Beweis Gleichheit von Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Di 12.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Seien f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] und g: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] zwei stetige Funktionen auf [mm] \IR. [/mm] Beweisen Sie: Gilt f(x) = g(x) für alle x [mm] \in \IQ, [/mm] dann ist f = g. |
Guten Tag,
ich bräuchte bei dieser Aufgabe eure Hilfe. Mir fehlt die richtige Idee... Hab bis jetzt folgendes:
[mm] "\Leftarrow": [/mm] Sei f = g [mm] \Rightarrow \forall [/mm] x [mm] \in \IQ: [/mm] f(x) = g(x).
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Wähle [mm] x_{0} \in \IR \setminus \IQ \Rightarrow \forall [/mm] p,q [mm] \in \IZ, [/mm] q [mm] \not= [/mm] 0: [mm] x_{0} \not= \bruch{p}{q} [/mm]
Ab da komme ich leider nicht weiter... Es ist klar das ich irgendwie die Stetigkeit noch benutzen muss, allerdings weiß ich nicht wo und wie. Würde mich freuen, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Di 12.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Nimm ein [mm] x_0 \in \IR. [/mm] Da [mm] \IQ [/mm] dicht liegt in [mm] \IR, [/mm] gibt es eine Folge [mm] (r_n) [/mm] in [mm] \IQ [/mm] mit [mm] r_n \to x_0.
[/mm]
1. In welcher Beziehung stehen [mm] f(r_n) [/mm] und [mm] g(r_n) [/mm] ?
2. Sind die Folgen [mm] (f(r_n)) [/mm] und [mm] (g(r_n)) [/mm] konvergent. ? Wenn ja, warum, wogegen streben sie jeweils ?
3. In welcher Beziehung stehen dann [mm] f(x_0) [/mm] und [mm] g(x_0) [/mm] ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Di 12.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Nimm ein [mm]x_0 \in \IR.[/mm] Da [mm]\IQ[/mm] dicht liegt in [mm]\IR,[/mm] gibt es
> eine Folge [mm](r_n)[/mm] in [mm]\IQ[/mm] mit [mm]r_n \to x_0.[/mm]
>
> 1. In welcher Beziehung stehen [mm]f(r_n)[/mm] und [mm]g(r_n)[/mm] ?
Beide [mm] f(r_n) [/mm] und [mm] g(r_n) [/mm] nehmen die Gleichen Werte an und sind somit identisch?
> 2. Sind die Folgen [mm](f(r_n))[/mm] und [mm](g(r_n))[/mm] konvergent. ? Wenn
> ja, warum, wogegen streben sie jeweils ?
Ja, sie streben jeweils gegen [mm] f(x_{0}) [/mm] bzw. [mm] g(x_{0}) [/mm] aufgrund der Stetigkeit.
> 3. In welcher Beziehung stehen dann [mm]f(x_0)[/mm] und [mm]g(x_0)[/mm] ?
Hm na ja da ich das zeigen soll, gehe ich davon aus das sie identisch sind. Ich verstehe aber nicht weshalb. Da sich die beiden Folgen beliebig nahe an diese Grenzwerte annähren und immer den gleichen Wert annehmen für jedes n [mm] \in \IN [/mm] ?
> FRED
Vielen Dank für deine Hilfe.
LG Loriot95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Di 12.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Nimm ein [mm]x_0 \in \IR.[/mm] Da [mm]\IQ[/mm] dicht liegt in [mm]\IR,[/mm] gibt es
> > eine Folge [mm](r_n)[/mm] in [mm]\IQ[/mm] mit [mm]r_n \to x_0.[/mm]
> >
> > 1. In welcher Beziehung stehen [mm]f(r_n)[/mm] und [mm]g(r_n)[/mm] ?
> Beide [mm]f(r_n)[/mm] und [mm]g(r_n)[/mm] nehmen die Gleichen Werte an und
> sind somit identisch?
Ja, nach Vor. gilt: [mm] f(r_n)=g(r_n) [/mm] für jedes n
> > 2. Sind die Folgen [mm](f(r_n))[/mm] und [mm](g(r_n))[/mm] konvergent. ? Wenn
> > ja, warum, wogegen streben sie jeweils ?
> Ja, sie streben jeweils gegen [mm]f(x_{0})[/mm] bzw. [mm]g(x_{0})[/mm]
> aufgrund der Stetigkeit.
Richtig.
> > 3. In welcher Beziehung stehen dann [mm]f(x_0)[/mm] und [mm]g(x_0)[/mm] ?
> Hm na ja da ich das zeigen soll, gehe ich davon aus das
> sie identisch sind. Ich verstehe aber nicht weshalb. Da
> sich die beiden Folgen beliebig nahe an diese Grenzwerte
> annähren und immer den gleichen Wert annehmen für jedes n
> [mm]\in \IN[/mm] ?
Mann , mann, Du mußt doch obige Erkenntnisse nur zusammenbauen !!!
[mm] $f(x_0)= \limes_{n\rightarrow\infty}f(r_n)= \limes_{n\rightarrow\infty}g(r_n)=g(x_0)$
[/mm]
FRED
> > FRED
> Vielen Dank für deine Hilfe.
>
> LG Loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:30 Di 12.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ok. Vielen Dank für deine Hilfe.
LG loriot95
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