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Approximation durch Polynome: Schöne Aufgabe !
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:41 Do 08.10.2015
Autor: fred97

Wieder habe ich eine, wie ich meine, sehr schöne Aufgabe:
Aufgabe
Sei $f:[0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] eine stetige Funktion. Der Approximationssatz von Weierstrass besagt nun,
dass es eine Folge [mm] (p_n) [/mm] von Polynomen gibt, die auf $[0,1]$ gleichmäßig gegen $f$ konvergiert.

Man beweise: ist die Folge [mm] (grad(p_n)) [/mm] beschränkt, so ist $f$ ein Polynom.


Wenn sich jemand aus dem Kreis der Moderatoren bereit erklärt,
die Aufgabe in der üblichen Weise zu deklarieren, wäre ich sehr dankbar.

Gruß FRED

        
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Approximation durch Polynome: Dummy-Frage
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 15:36 Fr 09.10.2015
Autor: tobit09

Hallo zusammen!


Diese "Frage" dient nur dazu, dass die Übungsaufgabe in der Liste der offenen Fragen erscheint.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
        
Bezug
Approximation durch Polynome: genügt punktweise Konvergenz ?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:42 Sa 10.10.2015
Autor: Al-Chwarizmi


> Wieder habe ich eine, wie ich meine, sehr schöne Aufgabe:
>  Sei [mm]f:[0,1] \to \IR[/mm] eine stetige Funktion. Der
> Approximationssatz von Weierstrass besagt nun,
> dass es eine Folge [mm](p_n)[/mm] von Polynomen gibt, die auf [mm][0,1][/mm]
> gleichmäßig gegen [mm]f[/mm] konvergiert.
>  
> Man beweise: ist die Folge [mm](grad(p_n))[/mm] beschränkt, so ist
> [mm]f[/mm] ein Polynom.


Hallo Fred,

ich habe keinen "Beweis" durchgeführt, finde die Behauptung
aber fast "selbstverständlich".
Nur eine Frage: Benötigt man für einen Beweis überhaupt
die Gleichmäßigkeit der Konvergenz oder würde auch punkt-
weise Konvergenz genügen ?

LG ,   Al

Bezug
                
Bezug
Approximation durch Polynome: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:14 Sa 10.10.2015
Autor: fred97


> > Wieder habe ich eine, wie ich meine, sehr schöne Aufgabe:
>  >  Sei [mm]f:[0,1] \to \IR[/mm] eine stetige Funktion. Der
> > Approximationssatz von Weierstrass besagt nun,
> > dass es eine Folge [mm](p_n)[/mm] von Polynomen gibt, die auf [mm][0,1][/mm]
> > gleichmäßig gegen [mm]f[/mm] konvergiert.
>  >  
> > Man beweise: ist die Folge [mm](grad(p_n))[/mm] beschränkt, so ist
> > [mm]f[/mm] ein Polynom.
>  
>
> Hallo Fred,
>  


Hallo Al,


> ich habe keinen "Beweis" durchgeführt, finde die
> Behauptung
>  aber fast "selbstverständlich".

Ja, das ging mir zunächst auch so. Aber ein einfacher Beweis ist mir dann doch nicht eingefallen.


>  Nur eine Frage: Benötigt man für einen Beweis
> überhaupt
>  die Gleichmäßigkeit der Konvergenz


Ich benötige sie.

> oder würde auch
> punkt-
>  weise Konvergenz genügen ?

Das ist mir auch noch nicht klar.


Gruß FRED
  

>  
> LG ,   Al


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Bezug
Approximation durch Polynome: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:31 Sa 10.10.2015
Autor: hippias

Dann wage ich einmal einen Versuch. Mal schauen, ob ich etwas uebersehen habe.

