Ansatz komplexe Fourierreihe < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Wenn ich so einen Aufgabe habe die sich aus 4 Teilintervallen zusammensetzt, welchen Ansatz muss ich dann wählen für [mm] c_{n}.
[/mm]
Die Funktionen für die Teilintervalle sind:
[mm] f(x)=\bruch{1}{2} [/mm] (0-1)
g(x)=-x+3 (1-2)
h(x)=-x+3,5 (2-3)
k(x)=-x+4 (3-4)
Ist dann der Richtige Ansatz
[mm] c_{n}=\integral_{0}^{1}{f(x)e^{-i2nx\pi} dx}+\bruch{1}{2}\integral_{1}^{2}{g(x)e^{-inx\pi}dx}+\bruch{1}{3}\integral_{2}^{3}{h(x)e^{-inx\bruch{2\pi}{3}} dx}+\bruch{1}{4}\integral_{3}^{4}{k(x)e^{-inx\bruch{\pi}{2}} dx} [/mm] also jedes Integral einzeln zu addieren
oder wählt man für L einfach die Gesamtlänge von 4:
[mm] c_{n}=\bruch{1}{4}(\integral_{0}^{1}{f(x)e^{-inx\bruch{\pi}{2}}}+\integral_{1}^{2}{g(x)e^{-inx\bruch{\pi}{2}}dx}+\integral_{2}^{3}{h(x)e^{-inx\bruch{\pi}{2}}dx}+\integral_{3}^{4}{k(x)e^{-inx\bruch{\pi}{2}} dx})
[/mm]
Vielen Dank
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Und ja was ich noch vergessen hatte zu posten:
Die Formel lautet:
[mm] c_{n}=\bruch{1}{L}\integral_{0}^{L}{f(x)e^{-i\bruch{2\pi}{L}nx} dx}
[/mm]
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Hallo Boki87,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Wenn ich so einen Aufgabe habe die sich aus 4
> Teilintervallen zusammensetzt, welchen Ansatz muss ich dann
> wählen für [mm]c_{n}.[/mm]
>
> Die Funktionen für die Teilintervalle sind:
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{2}[/mm] (0-1)
> g(x)=-x+3 (1-2)
> h(x)=-x+3,5 (2-3)
> k(x)=-x+4 (3-4)
>
> Ist dann der Richtige Ansatz
>
> [mm]c_{n}=\integral_{0}^{1}{f(x)e^{-i2nx\pi} dx}+\bruch{1}{2}\integral_{1}^{2}{g(x)e^{-inx\pi}dx}+\bruch{1}{3}\integral_{2}^{3}{h(x)e^{-inx\bruch{2\pi}{3}} dx}+\bruch{1}{4}\integral_{3}^{4}{k(x)e^{-inx\bruch{\pi}{2}} dx}[/mm]
> also jedes Integral einzeln zu addieren
>
> oder wählt man für L einfach die Gesamtlänge von 4:
>
>
> [mm]c_{n}=\bruch{1}{4}(\integral_{0}^{1}{f(x)e^{-inx\bruch{\pi}{2}}}+\integral_{1}^{2}{g(x)e^{-inx\bruch{\pi}{2}}dx}+\integral_{2}^{3}{h(x)e^{-inx\bruch{\pi}{2}}dx}+\integral_{3}^{4}{k(x)e^{-inx\bruch{\pi}{2}} dx})[/mm]
Dieser Ansatz ist der richtige.
>
> Vielen Dank
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Di 20.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Danke schön, aber ich hätte trotzdem noch eine Frage.
Wofür steht denn das L genau, für die Anazahl der Teilbereiche oder für die Länge des Intervalls? Weil das verwirrt mich, weil das L sowohl vorne im Nenner, im Integral und auch im Exponent auftaucht.
Für das L im Integral setze ich ja etwas anderes ein wie für die anderen beiden L's.
Ich habe mir das folgend hergeleitet:
Ich habe zunächst für L=4 eingesetzt, da mein Integral von 0 bis 4 ging.
$ [mm] c_{n}=\bruch{1}{4}\integral_{0}^{4}{f(x)e^{-i\bruch{\pi}{2}nx} dx} [/mm] $
Und nun da ich verschiedene Funktionen für die einzelnen Bereiche des Integrals hatte, hab ich das Integral noch in seine Teilbereich aufgesplittet und addiert.
Mittlerweile habe ich aber den Verdacht, dass ich nur zufällig auf den richtigen Ansatz kam und mein Vorgehen falsch war.
Denn bei der Aufgabe
[Dateianhang nicht öffentlich]
habe ich festgestellt, dass L=2 ist, und das ist mit meiner obrigen Herleitung nicht zu erklären.
Ist es so, dass das L nicht mit der Länge des Gesamten Bereich zusammenhängt sondern einfach die Anzahl der Teilbereiche ist?
Aber wie lässt sich dann erklären das es auch im Integral steht?
Danke schön
Gruß
Boki87
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Boki87,
> Danke schön, aber ich hätte trotzdem noch eine Frage.
>
> Wofür steht denn das L genau, für die Anazahl der
> Teilbereiche oder für die Länge des Intervalls? Weil das
> verwirrt mich, weil das L sowohl vorne im Nenner, im
> Integral und auch im Exponent auftaucht.
L steht für die Lönge der Periode, demnach [mm]f\left(x\right)=f\left(x+L\right)[/mm]
>
> Für das L im Integral setze ich ja etwas anderes ein wie
> für die anderen beiden L's.
