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Affiner Raum (Defi. verstehen): Verständnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:21 Fr 02.08.2019
Autor: Boogie2015

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[https://matheplanet.com/] (Es ging nur dieser Link. Der direkte Link zur Frage wird nicht angezeigt)









Guten Abend an alle.

Ich beschäftige mich momentan mit der affinen Geometrie im Skript, und da gibt es ein paar Sachen, die ich nicht ganz verstehe. Ich hoffe, mir kann da jemand dabei helfen.

Ich habe Schwierigkeiten, den folgenden Abschnitt des Skripts zu verstehen.



Abschnitt
_______________________________________________________________________________________________________________________________________

Definition: Affiner Raum
________________________

Ein affiner Raum (AR) über $V$ ist eine Menge [mm] $\mathbb{A}(V) \neq [/mm] 0$, auf der $V$ scharf transitiv operiert.

Dabei ist [mm] $dim(\mathbb{A}(V)) [/mm] = dim(V)$



Anschaulich ist [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] der Vektorraum $V$ ohne ausgezeichneten Nullpunkt.


Erinnerung:


Eine Gruppe $G$ operiert auf der Menge, wenn jedes $g [mm] \in [/mm] G$ eine Bijektion $M [mm] \rightarrow [/mm] M, m [mm] \mapsto [/mm] g(m)$ definiert, so dass $G [mm] \rightarrow [/mm] Bij(M)$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Die Wirkung ist (scharf) transitiv, wenn es zu [mm] $m_{1}, m_{2}$ [/mm] ein (eindeutiges) $g [mm] \in [/mm] G$ mit [mm] $g(m_{1}) [/mm] = [mm] m_{2}$ [/mm] gibt.






Ein $P [mm] \in \mathbb{A}(V)$ [/mm] heißt (affiner) Punkt, ein $v [mm] \in [/mm] V$ Richtung. Das Bild von $P [mm] \in \mathbb{A}(V)$ [/mm] unter der Wirkung von $v [mm] \in [/mm] V$ wird mit $P + v$ bezeichnet, die Parallelverschiebung (Translation) von $P$ um $v$.

Der eindeutige Vektor, der $P$ auf $Q$ verschiebt, heißt Ortvektor von $Q$ bzg. $P$

Notation: [mm] $\vec{PQ} \in [/mm] V$



Da eine Gruppenwirkung vorliegt, gilt für alle $P, Q, R [mm] \in \mathbb{A}(V)$: [/mm]


[mm] $\vec{PR} [/mm] = [mm] \vec{PQ} [/mm] + [mm] \vec{QR}$ [/mm]

[mm] $\vec{PP} [/mm] = [mm] 0_{V}$ [/mm] und [mm] $\vec{PQ} [/mm] = - [mm] \vec{QP}$ [/mm]

_______________________________________________________________________________________________________________________________________

Ich bitte um Verzeihung für den etwas langen Abschnitt, aber ich denke, das ist wichtig.
Das war der ganze Abschnitt und dazu habe ich ein paar Fragen.


Ich stelle erst einmal eine. Denn vielleicht klären sich alle anderen mit der Beantwortung dieser Frage...



1) Was bedeutet "scharf transitiv operiert"?

Ich meine, weiter unten steht es ja, aber ich kann mir nichts darunter vorstellen. Auf Wikipedia komme ich auch nicht richtig weiter.

Gibt es einfaches Beispiel dazu, um sich ein Bild von einer "scharfen transitiven Operation" machen zu können?

Ich muss das verstehen, weil er den unteren Rest mit diesen Begriffen arbeitet...


Bin für jede Hilfe dankbar.




        
Bezug
Affiner Raum (Defi. verstehen): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:01 Sa 03.08.2019
Autor: tobit09

Hallo Boogie und herzlich [willkommenmr]!


I) Ich beginne mal mit einem anschaulichen außermathematischen Beispiel:

Sei $V$ der [mm] $\IR$-Vektorraum $\IR^3$ [/mm] und  [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] die Menge der Punkte der (vereinfachend als dreidimensional vorgestellten) realen Welt. [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] sieht im Prinzip wie [mm] $V=\IR^3$ [/mm] aus. Aber während sich Vektoren aus [mm] $V=\IR^3$ [/mm] addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren lassen, macht es nicht ohne Weiteres Sinn, Punkte aus [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] miteinander zu addieren oder mit einer reellen Zahl zu multiplizieren. Während $V$ einen ausgezeichneten Nullvektor besitzt, sind in [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] alle Punkte gewissermaßen gleichberechtigt.

Nun kann man sich die Vektoren [mm] $v\in [/mm] V$ als Verschiebungen im Raum vorstellen, also als Abbildungen [mm] $\tilde{v}\colon \mathbb{A}(V) \to \mathbb{A}(V)$, [/mm] die jedem Punkt $P$ einen neuen Punkt [mm] $\tilde{v}(P)$ [/mm] zuordnet, der aus $P$ durch Verschiebung um $v$ entsteht. Statt [mm] $\tilde{v}(P)$ [/mm] schreibt man auch $P+v$.


II) Ein beliebiger affiner Raum über einem Vektorraum $V$ besteht nun aus einer beliebigen nichtleeren Menge [mm] $\mathbb{A}(V)$, [/mm] die wir uns als Menge der "Punkte" vorstellen, und zu jedem Vektor [mm] $v\in [/mm] V$ einer Abbildung [mm] $\tilde{v}\colon \mathbb{A}(V)\to\mathbb{A}(V), \tilde{v}(P)=P+v$ [/mm] (die wir uns als "Verschiebung" um $v$ vorstellen können).

