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Basis von Bild, Injektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:03 Mi 13.04.2011
Autor: Loriot95

Aufgabe
Sei [mm] f_{A}: \IR^{4} \to \IR^{3} [/mm] mit [mm] f_{A}(x) [/mm] = Ax und
A= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 4 & -3 } \in [/mm] M(3x4, [mm] \IR) [/mm] gegeben. Bestimmen Sie eine Basis für [mm] Bild(f_{A}) [/mm] und prüfen Sie ob die lineare Abbildung [mm] f_{A} [/mm] injektiv ist.

Guten Tag,

habe die Aufgabe bearbeitet und würde mich freuen, wenn jemand mal einen Blick drauf werfen könnte.

B = [mm] \{\vektor{1 \\ 2 \\ 0}, \vektor{0 \\ 2 \\ -3}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}\} [/mm] ist linear unabhängig. Denn es gilt:

[mm] \lambda_{1}*\vektor{1 \\ 2 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*\vektor{0 \\ 2 \\ -3}, \lambda_{3}*\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} \Rightarrow \lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \lambda_{3} [/mm] = 0. Da [mm] dim(\IR^{3}) [/mm] = 3, handelt es sich somit um eine Basis von [mm] Bild(f_{A}). [/mm]
Desweiteren ist [mm] f_{A} [/mm] nicht injektiv, denn es gilt: [mm] dim(\IR^{4}) [/mm] = [mm] dim(Bild(f_{A})) [/mm] + [mm] dim(Kern(f_{A})) [/mm]
[mm] \Rightarrow Kern(f_{A}) \not= \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}. [/mm] Somit ist [mm] f_{A} [/mm] nicht injektiv.

Hoffe so stimmt es.

LG Loriot95

        
Bezug
Basis von Bild, Injektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:27 Mi 13.04.2011
Autor: fred97


> Sei [mm]f_{A}: \IR^{4} \to \IR^{3}[/mm] mit [mm]f_{A}(x)[/mm] = Ax und
>  A= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 4 & -3 } \in[/mm]
> M(3x4, [mm]\IR)[/mm] gegeben. Bestimmen Sie eine Basis für
> [mm]Bild(f_{A})[/mm] und prüfen Sie ob die lineare Abbildung [mm]f_{A}[/mm]
> injektiv ist.
>  Guten Tag,
>  
> habe die Aufgabe bearbeitet und würde mich freuen, wenn
> jemand mal einen Blick drauf werfen könnte.
>  
> B = [mm]\{\vektor{1 \\ 2 \\ 0}, \vektor{0 \\ 2 \\ -3}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}\}[/mm]
> ist linear unabhängig. Denn es gilt:
>  
> [mm]\lambda_{1}*\vektor{1 \\ 2 \\ 0}[/mm] + [mm]\lambda_{2}*\vektor{0 \\ 2 \\ -3}, \lambda_{3}*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0} \Rightarrow \lambda_{1}[/mm] =
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = [mm]\lambda_{3}[/mm] = 0. Da [mm]dim(\IR^{3})[/mm] = 3, handelt
> es sich somit um eine Basis von [mm]Bild(f_{A}).[/mm]


Dass es sich um eine Basis des Bildraumes handelt ist zwar richtig, gezeigt hast Du das aber nicht.



> Desweiteren ist [mm]f_{A}[/mm] nicht injektiv, denn es gilt:
> [mm]dim(\IR^{4})[/mm] = [mm]dim(Bild(f_{A}))[/mm] + [mm]dim(Kern(f_{A}))[/mm]
>  [mm]\Rightarrow Kern(f_{A}) \not= \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}.[/mm]

Korrekt:  [mm]\Rightarrow Kern(f_{A}) \not= \{ \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \}.[/mm]


FRED



> Somit ist [mm]f_{A}[/mm] nicht injektiv.
>  
> Hoffe so stimmt es.
>
> LG Loriot95  


Bezug
                
Bezug
Basis von Bild, Injektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:47 Mi 13.04.2011
Autor: Loriot95

Erst mal danke für die Hilfe. Müsste ich noch erwähnen, dass [mm] f_{A}(\vektor{1 \\ 0 \\0 \\ 0}) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\0}, f_{A}(\vektor{0 \\ 0 \\0 \\ 1}) [/mm] =  [mm] \vektor{0 \\ 2 \\-3} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] ein Basis Vektor aus [mm] \IR^{3} [/mm] ist? Wäre es damit getan? Oder was fehlt da bei der Argumentation?

LG Loriot95

Bezug
                        
Bezug
Basis von Bild, Injektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:53 Mi 13.04.2011
Autor: angela.h.b.


> Erst mal danke für die Hilfe. Müsste ich noch erwähnen,
> dass [mm]f_{A}(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0})[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 0}, f_{A}(\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1})[/mm]
> =  [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ -3}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] ein Basis
> Vektor aus [mm]\IR^{3}[/mm] ist? Wäre es damit getan? Oder was
> fehlt da bei der Argumentation?

Hallo,

Du gibst eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] an.
Den Grund dafür, daß das Bild Deiner Abbildung gerade der [mm] \IR^3 [/mm] ist, bleibst Du schuldig.
Was machst Du, wenn ich sage: "Stimmt ja gar nicht!"?

Gruß v. Angela


Bezug
                                
Bezug
Basis von Bild, Injektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:00 Mi 13.04.2011
Autor: Loriot95

Ok. Aber wenn ich  eine Basis des Kerns bestimme, also Ax= 0 setze und somit nachweise das [mm] dim(Kern(f_{A})) [/mm] = 1 ist, hätte ich aufgrund [mm] dim(\IR^{4}) [/mm] = [mm] dim(Bild(f_{A}) [/mm] + [mm] dim(Kern(f_{A})) [/mm] gezeigt, dass [mm] dim(Bild(f_{A})) [/mm] = 3 sein muss und somit handelt sich bei der obigen Menge um eine Basis des Bildes, oder? Eine andere Möglichkeit fällt mir sonst nicht ein. Da gibt es vermutlich noch leichtere Wege...

LG Loriot95



Bezug
                                        
Bezug
Basis von Bild, Injektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 Mi 13.04.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Loriot,

> Ok. Aber wenn ich eine Basis des Kerns bestimme, also Ax=
> 0 setze und somit nachweise das [mm]dim(Kern(f_{A}))[/mm] = 1 ist,
> hätte ich aufgrund [mm]dim(\IR^{4})[/mm] = [mm]dim(Bild(f_{A})[/mm] +
> [mm]dim(Kern(f_{A}))[/mm] gezeigt, dass [mm]dim(Bild(f_{A}))[/mm] = 3 sein
> muss

Ja!

> und somit handelt sich bei der obigen Menge um eine
> Basis des Bildes, oder?

Generell ist es so:

Das Bild wird von den Spaltenvektoren aufgespannt.

Das sind 4 Stück, suche dir also 3 linear unabh. aus den 4 Spaltenvektoren aus ...

Hier ist es allerdings trivial, denn der Bildraum ist der ganze [mm] $\IR^3$, [/mm] du kannst als Basis also jede dir bekannte nehmen, etwa diejenige, die aus den Einheitsvektoren besteht!

> Eine andere Möglichkeit fällt mir
> sonst nicht ein. Da gibt es vermutlich noch leichtere
> Wege...
>
> LG Loriot95
>
>


Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Basis von Bild, Injektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:36 Mi 13.04.2011
Autor: Loriot95

Ok. Ich denke damit ist alles geklärt. Danke schön.

Bezug
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