Es sei [mm] $m\in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $grad(p_{n})\leq [/mm] m$ fuer alle [mm] $n\in \IN$ [/mm] gilt. Der reelle Raum der Polynomfunktionen vom Grade hoechstens $m$ auf dem Intervall $[0,1]$ ist endlichdimensional, also vollstaendig bezueglich jeder Norm. Gleichmaessige Konvergenz von [mm] $(p_{n})$ [/mm] bedeutet Konvergenz bezueglich der Supremumsnorm (im Oberraum der stetigen Funktionen auf dem Intervall $[0,1]$). Die Vollstaendigkeit impliziert fuer die Cauchyfolge [mm] $(p_{n})$ [/mm] die Existenz eines reellen Polynoms vom Grade hoechstens $m$ als Grenzwert der Folge. Die Eindeutigkeit des Grenzwerts liefert, dass $f$ dieses Polynom ist.

Bezug
                
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Approximation durch Polynome: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:01 So 11.10.2015
Autor: fred97


> Dann wage ich einmal einen Versuch. Mal schauen, ob ich
> etwas uebersehen habe.
>  
> Es sei [mm]m\in \IN[/mm] so, dass [mm]grad(p_{n})\leq m[/mm] fuer alle [mm]n\in \IN[/mm]
> gilt. Der reelle Raum der Polynomfunktionen vom Grade
> hoechstens [mm]m[/mm] auf dem Intervall [mm][0,1][/mm] ist
> endlichdimensional, also vollstaendig bezueglich jeder
> Norm. Gleichmaessige Konvergenz von [mm](p_{n})[/mm] bedeutet
> Konvergenz bezueglich der Supremumsnorm (im Oberraum der
> stetigen Funktionen auf dem Intervall [mm][0,1][/mm]). Die
> Vollstaendigkeit impliziert fuer die Cauchyfolge [mm](p_{n})[/mm]
> die Existenz eines reellen Polynoms vom Grade hoechstens [mm]m[/mm]
> als Grenzwert der Folge. Die Eindeutigkeit des Grenzwerts
> liefert, dass [mm]f[/mm] dieses Polynom ist.

Hallo hippias,

Du hast nichts übersehen. Aber: "Cauchyfolge", Vollständigkeit",... benötigt man nicht.

Sei X=C[0,1]. X versehen wir mit der Maximumsnorm [mm] ||*||_{\infty}. [/mm]

Ist [mm] X_0 [/mm] = Menge aller Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] m, so ist [mm] X_0 [/mm] ein endlichdimensionaler Unterraum von X, insbesondere ist [mm] X_0 [/mm] abgeschlossen.

[mm] p_n \to [/mm] f gleichmäßig auf [0,1] bedeutet gerade  [mm] ||p_n-f||_{\infty} \to [/mm] 0.

Da [mm] (p_n) [/mm] eine Folge in [mm] X_0 [/mm] ist und [mm] X_0 [/mm] abgeschlossen ist, haben wir $f [mm] \in X_0$ [/mm]



_____________________________________________


Mir schwebt allerdings noch eine "andere" Lösung vor, die mit Analysis I und Lineare AlgebraI/II Kenntnissen auskommt.

Diese Lösung imitiert den oben verwendeten Satz ("endlichdim. Unterräume normierter Räume sind abgeschlossen").

Gruß FRED

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Approximation durch Polynome: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:17 Mo 12.10.2015
Autor: fred97


> Wieder habe ich eine, wie ich meine, sehr schöne Aufgabe:
>  Sei [mm]f:[0,1] \to \IR[/mm] eine stetige Funktion. Der
> Approximationssatz von Weierstrass besagt nun,
> dass es eine Folge [mm](p_n)[/mm] von Polynomen gibt, die auf [mm][0,1][/mm]
> gleichmäßig gegen [mm]f[/mm] konvergiert.
>  
> Man beweise: ist die Folge [mm](grad(p_n))[/mm] beschränkt, so ist
> [mm]f[/mm] ein Polynom.
>  
> Wenn sich jemand aus dem Kreis der Moderatoren bereit
> erklärt,
> die Aufgabe in der üblichen Weise zu deklarieren, wäre
> ich sehr dankbar.
>  
> Gruß FRED


Hier ist meine Lösung, die mit elementaren Hilfsmitteln aus der Analysis und der linearen Algebra auskommt:

wir setzen [mm] $m:=\max \{grad(p_n): n \in \IN\}$ [/mm] und damit sei $V$ der reelle Vektorraum aller Polynome mit Grad $ [mm] \le [/mm] m$. Diesen Vektorraum versehen wir mit dem Skalarprodukt