Damit man von einem affinen Raum sprechen kann, müssen definitionsgemäß folgende Eigenschaften gegeben sein:

1. Die Verschiebungen [mm] $\tilde{v}$ [/mm] sind jeweils bijektiv. Das bedeutet: Je zwei verschiedenen Punkte werden von [mm] $\tilde{v}$ [/mm] auch auf verschiedene Punkte verschoben (Injektivität) und zu jedem Punkt [mm] $Q\in\mathbb{A}(V)$ [/mm] existiert ein Punkt [mm] $P\in\mathbb{A}(V)$, [/mm] der von [mm] $\tilde{v}$ [/mm] auf $Q$ verschoben wird (d.h. [mm] $\tilde{v}(P)=Q$) [/mm] (Surjektivität).

2. Die Abbildung [mm] $V\to\text{Bij}(\mathbb{A}(V)), v\to\tilde{v}$ [/mm] ist ist ein Gruppenhomomorphismus (wenn man $V$ als additive Gruppe und [mm] $Bij(\mathbb{A}(V))$ [/mm] mit der Verkettung von Abbildungen als Verknüpfung versieht.) Das heißt: Für alle [mm] $v,w\in [/mm] V$ gilt [mm] $\widetilde{v+w}=\tilde{v}\circ\tilde{w}$. [/mm] Das heißt wiederum: Für alle [mm] $P\in\mathbb{A}(V)$ [/mm] gilt $P+(v+w)=(P+w)+v$. In Worten: Ob man $P$ um $v+w$ verschiebt oder $P$ erst um $w$ verschiebt und dann den erhaltenen Punkt um $v$ verschiebt: Man landet in beiden Fällen letztlich beim gleichen Punkt.

3. Die Abbildung [mm] $V\to\text{Bij}(\mathbb{A}(V)), v\to\tilde{v}$ [/mm] ist scharf transitiv, d.h. zu je zwei Punkten [mm] $P,Q\in\mathbb{A}(V)$ [/mm] existiert stets genau ein Vektor [mm] $v\in [/mm] V$, der $P$ auf $Q$ verschiebt (d.h. mit $P+v=Q$).

Die Verschiebungen [mm] $\tilde{v}$ [/mm] werden in "deinem" Text einfach wieder mit $v$ bezeichnet.


Soweit mein erster Input. Ich freue mich über Rückfragen. :-)

Viele Grüße
Tobias


Bezug
                
Bezug
Affiner Raum (Defi. verstehen): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:16 Sa 03.08.2019
Autor: Boogie2015

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Erst einmal vielen herzlichen Dank für die ausführliche Antwort!

Ich hätte zu den folgenden Punkten ein paar Fragen :-)




Zu I
_____

Was meint man die ganze Zeit mit dem "ausgezeichneten Nullvektor"? Das lese ich schon öfter, aber weiß nicht, was damit gemeint ist. Was meint man mit "ausgezeichnet"?

Und im Skript steht dann: "Anschaulich ist $\mathbb{A}(V)$ der Vektorraum $V$ ohne ausgezeichneten Nullpunkt"


Hat also die Menge $\mathbb{A}(V)$  nie einen "ausgezeichneten" Nullpunkt?
Bzw. wenn $V$ auf der Menge $\mathbb{A}(V)$ scharf transitiv operiert, folgt dann daraus, dass $\mathbb{A}(V)$ keinen "ausgezeichneten Nullpunkt" hat?

Falls ja, warum ?


Und zu Verschiebung:



Es macht Sinn, dass es zu jedem Vektor $v$ eine Abbildung $\tilde{v}: \mathbb{A}(V} \rightarrow \mathbb{A}(V}, P \mapsto P + v$. Wir bilden also einen beliebigen Punkt $P$ auf seine Verschiebung um $v$.



Zu II
_____

Was genau ist $\mathbb{A}(V)$ ? Eine Teilmenge von $V$ oder $V$ mit bestimmten Eigenschaften?

Die 1) macht Sinn. Ist intuitiv vollkommen klar, zumindest für $V = R^{3}$ :-)



Zu 2)
_____



Bevor ich etwas dazu schreibe, erkläre ich mal in eigenen Worten, was es bedeutet, wenn eine Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ operiert. Bin mir nicht ganz sicher, ob ich das verstanden habe.Bitte korrigiere mich, wenn ich Unsinn schreibe :-D

________________________________________________________________________________________________________________________________
Im Skript steht folgendes:

"Eine Gruppe $G$ operiert auf der Menge $M$, wenn jedes $g \in G$ eine Bijektion $B_{g}: M \rightarrow M, m \rightarrow g(m)$ definiert, s.d. $f: G \rightarrow Bij(M)$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Die Wirkung ist (scharf ) transitiv, wenn es zu $m1, m2$ ein (eindeutiges) $g \in G$ mit $g(m1) = m2$ gibt"


Okay, ich habe also eigentlich eine Abbildung $f$, die ein Gruppenelement $g \in G$ auf eine andere Abbildung $B_{g}$ schickt, richtig? (wie nennt man diese Art von Abbildungen eigentlich?)

Die Abbildung sieht dann so aus: $f: G \rightarrow Bij(M), g \mapsto B_{g}$. Diese Abbildung $f$ muss ein Gruppenhomomorphismus sein und $B_{g}$ bijektiv, damit die Gruppe $G$ auf der Menge $M$ operiert.


Und was genau ist $Bij(M)$? Einfach die Menge aller $B_{g}$ mit $g \in G$?

