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Betragsstriche im t: Aufgabe in Klausur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:43 So 14.09.2008
Autor: KGB-Spion

Aufgabe
Berechnen Sie die Fourier Transformierte von f(t)= e^-aItI

Liebe User,

ich bin während meiner Klausurvorbereitung auf folgendes Problem gestossen.

Nun verstehe ich wirklich nicht, warum man in der gegebenen Musterlösung die Betragsstriche einfach so weggelassen hat. Ich meine, dass ist doch ein Betrag - den kann man doch nicht einfach so vernachlässigen oder ?


Bitte um Hilfe :-)

Beste Gruesse,

Euer KGB-Spion

        
Bezug
Betragsstriche im t: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:55 So 14.09.2008
Autor: MathePower

Hallo KGB-Spion,

> Berechnen Sie die Fourier Transformierte von f(t)= e^-aItI
>  Liebe User,
>
> ich bin während meiner Klausurvorbereitung auf folgendes
> Problem gestossen.
>
> Nun verstehe ich wirklich nicht, warum man in der gegebenen
> Musterlösung die Betragsstriche einfach so weggelassen hat.
> Ich meine, dass ist doch ein Betrag - den kann man doch
> nicht einfach so vernachlässigen oder ?

Wenn t sowohl positive als auch negative Werte annimmt, dann kann man den
Betragsstrich nicht so einfach weglassen.

Anders ist die Sache, wenn [mm]t \ge 0[/mm]. Dann gilt [mm]\vmat{t}=t[/mm].

Poste doch bitte mal die genaue Aufgabenstellung.


>
>
> Bitte um Hilfe :-)
>
> Beste Gruesse,
>  
> Euer KGB-Spion


Gruß
MathePower

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Betragsstriche im t: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:37 So 14.09.2008
Autor: KGB-Spion

Ich weiss es klingt seltsam ABER : Das WAR unsere erste Klausur (mein erster Versuch, welchen ich nicht geschafft hab, weil ich 3 Tage zuvor 2 Prüfungen machen musste - die ich geschafft hab) aber . .. es ist DIE EXAKTE AUFGABENSTELLUNG.

Mehr stand nicht auf dem Klausurzettel ! Als musterlösung stand :

F{f}(x) = [mm] \integral_{-\infty}^{0}{exp(a-ix)t dt } [/mm] + [mm] \integral_{0}^{\infty}{exp(-a-ix)t dt } [/mm]


BITTE Hilf mir, zu verstehen, wie man auf woetwas kommt ;-)

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Betragsstriche im t: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:49 Mo 15.09.2008
Autor: Marcel

Hallo,

> Ich weiss es klingt seltsam ABER : Das WAR unsere erste
> Klausur (mein erster Versuch, welchen ich nicht geschafft
> hab, weil ich 3 Tage zuvor 2 Prüfungen machen musste - die
> ich geschafft hab) aber . .. es ist DIE EXAKTE
> AUFGABENSTELLUNG.
>
> Mehr stand nicht auf dem Klausurzettel ! Als musterlösung
> stand :
>
> F{f}(x) = [mm]\integral_{-\infty}^{0}{exp(a-ix)t dt }[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{exp(-a-ix)t dt }[/mm]
>  
> BITTE Hilf mir, zu verstehen, wie man auf woetwas kommt ;-)

ganz einfach:
Schreibe [mm] $\int_{-\infty}^{\infty}=\int_{-\infty}^{0}+\int_{0}^{\infty}$, [/mm] genauer:
[mm] $$F\{f\}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\,f(t)\exp(-ixt)\;dt=\int_{-\infty}^{0}\,f(t)\exp(-ixt)\;dt+\int_{0}^{\infty}\,f(t)\exp(-ixt)\;dt$$ [/mm]  

Nun setze mal [mm] $f(t)=\exp(-a|t|)=\begin{cases}\exp(-a*(-t))=\exp(at), & \text{für } t \le 0,\\ \exp(-at), & \text{für } t \ge 0, \end{cases}$ [/mm] dort ein
(es ist ja [mm] $|t|=\begin{cases}-t, & \text{für } t \le 0,\\ t, & \text{für } t \ge 0, \end{cases}$), [/mm] und es ergibt sich:

[mm] $$F\{f\}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\,f(t)\exp(-ixt)\;dt=\int_{-\infty}^{0}\,f(t)\exp(-ixt)\;dt+\int_{0}^{\infty}\,f(t)\exp(-ixt)\;dt$$ [/mm]
[mm] $$=\int_{-\infty}^{0}\,\exp(at)*\exp(-ixt)\;dt+\int_{-\infty}^{0}\,\exp(-at)*\exp(-ixt)\;dt.$$ [/mm]

Nun erinnere Dich an die Funktionalgleichung der $e-$ Funktion [mm] $\exp(z)*\exp(w)=\exp(z+w)$ [/mm] ($w,z [mm] \in \IC$), [/mm] klammere danach noch das $t$ im Argument vor und fertig ist's.

(Man sollte vielleicht anmerken, dass in Deiner Lösung oben [mm] $\exp(a-ix)t$ [/mm] als [mm] $\exp((a-ix)*t)$ [/mm] zu lesen ist; also die Exponentialfunktion wird an der Stelle $(a-ix)*t$ ausgewertet (analog bei $exp(-a-ix)t$)...)

Gruß,
Marcel

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Betragsstriche im t: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:53 Mo 15.09.2008
Autor: KGB-Spion

Achso ist das also : der Trick bestand darin, zu erkennen, wie man die Betragsfunktion (in diesem Fall " I t I ") für negative Zahlen "simulieren" kann.

