Basis und Fixpunkte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Mo 22.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Folgende Aufgabe bereitet mir noch Schwierigkeiten:
Für einen Endomorphismus [mm] F:V\to [/mm] V ist die Menge der Fixpunkte von F definiert durch Fix [mm] F:=\{v\in V:F(v)=v\}.
[/mm]
Sei der Endomorphismus F gegeben durch
i) [mm] F:\IR^3\to\IR^3, x\mapsto \pmat{1&2&2\\0&1&0\\3&0&1}*x
[/mm]
ii) [mm] F:\IR[/mm] [t][mm] \to\IR[/mm] [t], [mm] P\mapsto [/mm] P'
iii) [mm] F:\cal{D}(\IR,\IR)\to\cal{D}(\IR,\IR), f\mapsto [/mm] f'
Bestimmen Sie jeweils eine Basis von Fix F.
Ehrlich gesagt wusste ich hier nicht wirklich, wie ich das machen soll. Ich habe erstmal bei i) die Fixpunkte überhaupt gesucht, indem ich ein LGS aufgestellt habe. Da erhielt ich dann folgende Bedingungen für einen Fixpunkt: [mm] x_1=0, x_2=-x_3. [/mm] Aber wie bekomme ich jetzt daraus eine Basis? Ich würde ja eigentlich einfach schreiben: [mm] v=\vektor{0\\1\\-1} [/mm] zum Beispiel, aber dann wäre dieser Vektorraum ja eindimensional und das kommt mir komisch vor. Kann mir jemand sagen, was ich allgemein in solch einen Fall machen muss?
Bei ii) hab ich dann mal so angefangen:
[mm] P(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+...+a_nt^n
[/mm]
[mm] P'(t)=a_1+2a_2t+...+na_nt^{n-1}
[/mm]
Dann müsste für alle Fixpunkte gelten:
[mm] a_0=a_1
[/mm]
[mm] a_1=2a_2
[/mm]
.
.
.
[mm] a_{n-1}=na_n
[/mm]
Und wie komme ich dann auf die Basis?
Und wie kann ich das dann bei iii) für allgemeine differenzierbare Funktionen zeigen?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Mo 22.08.2005 | | Autor: | DaMenge |
Einen schönen Abend wünsche ich!!
Also bei i) suchst du ja eigentlich nur die Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 1 , richtig?
Es ist durchaus möglich, dass dieser Eigenraum eindimensional ist - das kannst du sicher leicht zeigen...
Auf jedenfall ist dein Vektor ein Eigenvektor, also sieht deine Lösung richtig aus.
zu ii) Ist die Abbildung denn linear? Kennst du die Abbildungsmatrix?
Aber das musst du ja nicht wirklich machen. (Außer du betrachtest den Rang der Matrix)
Du suchst ein Polynom p, dass abgeleitet wieder p ist.
Was passiert mit dem Grad des Polynoms beim Ableiten?
Was ist dann logischer Weise der einzige Fixpunkt?
zu iii) sollte ich nur reden, wenn ich nicht total übermüdet bin, wie jetzt
bis morgen !
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 Di 23.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> > zu ii) Ist die Abbildung denn linear? Kennst du die
> > Abbildungsmatrix?
> > Aber das musst du ja nicht wirklich machen. (Außer du
> > betrachtest den Rang der Matrix)
> > Du suchst ein Polynom p, dass abgeleitet wieder p ist.
> > Was passiert mit dem Grad des Polynoms beim Ableiten?
> > Was ist dann logischer Weise der einzige Fixpunkt?
>
> Das Nullpolynom? Also wäre die Basis die leere Menge?
Ja, das ist vollkommen richig. 
Liebe Grüße
Stefan
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Guten Abend.
Zu iii) fällt mir jetzt spontan nur eine Funktion von [mm] \IR\to \IR [/mm] ein, die mit ihrer Ableitung identisch ist, nämlich [mm] $x\mapsto ke^x$ $\forall x\in \IR$ [/mm] und [mm] $k\in \IR$.