________________________________________________________________________________________________________________________________



Habe ich das so richtig verstanden? Falls ja, dann versuche ich das mal auf dein Beispiel zu übertragen.


Wir haben einen Vektorraum $V$, in denen wir Elemente $v \in V$ addieren. Insbesondere ist unsere

Gruppe $(G, \star) = (V, +)$.


Meine Menge $M$ wäre in diesem Fall $M = \mathbb{A}(V)$ und $m = P \in \mathbb{A}(V)$.

Wenn $V$ nun auf \mathbb{A}(V)$ operiert, dann gibt es für jedes $v \in V$ eine Bijektion $B_{v}: \mathbb{A}(V) \rightarrow \mathbb{A}(V), P \mapsto B_{v}(P) = P + v$ definiert, so dass $f: V \rightarrow Bij(\mathbb{A}(V)), v \mapsto B_{v}$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Und in diesem Fall ist $f$ ein Gruppenhomomorphismus, denn


$f(v + w) = B_{v + w}(v + w) = P + (v + w)  \overset{\text{Komm.}}{\underset{\text{in V}}{=}} P + (w + v)  \overset{\text{Assoz.}}{\underset{\text{in V}}{=}} (P + w) + v = B_{v}(B_{w}(w)) = (B_{v} \circ B_{w})(w) = f(v) \circ f(w)$


Stimmt der Beweis?





Ich bitte um Verzeihung, wenn das etwas lang geworden ist. Ich schreibe seit fast 90 Minuten :-)

Ich freue mich auf eine Rückmeldung!


Einen schönen Abend noch,

Boogie2015

Bezug
                        
Bezug
Affiner Raum (Defi. verstehen): Teil II)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:22 Sa 03.08.2019
Autor: tobit09

Hallo Boogie,

schön das du dir viel Mühe machst. [ok]
Da merke ich, dass sich die von mir investierte Zeit lohnt... :-)

Ich teile meine Antwort mal in zwei Teile auf und fange mit II) an.


> Zu II
>  _____
>  
> Was genau ist [mm]\mathbb{A}(V)[/mm] ? Eine Teilmenge von [mm]V[/mm] oder [mm]V[/mm]
> mit bestimmten Eigenschaften?

Nein, [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] ist im Rahmen der allgemeinen Definition eines affinen Raumes erst einmal eine beliebige Menge, die man sich typischerweise nicht als Teilmenge von $V$ vorstellen sollte.

(Man kann sich überlegen, dass jede Menge [mm] $\mathbb{A}(V)$, [/mm] die zusammen mit einer Gruppenwirkung einen affinen Raum bildet, genau so groß wie $V$ ist in dem Sinne, dass es Bijektionen zwischen [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] und $V$ gibt.)

> Zu 2)
>  _____
> Bevor ich etwas dazu schreibe, erkläre ich mal in eigenen
> Worten, was es bedeutet, wenn eine Gruppe [mm]G[/mm] auf einer Menge
> [mm]M[/mm] operiert. Bin mir nicht ganz sicher, ob ich das
> verstanden habe.Bitte korrigiere mich, wenn ich Unsinn
> schreibe :-D

Gute Methode! [ok]


>  Im Skript steht folgendes:
>  
> "Eine Gruppe [mm]G[/mm] operiert auf der Menge [mm]M[/mm], wenn jedes [mm]g \in G[/mm]
> eine Bijektion [mm]B_{g}: M \rightarrow M, m \rightarrow g(m)[/mm]
> definiert, s.d. [mm]f: G \rightarrow Bij(M)[/mm] ein
> Gruppenhomomorphismus ist.
>
> Die Wirkung ist (scharf ) transitiv, wenn es zu [mm]m1, m2[/mm] ein
> (eindeutiges) [mm]g \in G[/mm] mit [mm]g(m1) = m2[/mm] gibt"
>  
>
> Okay, ich habe also eigentlich eine Abbildung [mm]f[/mm], die ein
> Gruppenelement [mm]g \in G[/mm] auf eine andere Abbildung [mm]B_{g}[/mm]
> schickt, richtig?

Ja. $f$ bildet JEDES Gruppenelement [mm] $g\in [/mm] G$ auf eine Abbildung [mm] $B_g$ [/mm] ab.

> (wie nennt man diese Art von Abbildungen
> eigentlich?)

Da muss ich passen; mir fällt kein spezieller gebräuchlicher Begriff ein.


> Die Abbildung sieht dann so aus: [mm]f: G \rightarrow Bij(M), g \mapsto B_{g}[/mm].
> Diese Abbildung [mm]f[/mm] muss ein Gruppenhomomorphismus sein und
> [mm]B_{g}[/mm]

für jedes [mm] $g\in [/mm] G$ jeweils

> bijektiv, damit die Gruppe [mm]G[/mm] auf der Menge [mm]M[/mm]
> operiert.

[ok]


> Und was genau ist [mm]Bij(M)[/mm]? Einfach die Menge aller [mm]B_{g}[/mm] mit
> [mm]g \in G[/mm]?

Nein, mit $Bij(M)$ ist die Menge ALLER Bijektionen [mm] $M\to [/mm] M$ gemeint.


> Habe ich das so richtig verstanden?