Zugegeben : Das ist einfach, wenn man es so gut erklärt bekommt, wie hier in diesem Forum. Schade nur, dass ich es nicht in der Klausur bemerkt hab (3 Punkte haben mir gefehlt).

Kann ich eigentlich immer die Betragsstriche für t [mm] \le [/mm] 0 durch ein Minus vor der Funktion ersetzen oder gibt es da irgendwelche Ausnahmen ?  

Vielen Dank dafür, dass Ihr es mir so gut erklärt habt - ohne euch hätte ich sowas nie hinbekommen.

Liebe Grüße,

euer KGB-Spion

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Betragsstriche im t: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:07 Mo 15.09.2008
Autor: Marcel

Hallo,

> Achso ist das also : der Trick bestand darin, zu erkennen,
> wie man die Betragsfunktion (in diesem Fall " I t I ") für
> negative Zahlen "simulieren" kann.
>
> Zugegeben : Das ist einfach, wenn man es so gut erklärt
> bekommt, wie hier in diesem Forum. Schade nur, dass ich es
> nicht in der Klausur bemerkt hab (3 Punkte haben mir
> gefehlt).
>  
> Kann ich eigentlich immer die Betragsstriche für t [mm]\le[/mm] 0
> durch ein Minus vor der Funktion ersetzen oder gibt es da
> irgendwelche Ausnahmen ?  

wie meinst Du das? Also die Notation $t [mm] \le [/mm] 0$ benützt man so ja nur, wenn $t [mm] \in \IR$. [/mm] Im Komplexen ist [mm] $\black{|t|}$ [/mm] natürlich gerade [mm] $|t|:=\sqrt{\text{Re}^2(t)+\text{Im}^2(t)}=\sqrt{t*\overline{t}}$ [/mm] (wobei [mm] $\overline{t}$ [/mm] die zu [mm] $\black{t}$ [/mm] konjugiert komplexe Zahl ist), und diese Definition stimmt auf [mm] $\IR$ [/mm] natürlich mit dem dort "gewohnten" überein.

Wie habt ihr denn [mm] $\black{|t|}$ [/mm] definiert? Man kann es natürlich auch so machen, dass man für $t [mm] \in \IC$ [/mm] direkt [mm] $|t|:=\sqrt{t*\overline{t}}=\sqrt{\text{Re}^2(t)+\text{Im}^2(t)}$ [/mm] definiert. Dann sollte man sich nur klarmachen, dass im Falle $t [mm] \in \IR \subset \IC$ [/mm] dann [mm] $t=\text{Re}(t)$, $\text{Im}(t)=0$ [/mm] und damit dann
[mm] $$|t|=\sqrt{\text{Re}^2(t)+\text{Im}^2(t)}=\sqrt{t^2}$$ [/mm]
gilt.

Und ansonsten:
Ja, es ist ja für $t [mm] \in \IR$ [/mm] gerade
[mm] $\sqrt{t^2}=|t|=\begin{cases}-\,t, & \text{falls } t \le 0,\\ t, & \text{falls }t \ge 0.\end{cases}$ [/mm]

(Manchmal definiert man für $t [mm] \in \IR$ [/mm] auch einfach direkt erstmal [mm] $|t|:=\begin{cases}-\,t, & \text{falls } t \le 0,\\ t, & \text{falls }t \ge 0,\end{cases}$ [/mm] das ist aber nur Geschmackssache, wie man [mm] $\black{|t|}$ [/mm] definiert und welche Gleichheiten man dann noch beweisen sollte.)

Wenn man unsicher mit dem Umgang mit dem Betrag ist, so kann man sich (auf [mm] $\IR$) [/mm] sofort mit einfachen Beispielen helfen, bspw.:

Wenn Du z.B. [mm] $\black{|t|}$ [/mm] für $t=6,51 [mm] \ge [/mm] 0$ berechnen wolltest, dann brauchst Du ja nur die Betragsstriche weglassen, hier ist also:
[mm] $\black{|t|}=|6,51|=6,51=t$. [/mm]
(Diese Überlegung klappt offensichtlich immer, wenn $t [mm] \ge [/mm] 0$. Also: Für $t [mm] \ge [/mm] 0$ gilt [mm] $\black{|t|}=t$.) [/mm]

Wenn Du z.B. [mm] $\black{|t|}$ [/mm] für [mm] $t=-\,\pi [/mm] < 0$ berechnen willst, dann musst Du das Minuszeichen "entfernen" bzw. zu einem $+$ "abändern". Das macht die Multiplikation mit [mm] $\black{-\,1}$, [/mm] also hier wäre:
[mm] $|t|=|-\,\pi|=\pi=(-1)*(-\,\pi)=-(-\pi)=-t$. [/mm]
(Diese Überlegung klappt offensichtlich immer, wenn [mm] $\black{t} [/mm] < 0$. Sie klappt auch für [mm] $\black{t}=0$, [/mm] nur wer schreibt schon [mm] $0=-\,0$? [/mm] Jedenfalls klappt diese Überlegung daher auch für $t [mm] \le [/mm] 0$ (anstelle von [mm] $\black{t} [/mm] < 0$)... Also: Für $t [mm] \le [/mm] 0$ gilt [mm] $\black{|t|}=(-1)*t=-t$.) [/mm]

Gruß,
Marcel

Bezug
                                                
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Betragsstriche im t: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:28 Mo 15.09.2008
Autor: KGB-Spion

Achso OK. Zugegeben: das Rechnen mit den komplexen Zahlen ist manchmal schwer - aber im Prinzip kann ich nun die besagten rechenregeln anwenden ;-)


Ich möchte mich an dieser Stelle nochmal ganz herzlich bei Dir dafür Bedanken, dass Du mir geholfen hast ;-)

Beste Grüße,

Dein KGB-Spion

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