www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Integralrechnung" - Satz von Liouville
Satz von Liouville < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Satz von Liouville: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:50 Do 05.05.2011
Autor: mikexx

Aufgabe
Hallo, wir hatten gerade die Mittelwerteigenschaft von harmonischen Funktionen und jetzt sollen wir den Satz von Liouville beweisen:

"Jede auf ganz [mm] \IR^n [/mm] harmonische und beschränkte Funktion ist konstant."

Dazu haben wir eine ziemlich lange "Anleitung" bekkommen, aber irgendwie werde ich daraus nicht schlau:

ANLEITUNG:
Sei u eine solche Funktion.
Fixiere [mm] x\in \IR^n [/mm] und setze r=||x||.
Vergleichen Sie u(x) mit u(0), indem Sie die Mittelwerteigenschaft von u für Kugeln [mm] K_R(x) [/mm] und [mm] K_R(0) [/mm] mit (großem) Radius R ausnutzen.
Betrachten Sie dabei die Integrale von u über [mm] K_R(x)\backslash K_R(0) [/mm] und [mm] K_R(0)\backslash K_R(x) [/mm] und nutzen Sie die Beschränktheit von u und (für R>r) die Inklusionen
[mm] K_R(x)\backslash K_R(0)\subseteq K_R(x)\backslash K_{R-r}(x) [/mm] und [mm] K_R(0)\backslash K_R(x)\subseteq K_R(0)\backslash K_{R-r}(0), [/mm] um |u(x)-u(0)| nach oben abzuschätzen.

Ich verstehe diese Anleitung nicht.
Wer kann mir bitte helfen, den Satz damit zu beweisen?

        
Bezug
Satz von Liouville: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:35 Fr 06.05.2011
Autor: fred97


> Hallo, wir hatten gerade die Mittelwerteigenschaft von
> harmonischen Funktionen und jetzt sollen wir den Satz von
> Liouville beweisen:
>  
> "Jede auf ganz [mm]\IR^n[/mm] harmonische und beschränkte Funktion
> ist konstant."
>  
> Dazu haben wir eine ziemlich lange "Anleitung" bekkommen,
> aber irgendwie werde ich daraus nicht schlau:
>  
> ANLEITUNG:
>  Sei u eine solche Funktion.
>  Fixiere [mm]x\in \IR^n[/mm] und setze r=||x||.
>  Vergleichen Sie u(x) mit u(0), indem Sie die
> Mittelwerteigenschaft von u für Kugeln [mm]K_R(x)[/mm] und [mm]K_R(0)[/mm]
> mit (großem) Radius R ausnutzen.
>  Betrachten Sie dabei die Integrale von u über
> [mm]K_R(x)\backslash K_R(0)[/mm] und [mm]K_R(0)\backslash K_R(x)[/mm] und
> nutzen Sie die Beschränktheit von u und (für R>r) die
> Inklusionen
> [mm]K_R(x)\backslash K_R(0)\subseteq K_R(x)\backslash K_{R-r}(x)[/mm]
> und [mm]K_R(0)\backslash K_R(x)\subseteq K_R(0)\backslash K_{R-r}(0),[/mm]
> um |u(x)-u(0)| nach oben abzuschätzen.
>  Ich verstehe diese Anleitung nicht.
>  Wer kann mir bitte helfen, den Satz damit zu beweisen?

Schau mal da rein:

http://www.iam.uni-bonn.de/~alt/ss2002/HTML/analysis4-hyp_65.html

FRED


Bezug
                
Bezug
Satz von Liouville: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:30 Fr 06.05.2011
Autor: mikexx

Ich habe den Link angeguckt, aber der Beweis ist glaube ich zu schwer bzw. ich kenne da ganbz viele Begriffe nicht von bzw. die hatten wir noch gar nicht.

Ich erkenne auch die Anleitung darin leider nicht wieder.

Kann ich das nicht lieber nach obiger Anleitung (unter Hilfe) beweisen? Vielleicht hilft mir ja jemand.


[Oder IST der Beweis im Link das, was ich machen soll und ich erkenne es nur nicht?`]

Bezug
                        
Bezug
Satz von Liouville: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:45 Fr 06.05.2011
Autor: mikexx

Kann jemand die Anleitung mit mir durchgehen?

1.) Sei u eine solche Funktion.
2.) Fixiere [mm] x\in \IR^n. [/mm]
3.) Setze r=||x||
4.) So - und nun?

|u(x)-u(0)|=...

Ab hier ist mir die Anleitung unklar und ich verstehe nicht, wies weiter geht.