Ja, sieht aus meiner Sicht gut aus.
Und du stellst dir für meinen Geschmack sinnvolle Fragen! [ok]

> Falls ja, dann versuche
> ich das mal auf dein Beispiel zu übertragen.
>  
>
> Wir haben einen Vektorraum [mm]V[/mm], in denen wir Elemente [mm]v \in V[/mm]
> addieren. Insbesondere ist unsere
>  
> Gruppe [mm](G, \star) = (V, +)[/mm].
>  
>
> Meine Menge [mm]M[/mm] wäre in diesem Fall [mm]M = \mathbb{A}(V)[/mm] und [mm]m = P \in \mathbb{A}(V)[/mm].
>  
> Wenn $V$ nun auf [mm]\mathbb{A}(V)$[/mm] operiert, dann gibt es für
> jedes $v [mm]\in[/mm] V$ eine Bijektion [mm]$B_{v}: \mathbb{A}(V) \rightarrow \mathbb{A}(V),[/mm]
> P [mm]\mapsto B_{v}(P)[/mm] = P + v$ definiert, so dass $f: V
> [mm]\rightarrow Bij(\mathbb{A}(V)),[/mm] v [mm]\mapsto B_{v}$[/mm] ein
> Gruppenhomomorphismus ist.

[ok]
Wobei P+v nur eine Schreibweise ist für [mm] $B_v(P)$. [/mm] (*)


> [mm]f(v + w) = B_{v + w}(v + w)[/mm]

Rechts müsste es [mm] $B_{v+w}$ [/mm] statt [mm] $B_{v+w}(v+w)$ [/mm] heißen. [mm] $B_{v+w}$ [/mm] ist eine Abbildung [mm] $\mathbb{A}(V)\to\mathbb{A}(V)$, [/mm] da kann man keine Vektoren aus V, sondern nur Punkte aus [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] einsetzen.

> [mm]= P + (v + w)[/mm]

Richtig wäre [mm] $B_{v+w}(P)=P+(v+w)$. [/mm] Die rechte Seite ist dann eine andere Schreibweise für die linke Seite.


> [mm] \overset{\text{Komm.}}{\underset{\text{in V}}{=}} P + (w + v) [/mm]

Ja.

> [mm]\overset{\text{Assoz.}}{\underset{\text{in V}}{=}} (P + w) + v[/mm]

Nein, hier kannst du nicht mit der Assoziativität von + in V argumentieren.
Zum einen ist P im Allgemeinen kein Vektor aus V, zum anderen bezeichnen hier manche beteiligten + nicht die Vektoraddition aus V:

Mache dir einmal klar, wofür die verschiedenen + stehen:

In P + (w + v)  ist das rechte + die Vektoraddition von V. Die Summe w+v ist ein wieder Vektor in V.
P ist ein Punkt aus [mm] $\mathbb{A}(V)$. [/mm]
Das linke + in P+(w+v) ist Bestandteil der oben von mir erwähnten Schreibweise (*).
P+(w+v) ist ein Punkt aus [mm] $\mathbb{A}(V)$. [/mm]

In (P + w) + v stehen beide + für die Schreibweise (*). Zunächst ist P+w ein Punkt aus [mm] $\mathbb{A}(V)$, [/mm] dann ist (P+w)+v wiederum ein Punkt aus [mm] $\mathbb{A}(V)$. [/mm]

> [mm]= B_{v}(B_{w}(w))[/mm]

Hier müsste es [mm] B_v(B_w(P)) [/mm] heißen.

> [mm]= (B_{v} \circ B_{w})(w) = f(v) \circ f(w)[/mm]

Es gilt [mm] $B_v(B_w(P))=(B_v\circ B_w)(P)=(f(v)\circ [/mm] f(w))(P)$.


> Stimmt der Beweis?

Nein.
Ich bin mir nicht sicher, was du beweisen möchtest?

a) In meinem Beispiel aus I) mit [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] die Menge der Punkte der (idealisiert vorgestellten) realen Welt ist f ein Gruppenhomomorphismus.

oder

b) Im allgemeinen Setting von II) [mm] ($\mathbb{A}(V)$ [/mm] eine beliebige Menge, f eine beliebige Abbildung [mm] $f\colon V\to Bij(\mathbb{A}(V))$) [/mm] ist f ein Gruppenhomomorphismus.

Zu a): Dies lässt sich durch eine Skizze mit einem Dreieck veranschaulichen, aber nicht formal beweisen, da die Menge der Punkte der idealisiert vorgestellten realen Welt kein formalisiertes mathematisches Objekt ist.

Zu b): Diese Aussage lässt sich nicht beweisen, denn sie stimmt schlichtweg nicht. Man schränkt sich vielmehr per Definition auf die Mengen [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] und Abbildungen [mm] $f\colon V\to Bij(\mathbb{A}(V))$ [/mm] ein, die Gruppenhomomorphismen sind und spricht in allen anderen Situationen NICHT von einem affinen Raum über V.

WENN jedoch [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] mit der Abbildung [mm] $f\colon V\to Bij(\mathbb{A}(V))$ [/mm] einen affinen Raum bildet, gilt für alle [mm] $v,w\in [/mm] V$ und alle [mm] $P\in\mathbb{A}(V)$: [/mm]

[mm] $P+(v+w)=B_{v+w}(P)$ [/mm]    (Schreibweise (*))
$=f(v+w)(P)$          [mm] ($B_{v+w}$ [/mm] war als $f(v+w)$ eingeführt)
[mm] $=(f(v)\circ [/mm] f(w))(P)$       (f ist Gruppenhomomorphismus)
$=f(v)(f(w)(P))$        (Definition Verkettung)
[mm] $=B_{v}(B_w(P))$ ($B_v$ [/mm] und [mm] $B_w$ [/mm] waren als f(v) bzw. f(w) eingeführt)
[mm] $=B_v(P+w)=(P+w)+v$ [/mm]    (jeweils Schreibweise (*))


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                
Bezug
Affiner Raum (Defi. verstehen): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:14 Fr 09.08.2019
Autor: Boogie2015

Hallo! :-) Erst einmal danke erneut für die ausführliche Antwort und verzeihe mir meine späte Rückmeldung. Ich lerne zurzeit für 3 Klausuren und versuche Geometrie für das nächste Semester parallel vorzuarbeiten. An manchen Tagen habe ich ein bisschen Zeit dafür, an manchen nicht. Außerdem wollte ich die Frage schon am Mittwoch posten, aber das war dann wegen den Wartungsarbeiten nicht mehr möglich.


