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Forum "Interpolation und Approximation" - Überprüfung IDFT Gleichung
Überprüfung IDFT Gleichung < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Überprüfung IDFT Gleichung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 06:56 Sa 14.01.2017
Autor: Septime

Aufgabe
Sei $ f = [mm] (f_0,...,f_{n-1}) \in \mathbb{C}^n$ [/mm] und
$ [mm] (DFT(f))_j [/mm] = 1/n [mm] *\sum_{k=0}^{n-1}f_k*e^{-jki2\pi/n} [/mm] = [mm] d_j [/mm] $.

Wir nennen $ d = [mm] (d_0,...,d_{n-1})$ [/mm] die Diskrete Fourier- Transformation (DFT) von f. Die Inverse DFT ist durch
$ [mm] (IDFT(d))_j [/mm] := [mm] \sum_{k=0}^{n-1}d_k*e^{jki2\pi/n}=f_j [/mm] $  definiert.

Bezeichne mit  $ R : [mm] \mathbb{C}^n \longrightarrow \mathbb{C}^n, R(a_0,...,a_{n-1})= (a_0,a_{n-1},a_{n-2},...,a_1) [/mm] $ den Operator, der die Reihenfolge der Stützstellen invertiert.

Überprüfe, ob [mm] $DFT^{-1} [/mm] = IDFT = n * [mm] DFT\circ [/mm] R$.

Guten Morgen,

hier ist mein Ansatz


$(n * [mm] DFT(R(d)))_j= [/mm] n * [mm] (DFT(R(d)))_j= n*1/n*\sum_{k=0}^{n-1}R_k(d)*e^{-jki2\pi/n} [/mm] = [mm] d_0e^0 [/mm] + [mm] \sum_{k=n-1}^{1}d_k*e^{-jki2\pi/n} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n-1}d_k*e^{-jki2\pi/n} [/mm] =/= [mm] (IDFT(d))_j [/mm] $ für ein j und d.

Heißt das ich brauche ein Gegenbeispiel um es zu widerlegen ? Stimmt meine Rechnung überhaupt ?

Gruß
Septime



        
Bezug
Überprüfung IDFT Gleichung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 07:02 So 15.01.2017
Autor: Septime

Ich habe einige Vektoren ausprobiert und bei jedem Vektor stimmte die Gleichung, also denke ich, dass die Gleichung doch stimmt...

$ (n [mm] \cdot{} DFT(R(d)))_j= [/mm] n [mm] \cdot{} (DFT(R(d)))_j= n\cdot{}1/n\cdot{}\sum_{k=0}^{n-1}R_k(d)\cdot{}e^{-jki2\pi/n} [/mm] = [mm] d_0e^0 [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{n-1}d_{n-k}\cdot{}e^{-jki2\pi/n}= d_0e^0 +\sum_{k=1}^{n-1}d_{k}\cdot{}e^{j(k-n)i2\pi/n}$ [/mm]

und nun soll ich diese Gleichung zeigen

[mm] $d_0e^0 [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{n-1}d_{k}\cdot{}e^{j(k-n)i2\pi/n} [/mm]  = [mm] \sum_{k=0}^{n-1}d_{k}\cdot{}e^{jki2\pi/n}=: [/mm] IDFT$

also insbesondere soll ich zeigen, dass

[mm] $e^{j(k-n)i2\pi/n} [/mm]  = [mm] e^{jki2\pi/n}$ [/mm]

gilt.

Ich habe bereits versucht [mm] $d_{n}$ [/mm] einzusetzen, doch ich bekomme nichts heraus, was zum Ziel führen würde und wenn ich die letzte Gleichung auflöse, bekomme ich nur n=0 raus (was nicht stimmt).
Ich freue mich über jede Antwort.

Gruß Septime

Bezug
                
Bezug
Überprüfung IDFT Gleichung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:43 Do 19.01.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Überprüfung IDFT Gleichung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:39 Mi 18.01.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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