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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Basis und Dimension
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Basis und Dimension: Aufgabe
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:44 Mi 24.11.2004
Autor: Nadja

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen


Bestimmen Sie alle Komlpementärräume von <e1,e2>  [mm] \subset R^3 [/mm] sowie deren Dimension.


Danke euch

Nadja

Ich habe diese Aufgabe in keinen anderem Forum gestellt.

        
Bezug
Basis und Dimension: Eigene Ansätze?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:17 Mi 24.11.2004
Autor: Christian

Hallo Nadja!

Wie stehts denn um deine eigenen Lösungsansätze bei der Aufgabe? Selbst wenn Du bisher keine Ideen gehabt hast solltest Du uns vielleicht sagen, wo deine Probleme liegen, sonst kann dir ja hier nicht wirklich effektiv geholfen werden, denn wir haben nicht unbedingt etwas davon dir hier eine Komplettlösung anzugeben und Du noch viel weniger, wenn dir der Lösungsweg am Ende gar nicht klar ist.
Also: Wo liegen deine Probleme bei der Aufgabe? Hast Du irgendwelche konkreten Fragen? Dann werden dir hier sicher gerne alle weiterhelfen.

Gruß,
Christian

Bezug
        
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Basis und Dimension: Ich hab ne konkrtete Frage.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:23 Do 25.11.2004
Autor: Olek

Ist es allgemein so, dass e1 und e2 (1,0,0) bzw. (0,1,0) ist?
Wenn ich dann nach der Definition vorgehe, dann ist der Span von e1,e2=U
Und U [mm] \oplus [/mm] W=V. Also  [mm] \IR^3= [/mm] Span von e1,e2 [mm] \oplus [/mm] Span von v1,v2
Aber was mache ich wenn ich das weiß? (Sofern das überhaupt richtig ist.

Und entschüldigt die jämmerliche Form meines Beitrags, ich habe keinen Plan wie ich in den Text Sachen einfüge die unten nicht angegeben sind, und die Anleitung wurde bei mir nicht vernünftig angezeigt ...

Bezug
                
Bezug
Basis und Dimension: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:57 Fr 26.11.2004
Autor: Marc

Hallo Olek,

> Ist es allgemein so, dass e1 und e2 (1,0,0) bzw. (0,1,0)
> ist?

Ja, das ist so: Wenn die Darstellung eines Vektors bzgl. einer Basis (1,0,0) ist, dann wird der Vektor als [mm] $e_1$ [/mm] bezeichnet (und ist damit gerade der 1. Basisvektor).

>  Wenn ich dann nach der Definition vorgehe, dann ist der
> Span von e1,e2=U

Klar.

>  Und U [mm]\oplus[/mm] W=V. Also  [mm]\IR^3=[/mm] Span von e1,e2 [mm]\oplus[/mm] Span
> von v1,v2
>  Aber was mache ich wenn ich das weiß? (Sofern das
> überhaupt richtig ist.

Wieso gehst du denn davon aus, dass W von zwei Vektoren [mm] $v_1$, $v_2$ [/mm] aufgespannt wird?
Wie du von dieser Darstellung von [mm] $\IR^3$ [/mm] das gwünschte zeigen kannst, ist mir nicht klar, denn es fehlt ja noch die Information, dass wir den Komplementärraum berechnen wollen.

Ein Komplementärraum zu U ist ja definiert als

[mm] $U^{\perp}:=\{v\in \IR\ |\ \langle u,v\rangle=0\ \forall\ u\in U\}$, [/mm] wobei mit [mm] $\langle\cdot,\cdot\rangle$ [/mm] das Skalarprodukt gemeint ist.

In Worten: Alle Vektoren in [mm] $U^{\perp}$ [/mm] sind (bzgl. des jeweiligen Skalarproduktes) orthogonal zu allen Vektoren aus $U$.

Nun ist also erstmal die Frage, wie hier das Skalarprodukt definiert ist; wenn es das Standardskalarprodukt ist, ist die Frage die Lösung einfach:

[mm] $U^{\perp}=\langle e_3\rangle$ [/mm]

Dieses (und auch für andere Skalarprodukte) zeigen kann man zum Beispiel mit dem Gram-Schmidt-Verfahren, oder zu Fuß, durch Ausnutzung obiger Definition:

[mm] $v\in U^{\perp}$ $\gdw$ $\langle v,e_1\rangle=0$ [/mm] und [mm] $\langle v,e_2\rangle=0$ [/mm]

Damit schränkt man das Aussehen von v bereits sehr ein.

Jetzt zeigt man noch, dass alle Vektoren v, die der obigen Bedingung genügen, linear abhängig sind und ist fertig.

Viele Grüße,
Marc



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Basis und Dimension: Dimension
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 Fr 26.11.2004
Autor: Gorky

Dimension von Komplementärräumen berechnet man in diesem fall folgendemassen dim(w)+ dim( [mm] \IR^{2}) [/mm] = [mm] dim(\IR^{3}). [/mm]  Da wir wissen dass dim von [mm] dim(\IR^{2}) [/mm] =2 und [mm] dim(\IR^{3}) [/mm] =3 dann muss dim(w) =1 sein.  w ist Komplementärraum.

Bezug
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