[/mm]
Bin mir allerdings im Moment nicht bewußt, ob ich da nicht welche übersehen hab bzw. wie man beweisen kann, daß dies die einzige Funktion ist, die mit ihrer Ableitung identisch ist.
Bevor aber jemand aufschreit, ich hätte [mm] $x\mapsto [/mm] 0$ vergessen, die ist oben enthalten.
Jedenfalls handelt es sich bei [mm] $\operatorname{Fix}F$, [/mm] wie man leicht sieht, um einen linearen Unterraum der Dimension 1.
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:58 Mo 22.08.2005 | | Autor: | SEcki |
> nämlich [mm]x\mapsto ke^x[/mm] [mm]\forall x\in \IR[/mm] und [mm]k\in \IR[/mm].
Sei f eine Funktion mit [m]f'=f[/m]. Betrachte dann [m](f*e^{-x})'[/m], daraus folgt alles.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:19 Di 23.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
[morgähn]
> > nämlich [mm]x\mapsto ke^x[/mm] [mm]\forall x\in \IR[/mm] und [mm]k\in \IR[/mm].
>
> Sei f eine Funktion mit [m]f'=f[/m]. Betrachte dann [m](f*e^{-x})'[/m],
> daraus folgt alles.
Also, wenn f=f' gilt, dann gilt auch:
[mm] (f*e^{-x})' [/mm] = [mm] f'e^{-x}+f(-e^{-x}) [/mm] = 0
und was folgt jetzt daraus?
Das Gleiche wie bei ii)?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Di 23.08.2005 | | Autor: | statler |
Hallo, fröhlich wollen wir den Tag beginnen!
> [morgähn]
>
> > > nämlich [mm]x\mapsto ke^x[/mm] [mm]\forall x\in \IR[/mm] und [mm]k\in \IR[/mm].
> >
>
> > Sei f eine Funktion mit [m]f'=f[/m]. Betrachte dann [m](f*e^{-x})'[/m],
> > daraus folgt alles.
>
> Also, wenn f=f' gilt, dann gilt auch:
>
> [mm](f*e^{-x})'[/mm] = [mm]f'e^{-x}+f(-e^{-x})[/mm] = 0
>
> und was folgt jetzt daraus?
Daraus folgt, daß f * [mm] e^{-x} [/mm] eine Konstante = c ist, und dann kann ich rübermultiplizieren und sehe, was f ist. Das mit der Konstanten folgt aus dem Mittelwertsatz, sach ich mal.
> Das Gleiche wie bei ii)?
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
>
Grüße zurück
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Di 23.08.2005 | | Autor: | statler |
> Hallo Dieter!
> > Hallo, fröhlich wollen wir den Tag beginnen!
> Schön, dass du immer einen aufmunternden Spruch auf Lager
> hast. 
>
> > > > > nämlich [mm]x\mapsto ke^x[/mm] [mm]\forall x\in \IR[/mm] und [mm]k\in \IR[/mm].
>
> >
> > > >
> > >
> > > > Sei f eine Funktion mit [m]f'=f[/m]. Betrachte dann [m](f*e^{-x})'[/m],
> > > > daraus folgt alles.
> > >
> > > Also, wenn f=f' gilt, dann gilt auch:
> > >
> > > [mm](f*e^{-x})'[/mm] = [mm]f'e^{-x}+f(-e^{-x})[/mm] = 0
> > >
> > > und was folgt jetzt daraus?
> >
> > Daraus folgt, daß f * [mm]e^{-x}[/mm] eine Konstante = c ist, und
> > dann kann ich rübermultiplizieren und sehe, was f ist. Das
> > mit der Konstanten folgt aus dem Mittelwertsatz, sach ich
> > mal.
>
> Und was ist dann die gesuchte Basis? Bessser: ...eine gesuchte Basis...
>
Na, Christiane, [mm] e^{x} [/mm] z. B., weil doch alle f's reelle Vielfache davon sind. Es geht doch um einen [mm] \IR-Vektorraum.
[/mm]
> Viele Grüße
> Bastiane
>
>
Bis zur nächsten Frage
Dieter
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