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Approximation: Schrittweises Vorgehen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:53 Sa 04.03.2017
Autor: Frank-12

Aufgabe
Ein zeitabhängiger Vorgang werde durch g(t) = Ae^-Bt beschrieben (A>0). Zur Bestimmung von A und B stehen die Daten der folgenden Tabelle zur Verfügung:
ti   20   40   60   80
gi 2,70 1,50 0,80 0,43
Durch  welche   Transformation y = y(g), x = x(t) wird die Gleichung für g(t) in eine Geradengleichung y = a x + b überführt? Ermitteln Sie nach der Methode   der
kleinsten Quadrate a und b und geben Sie g(t) an.

Hallo zusammen,

was ich suche, ist eine Art Kochrezept, eine Wegbeschreibung bzw. ein schrittweises Vorgehen, nach dem Motto: mach als erstes das, als zweites das ... usw.
Auch irritiert mich der letzte Absatz. Wie komme ich von den Fouriertransformierten auf die Geradengleichung?
Ihr seht also, mir fehlt der Überblick, wie ich die Einzelteile zusammen bekomme.
Und ja, dass Vorwissen ist dürftig.
Ich bitte um Nachsicht, falls ich im falschen Forum gelandet bin.
Vielen Dank für eure Mühe.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Approximation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:05 Sa 04.03.2017
Autor: HJKweseleit


> Ein zeitabhängiger Vorgang werde durch g(t) = Ae^-Bt
> beschrieben (A>0). Zur Bestimmung von A und B stehen die
> Daten der folgenden Tabelle zur Verfügung:
> ti   20   40   60   80
>  gi 2,70 1,50 0,80 0,43
>  Durch  welche   Transformation y = y(g), x = x(t) wird die
> Gleichung für g(t) in eine Geradengleichung y = a x + b
> überführt? Ermitteln Sie nach der Methode   der
>  kleinsten Quadrate a und b und geben Sie g(t) an.
>  Hallo zusammen,
>  
> was ich suche, ist eine Art Kochrezept, eine
> Wegbeschreibung bzw. ein schrittweises Vorgehen, nach dem
> Motto: mach als erstes das, als zweites das ... usw.
>  Auch irritiert mich der letzte Absatz. Wie komme ich von
> den Fouriertransformierten auf die Geradengleichung?


Das Ganze hat nichts mit einer Fourier-Transformation, sondern mit einer Koordinatentransformation zu tun.


>  Ihr seht also, mir fehlt der Überblick, wie ich die
> Einzelteile zusammen bekomme.
>  Und ja, dass Vorwissen ist dürftig.
>  Ich bitte um Nachsicht, falls ich im falschen Forum
> gelandet bin.
>  Vielen Dank für eure Mühe.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  




Es ist g(t) = [mm] Ae^{-Bt}. [/mm]

Würde das B dort nicht stehen (bzw. B=1 sein), könntest du die [mm] t_i [/mm] durch [mm] s_i [/mm] = [mm] e^{-t_1} [/mm] ersetzen, und schon hättest du die lineare Gleichung [mm] g_i [/mm] = [mm] A*s_i. [/mm] Das B stört somit bzw. soll ermittelt werden.

Wie kommt man an einen Exponenten? Indem man logarithmiert.

[mm] ln(g_i) [/mm] = [mm] ln(A*e^{-Bt_i}) [/mm] = [mm] ln(A)-Bt_i*ln(e)=ln(A)-Bt_i. [/mm]

Nun identifizieren wir die einzelnen Bestandteile:
ln(g) = -Bt + ln(A)
y     = ax  + b

Du machst nun eine neue Tabelle:

Die Funktionswerte [mm] g_i [/mm] ersetzt du durch [mm] y_i [/mm] = [mm] ln(g_i). [/mm]
Die [mm] t_i [/mm] heißen jetzt [mm] x_i, [/mm] bleiben aber unverändert.

Daraus erhältst du jetzt im x-y-Koordinatensystem eine Gerade mit der Steigung a und dem Achsenabschnitt b nach der Methode der Ausgleichsgeraden (Minimieren der Fehlerquadrate).

Nun identifiziert du a mit -B (also B = - a) und b mit ln(A) (also A = [mm] e^b). [/mm] Dann hast du die gesuchte Funktion g(t) gefunden.


Das Verfahren zeigt dir, dass du bei jedem Funktiontypen andere Ideen zur Linearisierung brauchst. Beispiel: Ein Experimentierwagen fährt eine schiefe Ebene hinunter und schreibt dabei mit 50 Hz eine Markierung auf den Boden. Du sollst die Beschleunigung A bestimmen. Den Anfang der Markierungen und damit den Startpunkt kann man gut erkennen, aber weil der Wagen ja zu Beginn steht, fallen die ersten Markierungen so aufeinander, dass sie eine Linie bilden und man sie nicht auszählen kann. Die erste getrennt sichtbare Markierung versiehst du mit der Zeit [mm] t_1, [/mm] ihren Abstand zum Startpunkt mit [mm] s_1 [/mm] usw., und so erhältst du eine Messreihe. Während die [mm] s_i [/mm] sich gut messen lassen, sind aber die [mm] t_i [/mm] um die nicht feststellbare Anfangszeit m zu erhöhen. Somit heißt die gesuchte Abhängigkeit

s = A/2 [mm] (t+m)^2 [/mm] mit unbekanntem A und m.

Hier musst du nun radizieren:

[mm] \wurzel{s}= \wurzel{A/2}(t+m)=\wurzel{A/2}*t +\wurzel{A/2}*m [/mm]

Hier wären dann [mm] y_i [/mm] = [mm] \wurzel{s_i} [/mm] und   [mm] x_i [/mm] = [mm] t_i [/mm] und   [mm] a=\wurzel{A/2} [/mm] und b = [mm] \wurzel{A/2}*m. [/mm]



Bezug
                
Bezug
Approximation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:48 Sa 04.03.2017
Autor: Frank-12

Hallo HJKweseleit,

ohne Deine gute und ausführliche Erklärung wäre ich schon an der Fragestellung gescheitert.
Für Deine Hilfe und Lösung ein herzliches Dankeschön.

Viele Grüße
Frank12

Bezug
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