    [mm] $=\integral_{0}^{1}{p(x)q(x) dx}$. [/mm]

Aus der Basis

    [mm] $\{1,x,x^2,...,x^m\}$ [/mm]

von $V$ konstruieren wir uns eine Orthonormalbasis

    [mm] $\{u_0,u_1,...,u_m\}$ [/mm]

von $V$  (Gram - Schnmidt). Ist $p [mm] \in [/mm] V$, so gibt es eindeutig bestimmte Skalare [mm] s_0,s_1,...,s_m [/mm] mit

    [mm] $p=\summe_{j=0}^{m}s_ju_j$. [/mm]

Man rechnet sofort nach: [mm] $s_k=$ [/mm]  für $k=0,1,...,m$.

Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] haben wir also

  (*)  [mm] $p_n=\summe_{j=0}^{m}u_j$. [/mm]

Da [mm] (p_n) [/mm] auf [0,1] gleichmäßig gegen $f$ konvergiert, konvergiert auch [mm] (p_nu_j) [/mm] auf [0,1] gleichmäßig gegen [mm] fu_j [/mm] ($j=0,1,...,m$). Folglich haben wir

   [mm] $=\integral_{0}^{1}{p_n(x)u_j(x) dx} \to \integral_{0}^{1}{f(x)u_j(x) dx}=:t_j$ [/mm]  für $n [mm] \to \infty$ [/mm]  ($j=0,1,...,m$).

Definieren wir das Polynom $p [mm] \in [/mm] V$ durch

    [mm] $p:=\summe_{j=0}^{m}t_ju_j$$, [/mm]

so zeigt (*), dass die Folge [mm] (p_n) [/mm] auf [0,1] punktweise gegen $p$ konvergiert. Da aber [mm] (p_n) [/mm] auch  punktweise gegen $f$ konvergiert, ergibt sich

   $f=p [mm] \in [/mm] V$.

Das wars.

Gruß FRED

Bezug
        
Bezug
Approximation durch Polynome: Ergänzungen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:05 Do 15.10.2015
Autor: fred97

Im Laufe dieser Diskussion wurde der folgende Satz bewiesen:

SATZ 1:

Sei $f:[0,1] [mm] \to \IR [/mm] $ eine stetige Funktion und $ [mm] (p_n) [/mm] $ eine Folge von Polynomen,
die auf $ [0,1] $ gleichmäßig gegen $ f $ konvergiert.
Ist die Folge $ [mm] (grad(p_n)) [/mm] $ beschränkt, so ist $ f $ ein Polynom.


Al-Chwarizmi hat nun die Frage gestellt,
ob nicht vielleicht schon nur die punktweise Konvergenz der Folge [mm] (p_n) [/mm] ausreicht.

Dieser Frage bin ich nachgegangen.

SATZ 2:

Sei [mm] (p_n) [/mm] eine Folge reeller Polynome mit der Eigenschaft, dass die Folge [mm] (grad(p_n)) [/mm] beschränkt ist.
Es sei [mm] $m:=\max \{grad(p_n): n \in \IN\}$ [/mm] und weiter seien [mm] x_0,x_1,...,x_m \in \IR [/mm] gegeben mit den Eigenschaften:

(1) [mm] x_i \ne x_j [/mm]  für $i,j [mm] \in \{0,1,...,m\}$ [/mm]

und

(2) für jedes $j [mm] \in \{0,1,...,m\}$ [/mm] ist die Folge [mm] (p_n(x_j)) [/mm] beschränkt.

Dann enthält [mm] (p_n) [/mm] eine Teilfolge, die auf [0,1] gleichmäßig gegen ein Polynom konvergiert.


