wieviele Abbildungen, Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Di 29.12.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | [mm] B=(b_1, b_2, b_3) [/mm] bilden eine Basis von [mm] \mathbb{R}^3, [/mm] wobei
[mm] b_1=\vektor{0 \\ 1 \\2}, b_2=\vektor{-1 \\ 2 \\5}, b_3=\vektor{0 \\ -1 \\1}
[/mm]
Bestimme die Matrix(bezüglich Standardbasis) einer linearen Abbildung [mm] \phi:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 [/mm] , für die
[mm] \phi(b_1)=b_1, \phi(b_2)=2b_2, \phi(b_3)=3 b_3 [/mm] gilt. Wieviele solche Abbildungen [mm] \phi [/mm] gibt es? |
Hallo
Die Aufgabe der Matrixbestimmung habe ich gelöst:
[mm] [\phi]_{BB}=\pmat{ 1 & 0 &0 \\ 0&2&0 \\0&0&3}
[/mm]
[mm] T_{E_3 B}=(b_1, b_2, b_3)
[/mm]
[mm] [\phi]_{EE}= T_{E_3B} [\phi]_{BB} T_{BE_3}=T_{E_3B} [\phi]_{BB} (T_{E_3B})^{-1}
[/mm]
(Ausmultiplizieren lass ich hier in Forum mal wegen Latex aus)
Nun meine Frage:Wieviele solche Abbildungen [mm] \phi [/mm] gibt es?
Ich nehme an eine, denn einer Matrix beschreibt genau eine Abbildung?
Denke ich da verkehr/zu einfacht?
Liebe Grüße,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 Di 29.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> [mm]B=(b_1, b_2, b_3)[/mm] bilden eine Basis von [mm]\mathbb{R}^3,[/mm]
> wobei
> [mm]b_1=\vektor{0 \\ 1 \\2}, b_2=\vektor{-1 \\ 2 \\5}, b_3=\vektor{0 \\ -1 \\1}[/mm]
>
> Bestimme die Matrix(bezüglich Standardbasis) einer
> linearen Abbildung [mm]\phi:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3[/mm]
> , für die
> [mm]\phi(b_1)=b_1, \phi(b_2)=2b_2, \phi(b_3)=3 b_3[/mm] gilt.
> Wieviele solche Abbildungen [mm]\phi[/mm] gibt es?
> Hallo
> Die Aufgabe der Matrixbestimmung habe ich gelöst:
> [mm][\phi]_{BB}=\pmat{ 1 & 0 &0 \\ 0&2&0 \\0&0&3}[/mm]
> [mm]T_{E_3 B}=(b_1, b_2, b_3)[/mm]
>
> [mm][\phi]_{EE}= T_{E_3B} [\phi]_{BB} T_{BE_3}=T_{E_3B} [\phi]_{BB} (T_{E_3B})^{-1}[/mm]
>
> (Ausmultiplizieren lass ich hier in Forum mal wegen Latex
> aus)
>
> Nun meine Frage:Wieviele solche Abbildungen [mm]\phi[/mm] gibt es?
> Ich nehme an eine, denn einer Matrix beschreibt genau eine
> Abbildung?
> Denke ich da verkehr/zu einfacht?
Seien V und W Vektorräume. Ist weiter [mm] \{b_1,...,b_n\} [/mm] eine Basis von V, und sind f,g:V [mm] \to [/mm] W lineare Abbildungen mit
[mm] f(b_j)=g(b_j) [/mm] für j=1,...,n,
so setze h:=f-g. Dann ist h linear und
(*) [mm] h(b_j)=0 [/mm] für j=1,...,n.
Ist dann v [mm] \in [/mm] V, so ex. Skalare [mm] s_1,...,s_n [/mm] mit [mm] v=s_1b_1+...+s_nb_n.
[/mm]
Aus (*) folgt dann h(v)=0.
v war beliebig, also haben wir f=g.
FRED
>
> Liebe Grüße,
> sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Mi 30.12.2015 | | Autor: | sissile |
Vielen Dank!
Ich sehe auch jetzt, dass ich einfach argumntieren hätte können, dass eine Abbildung durch die Angabe was sie auf einer Basis macht eindeutig bestimmt ist.
Wenn ich eine Matrix(mit Zahlen ohne Unbekannte) habe, die eine Abbildungsvorschrift beschreibt. Dann ist aber auch gezeigt, dass die Abbildung eindeutig bestimmt ist durch den isomorphismus [mm] M_{m\times n} \rightarrow L(\mathbb{K}^n, \mathbb{K}^m).
[/mm]
Liebe Grüße,
sissi
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Wenn ich die Aufgabenstellung recht versehe, sollst du nicht [mm] [\phi]_{BB} [/mm] bestimmen, sondern die Matrix bezüglich der Standardbasis. Um [mm] [\phi]_{BB} [/mm] zu bestimmen, wären die Koordinaten von [mm] b_1, b_2 [/mm] und [mm] b_3 [/mm] auch überflüssig (bis auf die Tatsache, dass man feststellen müsste, ob alle drei lin. unabhängig sind).
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> Wenn ich die Aufgabenstellung recht versehe, sollst du
> nicht [mm][\phi]_{BB}[/mm] bestimmen, sondern die Matrix bezüglich
> der Standardbasis.
Hallo,
das hat sissile doch getan.
Erst hat sie [mm] [\phi]_{BB} [/mm] hingeschrieben, daraus dann [mm] [\phi]_{EE} [/mm] gewonnen.
