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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Beispiel für Jordan-Normalform
Beispiel für Jordan-Normalform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beispiel für Jordan-Normalform: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:12 Mi 03.08.2005
Autor: Britta82

Hallo an alle,

mir wird dieser ganze Kram mit Diagonalisierbarkeit und letztendlich mit der Jordan-Normalform langsam klar, aber kann mir jemand von euch sagen, warum man diese Matrizen, bzw. Abbildungen in diese "schöne" Form bringt. Kennt jemand ein Beispiel aus Wissenschaft oder Wirtschaft wo man diese Eigenschaften braucht?

Danke

LG

Britta

        
Bezug
Beispiel für Jordan-Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:37 Mi 03.08.2005
Autor: Stefan

Liebe Britta!

Die Jordansche Normalform hat zum Beispiel in der angewandten Analysis eine herausragende Bedeutung, nämlich bei der Bestimmung der Lösungen von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, siehe etwa []hier ab Seite 42 in der skriptinternen Zählung.

Solche Differentialgleichungen treten häufig in den verschiedensten Naturwissenschaften auf, etwa in der Biologie (dynamische Systeme).

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                
Bezug
Beispiel für Jordan-Normalform: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:22 Mi 03.08.2005
Autor: Britta82

Hallo Stefan,

Danke! Du hast mir hier echt schon ziemlich geholfen, also nochmals vielen vielen Dank.

LG

Britta

Bezug
        
Bezug
Beispiel für Jordan-Normalform: Ergänzung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 Mi 03.08.2005
Autor: MatthiasKr

Hallo Britta,

die Jordan-Normalform wird auch vielfach dort eingesetzt, wo effizient matrizen potenziert werden sollen: Ist $A$ eine Matrix und $J$ die entsprechende Jordan-Matrix, dann gibt es ja eine basiswechsel-matrix $S$ mit

[mm] $J=SAS^{-1}$ [/mm]   bzw.

[mm] $A=S^{-1}JS$. [/mm]

Das heißt aber auch, das man potenzen von $A$ sehr leicht auf potenzen von $J$ zurückführen kann, denn

[mm] $A^n=S^{-1}J^n [/mm] S$     (klar?).

Und Jordan-Matrizen kann man natürlich viel leichter potenzieren als beliebige Matrizen. Matrizen in Diagonalform zum beispiel kann man einfach potenzieren, indem man die diagonalelemente potenziert.

Man kann zB. auch eine Exponentialfunktion für matrizen definieren

[mm] $\exp(M):=\summe_{\nu=0}^{\infty}{\bruch{M^{\nu}}{\nu !}}$ [/mm]

Die braucht man zB. auch für die Anwendung, die Stefan beschrieben hat, die Lösung von system linearer gewöhnlicher differentialgleichungen mit konstanten koeffizienten. Für beliebige $M$ dieses [mm] $\exp(M)$ [/mm] zu berechnen, ist so gut wie unmöglich, für jordan-matrizen geht es dagegen recht einfach.

Anderes beispiel: man kann die fibonacci-zahlen, die du vielleicht kennst, recht leicht über eine matrizen-potenz ausrechnen.

[mm] $\vektor{f_n \\ f_{n+1}}=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }*\vektor{f_{n-1} \\ f_{n}}$ [/mm]  mit

[mm] $f_0=0 [/mm] , [mm] f_1=1$ [/mm] und $n=1,2,3,...$ [mm] ($f_n$ [/mm] ist also die $n$-te Fibonacci-Zahl). Es folgt

[mm] $\vektor{f_n \\ f_{n+1}}=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }^n *\vektor{0 \\ 1}$. [/mm]

Wenn man die Matrix auf Jordan-Normalform bringt (sie ist diagonalisierbar), dann lassen sich die potenzen leicht berechnen und man erhält eine explizite formel für die fibonacci-zahlen.

Viele Grüße
Matthias




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