Abbildungsmatrix Spiegelung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Mo 27.02.2017 | | Autor: | Austinn |
| Aufgabe | Wir betrachten in [mm] \IR^{3} [/mm] den Untervektorraum:
E:={ [mm] {x\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+y\vektor{0 \\ 1 \\ 2} : x, y \in \IR } [/mm] }
Geometrisch ist dies eine Ebene durch den Ursprung. Weiter sei Φ: [mm] \IR^{3}→\IR^{3} [/mm] die lineare Abbildung, die durch die Spiegelung an der Ebene E gegeben ist.
a) Wählen Sie eine Basis B' des [mm] \IR^{3} [/mm] , für die die Bilder der Basisvektoren unter Φ leicht anzugeben sind, und geben Sie die Bilder der Basisvektoren an.
b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix [mm] M_{B'}^{B'} [/mm] von Φ bezüglich B'. |
a) verstehe ich. hier habe ich für B' ={(1; 0; 1)T , (0; 1; 2)T , (1; 2; -1)T}
Bei b) habe ich keine Idee. Kann jemand anschaulich erklären und zeigen wie man die b) macht, vor allem das mit der Spiegelung erklären?
Danke!
|
|
| |
|
> Wir betrachten in [mm]\IR^{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
den Untervektorraum:
> E:={ [mm]{x\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+y\vektor{0 \\ 1 \\ 2} : x, y \in \IR }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
> Geometrisch ist dies eine Ebene durch den Ursprung. Weiter
> sei Φ: [mm]\IR^{3}→\IR^{3}[/mm] die lineare Abbildung, die durch
> die Spiegelung an der Ebene E gegeben ist.
> a) Wählen Sie eine Basis B' des [mm]\IR^{3}[/mm] , für die die
> Bilder der Basisvektoren unter Φ leicht anzugeben sind,
> und geben Sie die Bilder der Basisvektoren an.
> b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix [mm]M_{B'}^{B'}[/mm] von Φ
> bezüglich B'.
> a) verstehe ich. hier habe ich für B' ={(1; 0; 1)T , (0;
> 1; 2)T , (1; 2; -1)T}
Hallo,
ja, genau.
Du hast den anderen Teil der Frage a nicht beantwortet,
jedoch hoffe ich, Dir ist klar, daß
[mm] \Phi(\vektor{1\\0\\1})=\vektor{1\\0\\1}.
[/mm]
[mm] \Phi(\vektor{0\\1\\2})=\vektor{0\\1\\2}
[/mm]
[mm] \Phi(\vektor{1\\2\\-1}=-\vektor{1\\2\\-1}.
[/mm]
Die Vektoren parallel zur Ebene bleiben, und der zur Ebene senkrechte "klappt um".
>
> Bei b) habe ich keine Idee. Kann jemand anschaulich
> erklären und zeigen wie man die b) macht, vor allem das
> mit der Spiegelung erklären?
Sprüchlein:
"In den Spalten der Abbildungsmatrix von [mm] \Phi [/mm] bzgl. der Basis B' stehen die Bilder der Basisvcektoren von B' in Koordinaten bzgl B'."
Schauen wir uns [mm] \Phi(\vektor{1\\0\\1}) [/mm] an, woraus wir die erste Spalte gewinnwn:
[mm] \Phi(\vektor{1\\0\\1})=\vektor{1\\0\\1}=1*\vektor{1\\0\\1}+0*\vektor{0\\1\\2}+0*\vektor{1\\2\\-1}=\vektor{1\\0\\0}_{(B')}.
[/mm]
Analog gewinnst Du die anderen Spalten.
LG Angela
>
> Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Mo 27.02.2017 | | Autor: | Austinn |
hast du [mm] $\Phi(\vektor{1\\0\\1})=\vektor{1\\0\\1}=1\cdot{}\vektor{1\\0\\1}+0\cdot{}\vektor{0\\1\\2}+0\cdot{}\vektor{1\\2\\-1}=\vektor{1\\0\\0}_{(B')}. [/mm] $mit dem lgs gelöst?
falls ja bekomme ich für [mm] \vektor{1\\0\\1}
[/mm]
I. x + z = 1
II. y + 2z = 0
III. x + y - z = 1
tatsächlich [mm] \vektor{1\\0\\0}
[/mm]
aber für [mm] \vektor{0\\1\\2} [/mm] bekomme ich mit
I. x + z = 0
II. y +2z = 1
III. x + y - z = 2
ein komisches Ergebnis.
Stimmt überhaupt meine Herangehensweise ?
Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:15 Di 28.02.2017 | | Autor: | meili |
Hallo Austinn,
> hast du
> [mm]\Phi(\vektor{1\\0\\1})=\vektor{1\\0\\1}=1\cdot{}\vektor{1\\0\\1}+0\cdot{}\vektor{0\\1\\2}+0\cdot{}\vektor{1\\2\\-1}=\vektor{1\\0\\0}_{(B')}. [/mm]mit
> dem lgs gelöst?
>
> falls ja bekomme ich für [mm]\vektor{1\\0\\1}[/mm]
> I. x + z = 1
> II. y + 2z = 0
> III. x + y - z = 1
> tatsächlich [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm]
Kann man so machen. "Sieht" man aber auch, wenn aus 3 Basisvektoren
der erste Basisvektor zusammengesetzt werden soll, dass die 1. Komponente
1 und die anderen beiden 0 sind.
Leider hat sich in der III. Zeile deines Gleichungssystem ein Fehler
eingeschlichen, es ist:
III. x + 2y - z = 1
>
> aber für [mm]\vektor{0\\1\\2}[/mm] bekomme ich mit
> I. x + z = 0
> II. y +2z = 1
> III. x + y - z = 2
> ein komisches Ergebnis.
> Stimmt überhaupt meine Herangehensweise ?
Das komische Ergebnis kommt von der falschen III. Zeile, die
III. x + 2y - z = 2
sein müsste.
>
> Danke!
>
Gruß
meili
|
|
|
|
