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Forum "Differentiation" - Ableitung, Mittelwertsatz
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Ableitung, Mittelwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:21 Sa 17.01.2015
Autor: mathenoob3000

Aufgabe
Seien $ a, b, c [mm] \in \mathbb [/mm] R $ mit $ a< b <c , f: ]a,c[ [mm] \rightarrow \mathbb [/mm] R $ stetig und auf $]a,b[ [mm] \cup [/mm] ]b,c[ $ diffbar. Weiter existiere der Grenzwert:
[mm] lim_{x \rightarrow b} [/mm] $f'(x) = [mm] \alpha$ [/mm]
Zeigen sie dass $f$ im Punkt $b$ diffbar ist mit der Ableitung $f'(b) = [mm] \alpha$ [/mm]

Hinweis: Mittelwertsatz könnte  hilfreich sein

Hi
habe eine Frage zu der Aufgabe. Ein bisschen weiter unten im Forum ist gerade eine ähnlich Aufgabe allerdings mit abgeschlossenem Intervall als Definitionsmenge der Funktion. Dann könnte man ja den MWS benutzen, aber ich weiß hier nicht wie ich den Mittelwertsatz anwenden soll, da das Intervall ja offen ist
Jemand eine Idee?


lg

        
Bezug
Ableitung, Mittelwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:31 Sa 17.01.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

mach dir mal klar, dass du die Aufgabenstellung auch abändern kannst zu:

"Sei [mm] $f:\left[\bruch{b-a}{2},\bruch{c-b}{2}\right]\to\IR$ [/mm] stetig und auf [mm] $\left[\bruch{b-a}{2},\bruch{c-b}{2} \right]\setminus\{b\}$ [/mm] differenzierbar..."

Denn die restlichen Teilintervalle spielen ja gar keine Rolle...

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Ableitung, Mittelwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:40 Sa 17.01.2015
Autor: mathenoob3000

Hi. Danke auf eine ähnlich Idee bin ich auch gerade gekommen. Würde das hier auch Funktionieren?

Sei [mm] \delta [/mm] > 0 mit [mm] $a+\delta [/mm] < b $ und [mm] $c-\delta [/mm] > b$ [mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] $f:[a+\delta [/mm] , [mm] c-\delta] \rightarrow \mathbb [/mm] R $ stetig und auf $]a+ [mm] \delta [/mm] , b[ [mm] \cup [/mm] ]b, c - [mm] \delta[ [/mm] $ diffbar

Bezug
                        
Bezug
Ableitung, Mittelwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:58 Sa 17.01.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ja das geht.
Ist ja nix anderes als ich dir sagte.....

Gruß,
Gono.

Bezug
                                
Bezug
Ableitung, Mittelwertsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:47 Sa 17.01.2015
Autor: mathenoob3000

Ok hab noch eine Frage:
Wenn ich jetzt also weiter mache:
Sei $d [mm] \in [/mm] ]b, [mm] c-\delta[$ [/mm] dann existiert ja nach Mittelwertsatz:

$f'(d) = [mm] \frac{f(c-\delta) - f(b)}{(c-\delta)-b}$ [/mm]

Kann ich jetzt einfach ein $x$ definieren mit $x := [mm] c-\delta$ \Rightarrow [/mm]
$f'(d) = [mm] \frac{f(x) - f(b)}{x-b} [/mm] = f'(b)$ ?

Bezug
                                        
Bezug
Ableitung, Mittelwertsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 Sa 17.01.2015
Autor: fred97


> Ok hab noch eine Frage:
>  Wenn ich jetzt also weiter mache:
>  Sei [mm]d \in ]b, c-\delta[[/mm] dann existiert ja nach
> Mittelwertsatz:
>  
> [mm]f'(d) = \frac{f(c-\delta) - f(b)}{(c-\delta)-b}[/mm]

So lautet der MWS nicht !!!

>  
> Kann ich jetzt einfach ein [mm]x[/mm] definieren mit [mm]x := c-\delta[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>  [mm]f'(d) = \frac{f(x) - f(b)}{x-b} = f'(b)[/mm] ?

Unsinn !

FRED


Bezug
                                                
Bezug
Ableitung, Mittelwertsatz: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:34 Sa 17.01.2015
Autor: mathenoob3000

OK dachte mir schon dass das falsch ist, also der zweite Teil.
aber warum ist der MWS falsch?
Muss es dann $ f'(d) = [mm] \frac{f(c-\delta) - f(a + \delta)}{(c - \delta)-(a + \delta)} [/mm] $

Ich versteh halt nicht wie das mit dieser Vereinigung der zwei offenen Intervalle dann funktioniert.

Bezug
                                                        
Bezug
Ableitung, Mittelwertsatz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Mo 19.01.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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