Ich habe mir deine Antworten Teil I und II durchgelesen und fand sie sehr hilfreich. Dazu habe ich keine Fragen mehr. Für dein Engagement sollte man dich belohnen, das ist nämlich überhaupt nicht selbstverständlich.

Ich habe mir gestern noch ein paar Fragen aufgeschrieben, die mich noch verwirren. Danach wäre das Thema, denke ich, erst einmal abgeschlossen und ich  hoffe mit den gewonnen Erkenntnissen dann endlich ein Stück weiter im Skript weiter zu kommen.

Ich weiß leider nicht, wie man hier Bilder hochlädt, weshalb ich die Textpassagen aus meinem Skript abtippen muss.





Ich tippe folgenden Textabschnitt des Skripts ab. Das wäre der Anfang zum Kapitel "Affine Räume über Vektorräumen"

___________________________________________________________________________________________________


2.1 Affine Räume über Vektorräumen



Sei $V$  ein n–dimensionaler Vektorraum über dem Körper $K$ . Etwas allgemeiner kann $K$ ein Schiefkörper
sein, d.h. auf Kommutativität der Multiplikation wird verzichtet, $V$ ein links-Vektorraum. Die Wahl einer
Basis von $V$ ist dasselbe wie ein Isomorphismus $V [mm] \cong K^{n}$ [/mm] von Vektorräumen.

Das Bild von $v$ ist der Koordinatenvektor von $v$ bzgl. der gewählten Basis.


Definition

Ein affiner Raum (AR) über $V$ ist eine Menge [mm] $\mathbb{A}(V) \neq \emptyset$, [/mm] auf der $V$ scharf transitiv operiert.
Dabei ist [mm] $dim(\mathbb{A}(V) [/mm] ) := dim(V)$.


Anschaulich ist [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] der Vektorraum $V$ ohne ausgezeichneten Nullpukt, vgl. (2.2), V spielt die Rolle
des Richtungsraums.





Ein $P [mm] \in \mathbb{A}(V)$ [/mm] heißt (affiner) Punkt, ein $v [mm] \in [/mm] V$ Richtung.

Das Bild von $P [mm] \in \mathbb{A}(V)$ [/mm] unter der Wirkung
von $v [mm] \in [/mm]  V$ wird mit $P + v$ bezeichnet, die Prallelverschiebung (Translation) von $P$ um $v$. Der eindeutige
Vektor, der $P$ auf $Q$ verschiebt, heißt Ortsvektor von $Q$ bzgl. $P$.


Notation: [mm] $\vec{PQ} \in [/mm] V$



Da eine Gruppenwirkung vorliegt, gilt für alle $P, Q, R [mm] \in \mathbb{A}(V)$: [/mm]


[mm] $\vec{PR} [/mm] = [mm] \vec{PQ} [/mm] + [mm] \vec{QR}$ [/mm]

[mm] $\vec{PP} [/mm] = [mm] 0_{V}$ [/mm]

[mm] $\vec{PQ} [/mm] = - [mm] \vec{QP}$ [/mm]

Anders notiert:


$ (P + v') + v = P + (v + v')$

$P + [mm] 0_{V} [/mm] = P$
__________________________________________________________________________


1. Frage
_______



Das heißt, dass bei einem affinen Raum die Menge $V$ immer ein Vektorraum ist? Wenn $V$ kein Vektorraum ist, dann handelt es sich nicht um einen affinen Raum, oder?


2. Frage
_______


Falls $V$   immer ein Vektorraum   sein sollte, dann ist $V$   nicht unbedingt der [mm] $\mathbb{K}^{n}$, [/mm] oder?

$V$ kann dann zum Beispiel auch der Vektorraum der Funktionen sein, deren Elemente eben keine Vektoren, sondern Funktionen sind.

Stimmt das?


3. Frage

______

Du hast geschrieben, dass man sich [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] nicht unbedingt als eine Teilmenge von $V$ vorstellen sollte. Es kann also eine völlig andere Menge sein.

Kann also bei einem affinen Unterraum es z.B. dann sein, dass $V$ der Vektorraum der Funktionen ist und [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] die Menge irgendwelcher Matrizen?

Inwieweit man da zwischen diese beiden Mengen eine sinnvolle Operation definieren kann, sei mal dahin gestellt.

Aber theoretisch ist es möglich, oder?



4. Frage
_______

"Anschaulich ist [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] der Vektorraum $V$ ohne ausgezeichneten Nullpukt, vgl. (2.2), V spielt die Rolle
des Richtungsraums."


Mit dieser Anschaulichkeit ist wohl dein Beispiel mit $V = [mm] \mathbb{R}^{3}$ [/mm] gemeint, oder?



5. Frage
_______


Warum kann man sich das nicht einfacher machen? Also in dem Sinne, dass $V = [mm] \mathbb{R}^{n}$ [/mm] ist und [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm]  eine Teilmenge von $V$ ist?
Dann kann man sich darunter wirklich etwas vorstellen. Gut, natürlich bis für $n [mm] \le [/mm] 3$.

