie auch da anwenden kann.
Diese "Tricks" können auch Sätze sein, die (noch) nicht ganz zur Aufgabe passen, aber mit kleinen Umformungen dann doch funktionieren.
Beispiel: Berechne [mm]\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}[/mm].
Erstmal rumprobieren. Summe der Binomialkoeffizienten ausschreiben:
[mm]\underbrace{\binom{n}{0}}_{=1}+\underbrace{\binom{n}{1}}_{=n}+\binom{n}{2}+\ldots +\underbrace{\binom{n}{n-1}}_{=n}+\underbrace{\binom{n}{n}}_{=1}[/mm]
Das sieht schon mal symmetrisch aus. Die äußeren Summanden kann man auch gut vereinfachen, aber so wirklich weiter bringt uns das nicht.
Vielleicht, wenn man die Binomialkoeffizienten mit Fakultäten ausdrückt, also [mm]\binom nk=\frac{n!}{k!*(n-k)!}[/mm], und dann versucht zu vereinfachen...? (Funktioniert vielleicht, will ich aber jetzt nicht ausführen.)
Ok, dann schauen wir mal, ob wir einen Satz haben, der weiterhelfen kann. Im Skript finden wir den Binomischen Lehrsatz: [mm](a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk a^k *b^{n-k}[/mm].
Die rechte Seite gefällt uns schon mal, nur [mm]a^k *b^{n-k}[/mm] "stört". Wenn aber [mm]a=b=1[/mm] ist, passt die Formel perfekt zu unserer Aufgabe!
Dann gilt also [mm](1+1)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk \underbrace{1^k *1^{n-k}}_{=1}=\sum_{k=0}^n \binom nk[/mm], bzw. [mm]\sum_{k=0}^n \binom nk=2^n[/mm].
Das war jetzt nur ein Beispiel. Die Beispiele, die ihr in der Vorlesung behandelt habt, sollen einige solche Konzepte vorstellen (ich war nicht in der Vorlesung, also kenne ich sie nicht genau), mit dem Ziel, dass du sie bei ähnlichen Aufgaben anwenden kannst. Arbeite die also nochmal gut nach! Wenn das nichts hilft, kannst du dir die Beispiele ja hier nochmal erklären lassen.
Lieben Gruß,
Fulla
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