Bezug
                                
Bezug
Satz von Liouville: Idee von mir
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:37 Sa 07.05.2011
Autor: mikexx

So hab ich mir das gedacht:

[mm] |u(x)-u(0)|=|\bruch{1}{\omega_n\cdot R^n} \integral_{K_R(x)} u(y)dy-\bruch{1}{\omega_n\cdot R^n} \integral_{K_R(0)} u(y)dy|= \bruch{1}{\omega_n \cdot R^n}\cdot |\integral_{K_R(x)} u(y)dy-\integral_{K_R(0)} u(y)dy|= \bruch{1}{\omega_n \cdot R^n}\cdot |\integral_{K_R(x)\backslash K_R(0)} u(y)dy-\integral_{K_R(0)\backslash K_R(x)} u(y)dy|\leq \bruch{1}{\omega_n r^n}\cdot |\integral_{K_R(x)\backslash K_{R-r}(x)} u(y)dy-\integral_{K_R(0)\backslash K_{R-r}(0)} u(y)dy=\bruch{1}{\omega_n\cdot r^n} \cdot |\integral_{K_r(x)} u(y)dy-\integral_{K_r(0)} u(y)dy|\leq \bruch{1}{\omega_n r^n} |\integral_{K_r(x)\backslash K_r(0)} M dy|\to 0[/mm] für [mm] r^n=||x||^n\to \infty [/mm]

Wobei M die obere Grenze von u ist (u ist beschränkt).



Bezug
                                        
Bezug
Satz von Liouville: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:24 So 24.07.2011
Autor: dennis2

Der Anfang der Idee stimmt.

[Bis zu dem [mm] \leq [/mm] .]

Danach ist es dann konfus und falsch.

Wenn Du willst & noch Interesse hast, führe ich das noch aus.

Bezug
                                                
Bezug
Satz von Liouville: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 So 24.07.2011
Autor: mikexx

Aufgabe
Ja, gerne! Kannst Du das bitte ausführen??

Es ist eine Ewigkeit her, aber die Lösung interessiert mich immer noch.

Danke.

Bezug
                                                        
Bezug
Satz von Liouville: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 So 24.07.2011
Autor: dennis2

Okay, dann mache ich das mal!

Du solltest Dir immer passende Bildchen malen!
Mit denen kann man alles viel besser nachvollziehen.
Wenn Du dann doch noch möchtest, kann ich Dir auch die Bildchen aufmalen und zusenden. Aber ich denke, das bekommst Du selbst hin.

Beweis:

Sei [mm]\theta:=\frac{1}{R^n\omega_n}[/mm]

[mm]\vert u(x)-u(0)\vert = \vert \theta \int_{K(x,R)}u(z)dz-\theta \int_{K(0,R)}u(z)dz\vert[/mm]

[mm] = \vert \theta\int_{K(x,R)\backslash K(0,R)}u(z)dz-\theta\int_{K(0,R)\backslash K(x,R)}u(z)dz\vert [/mm]

[mm]\leq \vert\theta\int_{K(x,R)\backslash K(x,R-r)}u(z)dz-\theta\int_{K(0,R)\backslash K(0,R-r)}u(z)dz\vert [/mm]

[Eine Skizze verdeutlicht die Inklusionen.]

[mm]\leq \vert\theta\int_{K(x,R)\backslash K(x,R-r)}M dz-\theta\int_{K(0,R)\backslash K(0,R-r)}M dz\vert[/mm]

[Die Funktion ist ja auf ganz [mm]\IR^n[/mm] beschränkt.]

[mm] = \frac{M}{R^n\omega_n}\vert\int_{K(x,R)\backslash K(x,R-r)}1 dz-\int_{K(0,R)\backslash K(0,R-r)}1 dz\vert [/mm]

Wenn man sich nun ein Bildchen malt, sieht man, daß der Ausdruck in den Betragsstrichen identisch ist mit [mm]2\cdot (vol_n(K_R)-vol_n(K_{R-r}))[/mm].

Dann gehts also weiter mit:

[mm] = \frac{2M}{R^n\omega_n}(vol_n(K_R)-vol_n(K_{R-r}))[/mm]

[mm] = 2M-\frac{2M\cdot vol_n(K_{R-r})}{vol_n(K_R)}[/mm]

[mm] = 2M\cdot\left(1-\frac{vol_n(K_{R-r})}{vol_n(K_R)}\right)\underbrace{\longrightarrow}_{R\to \infty} 0[/mm]

Daraus folgt die Behauptung.

q.e.d.



Bezug
                                                                
Bezug
Satz von Liouville: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:39 So 24.07.2011
Autor: mikexx

Vielen, vielen Dank!

Bezug
                                
Bezug
Satz von Liouville: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 So 08.05.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                        
Bezug
Satz von Liouville: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:23 So 08.05.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de