Ich meine, die Definition eines affinen Raums entstand doch aus der Veranschaulichung für $V = [mm] \mathbb{R}^{n}$ [/mm] für $n [mm] \le [/mm] 3$, oder etwa nicht?


Aber wenn $V$ irgendein Vektorraum ist (z.B VR der Funktionen) und [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] irgendeine Menge (z.B. Menge von Matrizen), dann geht die Anschaulichkeit  für mich total verloren. Wie genau sollte man sich hier eine "Parallelverschiebung" vorstellen, wenn unsere Punkte keine Vektoren sind, sondern z.B. Matrizen?

Inwieweit macht es Sinn, das so sehr zu verallgemeinern? Ich meine, für solchen komische Vektorräume hat man keine graphische Interpretationsmöglichkeiten (denke ich mal).

Zumindest in der Geometrie sollte vieles auf Anschaulichkeit basieren.



6. Frage
_______


Hättest du vielleicht einen konkreten affinen Raum, bei dem $V$ nicht der [mm] $\mathbb{K}^{n}$ [/mm] ist und [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] nicht die Menge irgendwelcher Vektoren aus dem [mm] $\mathbb{K}^{n}$? [/mm]

Damit ich mit komplett vom Gedanken distanzieren kann, dass ein affiner Raum immer im Zusammenhang mit dem [mm] $\mathbb{K}^{n}$ [/mm] auftritt?

Ich habe heute morgen versucht, mir so einen affinen Raum zu basteln, jedoch ohne Erfolg...


7. Frage
______

Warum folgt aus der Gruppenwirkung, dass die Eigenschaften [mm] $\vec{PR} [/mm] = [mm] \vec{PQ} [/mm] + [mm] \vec{QR}$ [/mm]

[mm] $\vec{PP} [/mm] = [mm] 0_{V}$ [/mm]

[mm] $\vec{PQ} [/mm] = - [mm] \vec{QP}$ [/mm]

gelten?



So, das war erst einmal. Das sind meine letzten Fragen.

Ich wünsche dir noch einen schönen Tag :-)

Mfg, Boogie



Bezug
                                        
Bezug
Affiner Raum (Defi. verstehen): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:03 So 11.08.2019
Autor: tobit09

Guten Morgen Boogie!


> 1. Frage
>  _______
>  
>
>
> Das heißt, dass bei einem affinen Raum die Menge [mm]V[/mm] immer
> ein Vektorraum ist? Wenn [mm]V[/mm] kein Vektorraum ist, dann
> handelt es sich nicht um einen affinen Raum, oder?

Ja, wann immer man von einem Affinen Raum [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] über einem Vektorraum V spricht, setzt man insbesondere voraus, dass die Menge V mit der Struktur eines Vektorraumes versehen ist.

(Sicherheitshalber: Man kann Mengen nicht ohne Weiteres in "Vektorräume" und "Nicht-Vektorräume" einteilen. Vielmehr kann man Mengen mit verschiedenen Verknüpfungen + und äußeren Verknüpfungen * versehen. Bezüglich jeder solchen Wahl von + und * bildet eine Menge dann einen Vektorraum oder eben nicht.)


> 2. Frage
>  _______
>  
>
> Falls [mm]V[/mm]  immer ein Vektorraum  sein sollte, dann ist [mm]V[/mm]  
> nicht unbedingt der [mm]\mathbb{K}^{n}[/mm], oder?
>  
> [mm]V[/mm] kann dann zum Beispiel auch der Vektorraum der Funktionen
> sein, deren Elemente eben keine Vektoren, sondern
> Funktionen sind.
>  
> Stimmt das?

Ja, absolut.

(Lediglich als endlich-dimentional ist V bei euch offenbar vorausgesetzt.)



> 3. Frage
>  
> ______
>  
> Du hast geschrieben, dass man sich [mm]\mathbb{A}(V)[/mm] nicht
> unbedingt als eine Teilmenge von [mm]V[/mm] vorstellen sollte. Es
> kann also eine völlig andere Menge sein.
>  
> Kann also bei einem affinen Unterraum es z.B. dann sein,
> dass [mm]V[/mm] der Vektorraum der Funktionen ist und [mm]\mathbb{A}(V)[/mm]
> die Menge irgendwelcher Matrizen?
>  
> Inwieweit man da zwischen diese beiden Mengen eine
> sinnvolle Operation definieren kann, sei mal dahin
> gestellt.
>  
> Aber theoretisch ist es möglich, oder?

Ja, absolut.

Wenn du schon den Spezialfall [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] eine Teilmenge von V betrachten möchtest, solltest du dir zumindest [mm] $\mathbb{A}(V)=V$ [/mm] vorstellen.
Denn ich wüsste keine "sinnvolle" Wahl eines affinen Raumes [mm] $\mathbb{A}(V)$, [/mm] so dass [mm] $\mathbb{A}$ [/mm] eine echte Teilmenge von V ist.


> 4. Frage
>  _______
>  
> "Anschaulich ist [mm]\mathbb{A}(V)[/mm] der Vektorraum [mm]V[/mm] ohne
> ausgezeichneten Nullpukt, vgl. (2.2), V spielt die Rolle
>  des Richtungsraums."
>  
>
> Mit dieser Anschaulichkeit ist wohl dein Beispiel mit [mm]V = \mathbb{R}^{3}[/mm]
> gemeint, oder?