LG Angela
> Um [mm][\phi]_{BB}[/mm] zu bestimmen, wären die
> Koordinaten von [mm]b_1, b_2[/mm] und [mm]b_3[/mm] auch überflüssig (bis
> auf die Tatsache, dass man feststellen müsste, ob alle
> drei lin. unabhängig sind).
>
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ok, aber die Angabe ist nur allgemein. Ich denke, die Aufgabe besteht darin, bei einer konkret mit Koordinaten angesetzten Aufgabe auch die konkrete Matrix anzugeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:49 Mi 30.12.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo
Siehst du hier in meinen ersten Beitrag:
> (Ausmultiplizieren lass ich hier in Forum mal wegen Latex aus)
Auch sind das nur Übungsbeispiele zur Vorbereitung auf die Nachhilfe;)
Aber danke für deinen Post ;)
LG,
sissi
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[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 &0 \\ 0 & 0 & 3}*\vektor{0 \\ 1 \\2} =\vektor{0 \\ 2 \\6} \ne \vektor{0 \\ 1 \\2}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 &0 \\ 0 & 0 & 3}*\vektor{-1 \\ 2\\5} =\vektor{-1 \\ 4 \\15} \ne 2*\vektor{-1 \\ 2 \\5}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 &0 \\ 0 & 0 & 3}*\vektor{0 \\ -1 \\1} =\vektor{0 \\ -2 \\3} \ne 3*\vektor{0 \\ -1 \\1}
[/mm]
Ich hätte jetzt
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ -\bruch{8}{3} & \bruch{7}{3} &-\bruch{2}{3} \\ -\bruch{13}{3} &-\bruch{4}{3} & \bruch{5}{3}}
[/mm]
für den richtigen Kandidaten gehalten.
So kann man sich irren...
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> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 &0 \\ 0 & 0 & 3}*\vektor{0 \\ 1 \\2} =\vektor{0 \\ 2 \\6} \ne \vektor{0 \\ 1 \\2}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 &0 \\ 0 & 0 & 3}*\vektor{-1 \\ 2\\5} =\vektor{-1 \\ 4 \\15} \ne 2*\vektor{-1 \\ 2 \\5}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 &0 \\ 0 & 0 & 3}*\vektor{0 \\ -1 \\1} =\vektor{0 \\ -2 \\3} \ne 3*\vektor{0 \\ -1 \\1}[/mm]
>
> Ich hätte jetzt
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ -\bruch{8}{3} & \bruch{7}{3} &-\bruch{2}{3} \\ -\bruch{13}{3} &-\bruch{4}{3} & \bruch{5}{3}}[/mm]
>
> für den richtigen Kandidaten gehalten.
>
> So kann man sich irren...
Hallo,
es ist [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 &0 \\ 0 & 0 & 3} [/mm] die Matrix, welche die Abbildung [mm] \Phi [/mm] in Koordinaten bzgl. der Basis [mm] B=(b_1, b_2, b_3) [/mm] beschreibt,
in sissiles Schreibweise ist also
[mm] [\Phi]_B_B=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 &0 \\ 0 & 0 & 3}.
[/mm]
Die Matrix [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ -\bruch{8}{3} & \bruch{7}{3} &-\bruch{2}{3} \\ -\bruch{13}{3} &-\bruch{4}{3} & \bruch{5}{3}} [/mm] ist die Matrix, welche [mm] \Phi [/mm] bzgl. der Standardbasis beschreibt - also die Matrix [mm] [\Phi]_E_E, [/mm] welche gesucht war, und welche man, wie sissile richtig sagt, so berechnen kann:
[mm] [\Phi]_E_E=[id]_E_B*[\Phi]_B_B*[id]_B_E=[id]_E_B*[\Phi]_B_B*([id]_E_B)^{-1}.
[/mm]
Paßt doch! (?)
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 &0 \\ 0 & 0 & 3}*\vektor{0 \\ 1 \\2} =\vektor{0 \\ 2 \\6} \ne \vektor{0 \\ 1 \\2}[/mm]
Wenn Du die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 &0 \\ 0 & 0 & 3} [/mm] mit dem Vektor [mm] b_1 [/mm] als Koordinatenvektor bzgl. B, also mit [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] multiplizierst, kommt [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] heraus.
Alles gut.
LG Angela
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Genau darauf bezieht sich ja mein erster Einwand.
Wenn ich sagen soll, wieviele teilerfremde Zahlen n die Zahl N mit n<N hat, kann ich [mm] \varphi(N) [/mm] sagen.
Wenn ich sagen soll, wieviele teilerfremde Zahlen n die Zahl 60 mit n<60 hat, kann ich [mm] \varphi(60) [/mm] sagen.
Bei einer konkreten Zahl erwarte ich aber keine allgemeine Angabe, sondern konkrete Zahlen wie [mm] \varphi(60)=60*(1-\bruch{1}{2})*(1-\bruch{1}{3})*(1-\bruch{1}{5})=16.
[/mm]
Bei den Matrizen war eben nicht nur angegeben, dass [mm] \Phi(b_1)=b_1, \Phi(b_2)=2*b_2 [/mm] und [mm] \Phi(b_3)=3*b_3 [/mm] sein soll, sondern [mm] b_1, b_2 [/mm] und [mm] b_3 [/mm] waren konkret angegeben, und daher würde ich eine konkrete Lösung erwarten, die diese speziellen Zahlenwerte mit berücksichtigt. Was sissile schreibt, ist richtig, aber in meinen Augen unvollständig. Das ist so, als wenn man auf die Frage: "Ein Rechteck ist 3 cm breit und 4 cm hoch. Wie lang ist die Diagonale?" mit " [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = [mm] c^2 [/mm] " antwortet.
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