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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Ableitung ins Integral
Ableitung ins Integral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ableitung ins Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 Mi 29.06.2016
Autor: sanadros

Aufgabe
Wir definieren $ g $ durch

$ g: [mm] \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, [/mm] g(y):= [mm] \int_{y^{2}}^{e^{y^{2}}}\ln({1+x^{2}+y^{2}})dx $ [/mm]

bestimmen sie $  g'(y) $

OK man kann ja die Ableitung reinziehen und dann die Ränder auswerten um dann bekommt man

$ [mm] \int_{y^{2}}^{e^{y^{2}}} \frac{2y}{1+x^2+y^2} [/mm] + [mm] ln({1+e^{y^{4}}+y^{2}})*2*y*e^{y^{2}}-\ln({1+y^{4}+y^{2}})*2*y [/mm] $

Aber der Integral des Bruchs würde ja ein arcsin ergeben jedoch ist das Ziel wieder ein ln zu bekommen aber ich weiss jetzt nicht wie ich den bekomme?

        
Bezug
Ableitung ins Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:17 Do 30.06.2016
Autor: fred97


> Wir definieren [mm]g[/mm] durch
>  
> [mm]g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(y):= \int_{y^{2}}^{e^{y^{2}}}\ln({1+x^{2}+y^{2}})dx [/mm]
>  
> bestimmen sie [mm]g'(y)[/mm]
>  OK man kann ja die Ableitung reinziehen und dann die
> Ränder auswerten um dann bekommt man
>  
> [mm] \int_{y^{2}}^{e^{y^{2}}} \frac{2y}{1+x^2+y^2} + ln({1+e^{y^{4}}+y^{2}})*2*y*e^{y^{2}}-\ln({1+y^{4}+y^{2}})*2*y[/mm]
>  
> Aber der Integral des Bruchs würde ja ein arcsin ergeben




Eher arctan.


> jedoch ist das Ziel wieder ein ln zu bekommen aber ich
> weiss jetzt nicht wie ich den bekomme?

Ist y fest, so ist eine Stammfunktion von  [mm] \frac{2y}{1+x^2+y^2} [/mm] (bezüglich x) gegeben durch

[mm] \bruch{2y}{\wurzel{1+y^2}}*\arctan(\bruch{x}{\wurzel{1+y^2}}) [/mm]

Wenn Du auf Biegen und Brechen den [mm] \ln [/mm] drin haben willst, so schau mal hier nach unter "atan2".

FRED


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