Ich würde sagen: Nicht zwangsläufig. Auch im allgemeineren Setting kann man diese Vorstellung zur Veranschaulichung nutzen. Aber eine solche Anschauung ist natürlich etwas Subjektives und nichts mathematisch Beweisbares.


> 5. Frage
>  _______
>  
>
> Warum kann man sich das nicht einfacher machen? Also in dem
> Sinne, dass [mm]V = \mathbb{R}^{n}[/mm] ist und [mm]\mathbb{A}(V)[/mm]  eine
> Teilmenge von [mm]V[/mm] ist?
>  Dann kann man sich darunter wirklich etwas vorstellen.
> Gut, natürlich bis für [mm]n \le 3[/mm].

Ist das wirklich einfacher? Man braucht diese Einschränkung einfach nicht. So erhält man eine allgemeinere auf mehr Situationen anwendbare Theorie.


> Ich meine, die Definition eines affinen Raums entstand doch
> aus der Veranschaulichung für [mm]V = \mathbb{R}^{n}[/mm] für [mm]n \le 3[/mm],
> oder etwa nicht?

Da muss ich passen; das weiß ich nicht.


> Aber wenn [mm]V[/mm] irgendein Vektorraum ist (z.B VR der
> Funktionen) und [mm]\mathbb{A}(V)[/mm] irgendeine Menge (z.B. Menge
> von Matrizen), dann geht die Anschaulichkeit  für mich
> total verloren. Wie genau sollte man sich hier eine
> "Parallelverschiebung" vorstellen, wenn unsere Punkte keine
> Vektoren sind, sondern z.B. Matrizen?

Wie die Parallelverschiebung konkret aussieht, hängt natürlich von ihrer konkreten Wahl ab. ;-)

Unabhängig davon finde ich es hilfreich, gar nicht so sehr auf die konkrete "Parallelverschiebungs-Vorschrift" zu achten, sondern sich allgemein irgendeinen "Punktbegriff" und irgendeinen "Verschiebungsbegriff" vorzustellen.


> Inwieweit macht es Sinn, das so sehr zu verallgemeinern?
> Ich meine, für solchen komische Vektorräume hat man keine
> graphische Interpretationsmöglichkeiten (denke ich mal).

Ich hole dazu ein bisschen aus:

Während man in der Schule nur mit reellen Zahlen gearbeitet hat, abstrahiert man an der Uni von diesem konkreten Körper und untersucht auch andere Körper bzw. den allgemeinen Körperbegriff.

Während man in der Schule euklidische Geometrie gelernt hat, werden heutzutage auch andere Geometrien (z.B. ohne Parallelenaxiom) untersucht.

Während man in der Schule nur den Vektorraum [mm] $\IR^3$ [/mm] (und evt. [mm] $\IR^3$) [/mm] kennengelernt hat, untersucht man an der Uni den allgemeinen Vektorraumbegriff.

Man ist heutzutage generell sehr an Verallgemeinerungen interessiert, die den Blick von den konkreten Details der konkreten Beispiele weglenken auf die "strukturellen Gegebenheiten", die die "wesentlichen Charakteristiken" ausmachen.


> Zumindest in der Geometrie sollte vieles auf
> Anschaulichkeit basieren.

Ich habe keinen missionarischen Eifer, dich vom Gegenteil zu überzeugen... ;-)
Und gerade als künftiger Lehrer ist das sicherlich auch eine gute Einstellung für den Schulunterricht.


> 6. Frage
>  _______
>  
>
> Hättest du vielleicht einen konkreten affinen Raum, bei
> dem [mm]V[/mm] nicht der [mm]\mathbb{K}^{n}[/mm] ist und [mm]\mathbb{A}(V)[/mm] nicht
> die Menge irgendwelcher Vektoren aus dem [mm]\mathbb{K}^{n}[/mm]?
>  
> Damit ich mit komplett vom Gedanken distanzieren kann, dass
> ein affiner Raum immer im Zusammenhang mit dem
> [mm]\mathbb{K}^{n}[/mm] auftritt?
>  
> Ich habe heute morgen versucht, mir so einen affinen Raum
> zu basteln, jedoch ohne Erfolg...

Am Ende von der mit "Teil I)" überschriebenen vorherigen Antwort habe ich dir bereits einen affinen Raum, deren Punkte die Farben rot und blau sind, gebastelt.
Wenn dir das zu unmathematisch ist, ersetze rot und blau von mir aus durch $e$ und [mm] $\pi$... [/mm] ;-)

Allgemeines anderes Beispiel:
Sei V irgendein endlichdimensionaler Vektorraum, [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] irgendeine Menge und [mm] $\varphi\colon \mathbb{A}(V)\to [/mm] V$ irgendeine Bijektion.
Dann wird durch [mm] $P+v:=\varphi^{-1}(\varphi(P)+v)$ [/mm] für alle [mm] $P\in\mathbb{A}(V)$ [/mm] und alle [mm] $v\in [/mm] V$ die Menge [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] zu einem affinen Raum.
(Beachte: P+v meint die Parallelverschiebung von P um v, [mm] $\varphi(P)+v$ [/mm] meint die Summe der beiden Vektoren [mm] $\varphi(P)$ [/mm] und $v$ bezüglich der Vektoraddition in V.)


> 7. Frage
>  ______
>  
> Warum folgt aus der Gruppenwirkung, dass die Eigenschaften

1.

> [mm]\vec{PR} = \vec{PQ} + \vec{QR}[/mm]
>

2.

> [mm]\vec{PP} = 0_{V}[/mm]
>  

3.