Beweis: die Vandermonde-Matrix $A$ definieren wir durch

  [mm] $A:=\begin{pmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^{m} \\ 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{m} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{m} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_m & x_m^2 & \cdots & x_m^{m} \end{pmatrix} [/mm] $

und stellen fest, dass $A$ invertierbar ist (s. Vor. (1)). Für $n [mm] \in \IN$ [/mm] hat [mm] p_n [/mm] die Darstellung

   [mm] p_n(x)=a_0^{(n)}+a_1^{(n)}x+...+a_m^{(n)}x^m. [/mm]

Wegen

  [mm] $A*(a_0^{(n)},a_1^{(n)},...,a_m^{(n)})^T=(p_n(x_0),p_n(x_1),...,p_n(x_m))^T$ [/mm]

ist

  [mm] $(a_0^{(n)},a_1^{(n)},...,a_m^{(n)})^T=A^{-1}*(p_n(x_0),p_n(x_1),...,p_n(x_m))^T$. [/mm]

Aus Vor. (2) folgt nun, dass die Vektorfolge  [mm] $((a_0^{(n)},a_1^{(n)},...,a_m^{(n)})^T)$ [/mm] beschränkt ist.  

Der Satz von Bolzano-Weierstrass liefert nun eine konvergente Teilfolge [mm] $((a_0^{(n_k)},a_1^{(n_k)},...,a_m^{(n_k)})^T)$ [/mm] dieser Folge.

Sei [mm] (a_0,a_1,...,a_m)^T [/mm] der Limes dieser Teilfolge und

  [mm] $p(x):=a_0+a_1x+...+a_mx^m$. [/mm]

Es folgt für $n [mm] \in \IN$ [/mm] und $x [mm] \in [/mm] [0,1]$:

  [mm] $|p_{n_k}(x)-p(x)| \le b_k:=|a_0^{(n_k)}-a_0|+ |a_1^{(n_k)}-a_1|+...+ |a_m^{(n_k)}-a_m|$. [/mm]

Da [mm] (b_k) [/mm] eine Nullfolge ist, konvergiert also [mm] (p_{n_k}) [/mm] auf [0,1] gleichmäßig gegen $p$.

q.e.d.




Wir erhalten noch

SATZ 3:

Sei $ [mm] (p_n) [/mm] $ eine Folge reeller Polynome mit der Eigenschaft, dass die Folge $ [mm] (grad(p_n)) [/mm] $ beschränkt ist.
Es sei $ [mm] m:=\max \{grad(p_n): n \in \IN\} [/mm] $ und weiter seien $ [mm] x_0,x_1,...,x_m \in \IR [/mm] $ gegeben mit den Eigenschaften:

(1) $ [mm] x_i \ne x_j [/mm] $  für $ i,j [mm] \in \{0,1,...,m\} [/mm] $

und

(2') für jedes $ j [mm] \in \{0,1,...,m\} [/mm] $ ist die Folge $ [mm] (p_n(x_j)) [/mm] $ konvergent.

Dann konvergiert [mm] (p_n) [/mm] auf [0,1] gleichmäßig gegen ein Polynom.

Beweis: mit den Bezeichnungen aus dem Beweis von Satz 2 folgt nun mit der stärkeren Vor. (2'):

   die Vektorfolge  [mm] $((a_0^{(n)},a_1^{(n)},...,a_m^{(n)})^T)$ [/mm] ist konvergent.

Es dürfte klar sein, wie es nun weitergeht.

q.e.d.



Die Antwort auf Al-Chwarizmis Frage liefert die


FOLGERUNG:

Sei $f:[0,1] [mm] \to \IR [/mm] $ eine  Funktion und $ [mm] (p_n) [/mm] $ eine Folge von Polynomen,
die auf $ [0,1] $ punktweise gegen $ f $ konvergiert.
Ist die Folge $ [mm] (grad(p_n)) [/mm] $ beschränkt, so ist $ f $ ein Polynom und
[mm] (p_n) [/mm] konvergiert auf [0,1] gleichmäßig gegen $f$

Noch eine

BEMERKUNG: auf die Vor. " $ [mm] (grad(p_n)) [/mm] $ ist beschränkt" kann nicht verzichtet werden, wie das folgende Beispiel zeigt:

  [mm] p_n(x):=x^n, (p_n) [/mm] konvergiert auf [0,1] punktweise gegen

  [mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in [0,1) \\ 1, & \mbox{für } x=1 \end{cases}. [/mm]


Gruß FRED






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