>
> Ich habe mir das folgend hergeleitet:
>
> Ich habe zunächst für L=4 eingesetzt, da mein Integral von
> 0 bis 4 ging.
>
> [mm]c_{n}=\bruch{1}{4}\integral_{0}^{4}{f(x)e^{-i\bruch{\pi}{2}nx} dx}[/mm]
>
> Und nun da ich verschiedene Funktionen für die einzelnen
> Bereiche des Integrals hatte, hab ich das Integral noch in
> seine Teilbereich aufgesplittet und addiert.
>
> Mittlerweile habe ich aber den Verdacht, dass ich nur
> zufällig auf den richtigen Ansatz kam und mein Vorgehen
> falsch war.
>
> Denn bei der Aufgabe
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> habe ich festgestellt, dass L=2 ist, und das ist mit meiner
> obrigen Herleitung nicht zu erklären.
>
> Ist es so, dass das L nicht mit der Länge des Gesamten
> Bereich zusammenhängt sondern einfach die Anzahl der
> Teilbereiche ist?
>
> Aber wie lässt sich dann erklären das es auch im Integral
> steht?
Die Formel
[mm]c_{n}=\bruch{1}{L}\integral_{0}^{L}{f(x)e^{-i\bruch{2\pi}{L}nx} \ dx}[/mm]
läßt sich mit Hilfe einer einfachen Transformation herleiten.
Ist nämlich
[mm]x=\bruch{L}{2\pi}y, \ f\left(x\right)=\tilde{f}\left(y\right)[/mm]
diejenige Abbildung die alle [mm]y \in \left[0,2\pi][/mm] auf [mm]x \in \left[0,L\right][/mm] abbildet,
so bekommst Du dann die ursprüngliche Formel.
[mm]c_{n}=\bruch{1}{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}{\tilde{f}(y)e^{-iny} \ dy}[/mm]
>
> Danke schön
>
> Gruß
> Boki87
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Di 20.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ok soweit ist mir alles klar, nur eine Sache bleibt noch.
Z.B. bei der Aufgabe 38, da ist ja gegeben das die Periode 2 ist. Also ist L=2.
Nun setzte ich z.B. in a_{n} überall für L 2 ein:
$ a_{n}=\bruch{2}{L}\integral_{0}^{L}{f(x)cos(\bruch{2\pi}{L}nx) dx} $
$ a_{n}=\integral_{0}^{2}{f(x)cos(\pi nx)} dx} $
Aber jetzt integrier ich ja nicht in den Grenzen von 0 bis 2 sondern von 0 bis 1 (von -1 bis 0 ist ja die Funktion 0). Und das verwirrt mich total, ich schreibe zwar eine 2 dort fürs L aber es ist gar nicht meine obere Grenze.
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Hallo Boki87,
> Ok soweit ist mir alles klar, nur eine Sache bleibt noch.
> Z.B. bei der Aufgabe 38, da ist ja gegeben das die Periode
> 2 ist. Also ist L=2.
>
> Nun setzte ich z.B. in [mm]a_{n}[/mm] überall für L 2 ein:
>
> [mm]a_{n}=\bruch{2}{L}\integral_{0}^{L}{f(x)cos(\bruch{2\pi}{L}nx) dx}[/mm]
>
> [mm]a_{n}=\integral_{0}^{2}{f(x)cos(\pi nx)} dx}[/mm]
>
> Aber jetzt integrier ich ja nicht in den Grenzen von 0 bis
> 2 sondern von 0 bis 1 (von -1 bis 0 ist ja die Funktion 0).
> Und das verwirrt mich total, ich schreibe zwar eine 2 dort
> fürs L aber es ist gar nicht meine obere Grenze.
>
Da für [mm]x \in \left[1,2\right[, f\left(x\right)=0[/mm] gilt,
ist obiges zu dem Integral
[mm]a_{n}=\integral_{0}^{1}{f(x)cos(\pi nx)} dx}[/mm]
Außerdem ist die Lage des Integrationsintervalls gleichgültig,
das heißt, es kann ebenso von [mm]-\bruch{L}{2}[/mm] bis [mm]\bruch{L}{2}[/mm] erstreckt werden.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Di 20.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Super vielen Dank für die Erklärung, solangsam krieg ich glaub den Durchblick :)
Noch eine kleine Frage, wie erkenne ich die Länge der Periode wenn sie nicht angegeben ist wie in der Aufgabe 38?
Also z.B. in der Aufgabe 37:
Entspricht der Bereich über dem sich die Funktion erstreckt der Länge der Periode? Also von 0 bis 4 -->Länge=4 -->L=4?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Di 20.01.2009 | | Autor: | smarty |
Hallo Boki,
> Super vielen Dank für die Erklärung, solangsam krieg ich
> glaub den Durchblick :)
>
> Noch eine kleine Frage, wie erkenne ich die Länge der
> Periode wenn sie nicht angegeben ist wie in der Aufgabe
> 38?
>
> Also z.B. in der Aufgabe 37:
>
> Entspricht der Bereich über dem sich die Funktion erstreckt
> der Länge der Periode? Also von 0 bis 4 -->Länge=4 -->L=4?
ja, und irgendwas in dieser Form (z.B. 'periodische Fortsetzung') ist bei solchen Aufgaben immer angegeben.
Viele Grüße
Smarty
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