> [mm]\vec{PQ} = - \vec{QP}[/mm]
>  
> gelten?

Zu 1.:
[mm] $\vec{PR}$ [/mm] ist per Definition der eindeutig bestimmte Vektor [mm] $v\in [/mm] V$ mit $P+v=R$.
Es genügt also zu zeigen, dass [mm] $v:=\vec{PQ} [/mm] + [mm] \vec{QR}$ [/mm] der Eigenschaft $P+v=R$ genügt.
Rechnen wir das nach:
[mm] $P+v=P+(\vec{PQ} [/mm] + [mm] \vec{QR}) [/mm] = [mm] (P+\vec{PQ})+\vec{QR}=Q+\vec{QR}=R$. [/mm]
(Überlege dir bei jedem Gleichheitszeichen, warum es gilt!)

Zu 2.:
Es genügt nach Definition von [mm] $\vec{PP}$, [/mm] die Gleichheit [mm] $P+0_V=P$ [/mm] zu zeigen.
Es gilt [mm] $(P+0_V)+0_V=P+(0_V+0_V)=P+0_V$. [/mm]
Da die Abbildung [mm] $\mathbb{A}(V)\to\mathbb{A}(V), Q\mapsto Q+0_V$ [/mm] bijektiv (insbesondere also injektiv) ist, folgt [mm] P+0_V=P. [/mm]

Zu 3.:
Es genügt nach Definition von [mm] $-\vec{QP}$, [/mm] die Gleichheit [mm] $\vec{PQ}+\vec{QP}=0_V$ [/mm] zu zeigen.
Nach 1. gilt [mm] $\vec{PQ}+\vec{QP}=\vec{PP}$ [/mm] und nach 2. gilt [mm] $\vec{PP}=0_V$. [/mm]


Ich freue wieder mich über Nachfragen! :-)
Es kann nur etwas dauern, bis ich zum antworten komme.
Wenn es viele Fragen sind, komme ich wahrscheinlich erst nächstes Wochenende zum antworten.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                                
Bezug
Affiner Raum (Defi. verstehen): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:32 Mi 14.08.2019
Autor: Boogie2015

Okay, meine Fragen dazu sind bis jetzt beantwortet! Jetzt habe ich ungefähr ein Bild im Kopf, wie man sich das ganze vorzustellen hat. Die einzige Schwierigkeit besteht noch darin, die ganzen Erkenntnisse und beantworteten Fragen, die ich hatte, auf Papier zu bringen. Das wird mir im nächsten Semester extrem helfen!


Ich bedanke mich noch einmal herzlich für dein Engagement, du warst eine sehr große Hilfe!

Ich wünsche dir noch einen schönen Tag :-)

Bezug
                        
Bezug
Affiner Raum (Defi. verstehen): Teil I)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:47 Sa 03.08.2019
Autor: tobit09


> Zu I
>  _____
>  
> Was meint man die ganze Zeit mit dem "ausgezeichneten
> Nullvektor"? Das lese ich schon öfter, aber weiß nicht,
> was damit gemeint ist. Was meint man mit "ausgezeichnet"?
>  
> Und im Skript steht dann: "Anschaulich ist [mm]\mathbb{A}(V)[/mm]
> der Vektorraum [mm]V[/mm] ohne ausgezeichneten Nullpunkt"
>  
>
> Hat also die Menge [mm]\mathbb{A}(V)[/mm]  nie einen
> "ausgezeichneten" Nullpunkt?
>  Bzw. wenn [mm]V[/mm] auf der Menge [mm]\mathbb{A}(V)[/mm] scharf transitiv
> operiert, folgt dann daraus, dass [mm]\mathbb{A}(V)[/mm] keinen
> "ausgezeichneten Nullpunkt" hat?
>
> Falls ja, warum ?

Es handelt sich bei der Behauptung, es gebe keinen ausgezeichneten Nullpunkt, nicht um eine beweisbare mathematische Aussage, sondern eher um eine Anschauung.

Diese Anschauung besagt auch nicht, dass es NIE einen ausgezeichneten Nullpunkt gebe, sondern dass es im Allgemeinen Setting eines affinen Raumes keinen Sinn ergibt, einen Punkt als speziellen "Nullpunkt" auszuzeichnen.


Nehmen wir nochmal das Beispiel mit der idealisierten realen Welt: Was sollte da der Nullpunkt sein?
Natürlich kannst du z.B. sagen, da wo sich gerade deine rechte Daumenspitze befindet, sei der Nullpunkt, aber diese Wahl ist eben ziemlich willkürlich. Genauso gut hätte könnte man jeden beliebigen anderen Punkt auswählen.

Bei einem Vektorraum gibt es hingegen genau einen Nullvektor und keine Diskussionen darum, welchen Vektor man "willkürlich als Nullvektor nehmen" könnte.


Vielleicht hilft auch die Betrachtung eines mathematischeren Beispiels:
Sei V ein Vektorraum mit nur genau zwei verschiedenen Vektoren 0 und v (wobei 0 der Nullvektor sei). (So einen gibt es, wenn man als Körper den Körper mit nur zwei Elementen zugrunde legt.)

Nun können wir die zweielementige Menge [mm] $\mathbb{A}(V):=\{rot, blau\}$ [/mm] der Farben rot und blau mit der Struktur eines affinen Raumes versehen, indem wir erklären:

rot + 0 := rot
blau + 0 := blau
rot + v := blau
blau + v := rot.

Welches sollte nun der Nullpunkt sein? rot oder blau? Jede Wahl eines Nullpunktes ist hier willkürlich.

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